起算點對GPS靜態控制測量成果的影響分析

胡德承，劉漢清，徐亞楠

(汕頭職業技術學院，廣東 汕頭 515078)

1 引 言

GPS靜態定位技術在高精度控制測量中具有廣泛的應用。GPS靜態控制測量是通過在多個測站上進行同步觀測，建立GPS基線向量網，對GPS基線向量網進行網平差獲得參考坐標系下的坐標。在GPS網二維約束平差中，加入起算控制點(以下簡稱起算點)的目的就是為了求得投影變換獲得的WGS84坐標系下的平面坐標與參考坐標系下平面坐標的轉換參數。因此，起算點在GPS靜態控制測量平差處理中起到關鍵作用。

基于起算數據不存在誤差，施闖等提出了基線向量作為平差觀測量的顯著性、相關性統計檢驗方法[1]，對控制成果的影響進行了深入的研究。一些專家學者就起算數據對GPS靜態控制測量成果的影響也進行一些探討，如王天倉探討了起算點個數與分布對GPS靜態控制測量的影響[2]；紀亦君、劉兵探討了起算點誤差對基線向量的影響[3，4]；張兵、傅曉明等探討了起算點的兼容性及分析方法[5，6]；劉振華、梁武南探討了起算點粗差的探測與定位方法[7，8]。本文通過GPS網平差實例，全面分析了起算點數量、分布、坐標數據粗差對GPS靜態控制測量成果的影響，并探討了基于2個起算點二維約束平差的比例因子分析、檢核點點位較差分析的起算點粗差定位方法。

2 GPS控制網平差的原理及起算點粗差檢驗方法

2.1 GPS控制網平差的原理

GPS控制網平差的原理[1]是：首先通過基線解算獲得基線向量解作為觀測量，基線觀測量組成GPS網，然后對GPS網進行三維無約束平差，獲得WGS84坐標系下的三維坐標，通過投影變換獲得平面坐標，最后，通過二維約束平差求得相似變換參數(平移量、旋轉角度、縮放因子)，采用相似變換的方法得到參考坐標系下的坐標。

起算點數據是將三維無約束平差獲得的WGS-84坐標系下的三維坐標，通過二維約束平差轉換為用戶需要的參考坐標系下坐標的必備數據和依據。平面坐標的相似變換模型為：

x2=△x+k(x1cosα-y1sinα)

y2=△y+k(x1sinα+y1cosα)

(1)

式中，△x、△y為平移參數，α為旋轉參數，k為尺度參數；x1，y1是WGS-84橢球的平面坐標；x2，y2是參考坐標系下的坐標。

2.2 起算點粗差檢驗方法

在式(1)中，起算點的坐標數據是作為求解相似變換模型4參數的觀測量。在數理統計中可以通過假設檢驗推斷觀測量的統計特性。在測量平差數據處理中，一般通過方差檢驗的方法檢驗觀測量是否存在粗差。方差檢驗的方法主要有F檢驗法和χ2檢驗法。

F檢驗法：用于檢驗兩個正態母體的方差是否相等。

GPS控制網平差處理常采用χ2檢驗法。下面介紹χ2檢驗法：

χ2=VTPV～χ2(f)

(2)

(3)

3 GPS靜態控制網實例簡介

某工程測量項目四等GPS靜態控制網由52個點、242條基線組成，觀測時段長度大于 45 min，每點至少觀測2個時段。

每條基線以雙差固定解作為最終結果，基線解的單位權中誤差RMS最大為 0.017 7 m、整周模糊度檢驗倍率RATIO最小為2.1，滿足四等GPS靜態控制網基線向量解的單位權中誤差RMS<0.02 m、整周模糊度檢驗倍率RATIO>1.8的要求。

310個同步環閉合差相對誤差最小值為 0.04 ppm，最大值為 5.17 ppm；21條重復基線的長度較差最大為 34.3 mm，限差為 99.2 mm；179個獨立環閉合差相對誤差最小值為 1.15 ppm，最大值為 27.11 ppm。

三維無約束平差最弱邊邊長中誤差為 ±14.7 mm，相對中誤差為 1∶385 287；最弱點點位中誤差為 ±15.8 mm。χ2檢驗通過。

上述數據處理結果均滿足規范的要求，說明作為GPS網三維無約束平差的觀測值——基線向量不存在粗差，整網內符合精度良好。并且該四等GPS級網總共有7個具有參考坐標系(1980西安坐標系)坐標的起算點，為GPS網二維約束平差以及起算點數據對平差成果的影響分析提供了充分條件。

4 起算點數量及分布對GPS控制成果的影響

要將WGS-84橢球的平面坐標轉換為參考坐標系下的坐標需求得4個參數，即2個平移參數，1個旋轉參數，1個尺度參數。只需知道2個點的參考坐標系下的坐標即可求得上述4個參數。因此，GPS控制網中具有參考坐標系下坐標的起算點數量至少是2個。而《全球定位系統(GPS)測量規范》(GBT 18314-2009)、《衛星定位城市測量規范》(CJJ 73-2010)均要求聯測控制點不少于3個。這是因為GPS網二維約束平差是利用最小二乘法進行求解的。最小二乘法是有多余觀測量的基礎上通過最小化誤差的平方和尋找待求參數最優解的一種數學方法。因此，GPS控制網中起算點數量應不少于3個。

對于起算點的分布，《衛星定位城市測量規范》(CJJ 73-2010)要求起算點應均勻分布，而《全球定位系統(GPS)測量規范》(GBT 18314-2009)未對起算點的分布做出具體要求。

通過平面坐標的相似變換模型求解4個轉換參數只需知道2個起算點的兩套坐標即可。對于2個平移參數來說，只要2個起算點的精度相同，起算點的遠近、方位都不會對平移參數的求解精度產生影響。而對于旋轉參數、尺度參數來說，相同誤差的2個起算點相距越遠，求解得到的旋轉參數、尺度參數的偏差就越小。因此起算點間相距越遠越有利于提高旋轉參數、尺度參數的解算精度。

表1列出了上述實例不同起算點分布狀況對GPS網平差結果的影響比較。

起算點分布對GPS控制成果的影響比較表 表1

從表1可以看出，起算點全部集中在網的一側時成果精度好的更好、差的更差，離起算點集中分布區域越遠的點精度越差；起算點分布均勻但網周圍沒起算點時成果精度有所降低。由此可知，要保證GPS控制網中所有點的坐標轉換精度，起算點應均勻分布于控制網周邊。所以，在GPS控制網二維約束平差中起算點個數應在3個以上，且均勻分布于控制網的周邊。隨著控制面積的增大，從已知控制點中選取的起算點數量可以適當增加。

5 起算點粗差對GPS控制成果的影響

經典的測量控制網平差理論是建立在觀測量存在誤差而起算點不存在誤差的基礎上的。對于GPS網約束平差而言，如果所引入的起算點坐標數據有粗差，勢必對測量控制網平差成果產生不利的影響。由于最小二乘法并不抗差，如果起算點中包含有粗差，就會分配到計算的轉換參數中，最終影響到控制網點的坐標[8]。

我們將實例中一個起算點坐標x、y各加上 0.5 m的粗差，對包含這個粗差起算點的不同數量起算點組合進行二維約束平差，平差成果中的基線中誤差、點位中誤差、縮放因子以及χ2檢驗的情況如表2所示。

起算點粗差對GPS控制成果的影響比較表 表2

從表2可以看出，起算點在3個以上且部分起算點存在粗差時，χ2檢驗不通過，基線中誤差、點位中誤差明顯偏大，比例因子也出現異常；2個起算點且其中1個點存在粗差時，基線中誤差、點位中誤差沒有出現異常，χ2檢驗也通過，但比例因子出現了異常。因此，在GPS靜態控制測量中，起算點存在粗差必然導致基線中誤差、點位中誤差、比例因子的異常以及χ2檢驗不通過，這說明起算點中存在粗差但無法確定哪些起算點存在粗差。

6 起算點粗差的定位方法

在GPS靜態控制測量中，起算控制點存在粗差將引起所在基線另一端點點位的平移和基線向量分量的變化。這種變化主要表現在基線誤差的增大、點位誤差的增大和比例因子的異常。可見，如何探測并剔除粗差是提高控制網精度和可靠性的關鍵[7]。下面通過模擬粗差的方法對2個起算點不同組合方案的二維約束平差結果中比例因子、檢核點點位較差的比較分析，探討起算點粗差定位的方法。

6.1 尺度因子分析法

2個起算點進行約束平差時，起算點存在粗差必然引起比例因子的異常。據此可以通過尺度因子分析法進行起算點粗差探測與定位。

(4)

由此計算得工程測量中各等級GPS網比例因子的數值范圍如表3所示。

在上述四等GPS控制網實例中，將已知點A4點坐標x、y各加上 0.5 m的粗差。選取2個已知點的不同組合方案進行二維約束平差，平差結果比例因子的變化情況如表4所示。

工程測量中各等級GPS網比例因子、檢核點位較差技術要求 表3

起算點粗差定位分析數據表 表4

根據GPS控制網比例因子的數值范圍，從表4可以看出1、2、3方案的比例因子超出要求范圍，說明參加約束平差的起算點A2、A4、A5、A7可能存在粗差，而4、5、6方案的比例因子在要求的范圍內，說明起算點A2、A5、A7不存在粗差。由此可確定A4點存在粗差，這與粗差預設情況是相符的。

6.2 檢核點點位較差分析法

二維約束平差時選取均勻分布于GPS網周邊的少量起算點參與約束平差，其他已知控制點作為未知點可以獲得平差后的坐標。這些未參與約束平差的已知點作為檢核點使用。

若起算點沒有粗差，二維約束平差后的檢核點平差坐標與已知坐標的差值應該很小，不會超過規范的點位精度，否則說明起算點存在粗差。由這種方法所找到的差值最大的檢核點，不一定存在粗差，有可能是由所選起算點存在粗差造成的。但是如果各方案呈現出一致性，那么參與約束平差的起算點有可能存在粗差。

一般地，檢核點點位較差ds應滿足下式：

ds≤2σ

(5)

工程測量中各等級GPS網檢核點點位較差的數值范圍要求見表3。

在上述GPS控制網實例中，將已知點A4點坐標x、y各加上 0.5 m的粗差。選取2個已知點作起算點進行二維約束平差，其他已知點作為檢核點，比較分析不同方案平差結果檢核點點位較差的差異情況(見表4)。點位差異大的，說明參與約束平差的起算點存在粗差。

根據GPS控制網的檢核點點位較差的數值范圍，從表4可以看出1、2、3方案檢核點點位較差最大值明顯超出范圍，說明參加約束平差的起算點A2、A4、A5、A7可能存在粗差，而4、5、6方案的已知點點位較差最大值在要求的范圍內，說明起算點A2、A5、A7不存在粗差。由此可確定4號點存在粗差。

7 結 語

在GPS網二維約束平差中，參與二維約束平差的起算點應在3個以上，且均勻分布于控制網的周邊。起算點存在粗差必然導致基線誤差的增大、點位誤差的增大和比例因子的異常。采用2個起算點的不同組合方案進行二維約束平差，使用比例因子分析法、檢核點點位較差分析法可以排除不存在粗差的起算點，從而實現起算點粗差的定位。