需求依賴庫存水平的隨機庫存模型*

隆 冰 王 晶 朱軍功

(重慶市交通規劃研究院 重慶 400000)

0 引 言

庫存管理是企業生產經營中一個不可或缺的重要組成部分，有效的庫存管理方法可以調節供需平衡，減少貨品余缺，提高庫存效益，對實現價值鏈增值有重要意義.周衛琦等[1]在連續、均勻的需求假設下，考慮了訂貨批量的折扣現象，采用訂貨費、存貯費和缺貨費描述庫存費用，建立了有批量折扣且允許缺貨的訂貨銷售存貯模型.高海晶等[2]對供應商管理庫存(VMI)模式下的單一制造商、單一零售商組成的二級供應鏈，以供應鏈收益最大為目標函數，分別在零售商總需求為常數和函數兩種情況系建立了庫存控制模型.劉誠等[3]考慮了具有價格彈性的隨機零售商需求，并假設日需求量服從正態分布，在VMI模式下采用周期盤點的庫存控制策略，以各零售商處的預期服務水平大于目標服務水平為約束，建立了分銷系統利潤優化模型.楊志林等[4]將庫存成本描述為隨存儲時間變化的階梯函數，考慮了需求率依賴于庫存水平的需求函數，同時引入變化的訂貨費，建立了離散性庫存費的庫存控制模型.Timothy[5]提出了需求基于庫存水平的庫存模型靈敏度分析轉換方法.Biswajit等[6]在需求函數基于庫存水平的庫存模型中，考慮了隨時間變化的變質率，根據初始庫存水平、當前庫存水平、周期末端庫存水平的關系建立了三種可能情況下的庫存模型.Li等[7]在需求和需求預測誤差服從隨機分布的情況下或預測需求為單點和間斷形式時，采用基于信任規則的庫存控制方法對需求為非線性和非確定性的庫存控制問題進行研究.歐劍等[8]在需求是隨機的且依賴庫存水平的條件下建立了訂貨模型，采用仿真的進化算法進行求解.賈湖等[9]建立了需求隨機和供貨時間隨機的庫存模型，假設了產品需求數量為一隨機過程、補貨時間相互獨立、庫存減少的數量為馬爾代夫過程，基于此對基本庫存進行了分析.

上述研究主要考慮了庫存模型中需求函數的隨機性以及需求與庫存水平之間的關系，而缺乏對庫存供給、需求、實時庫存水平之間的聯動關系考慮.本文同時考慮了基于即時庫存水平下的庫存供給方式，采用正態分布對需求隨機項進行描述，并利用微分方程建立了需求、供給、當前庫存量之間的聯系；根據需求和庫存水平的變化，分別描述了庫存平衡、缺貨、庫存殘余三種狀態，提出了具有補貨周期的隨機庫存模型.以庫存系統效益最大為目標，以庫存容量為約束，建立庫存優化模型對庫存周期和補貨周期進行優化，最后進行了算例分析.

1 問題描述與模型假設

考慮庫存需求隨機波動下帶有補貨周期的庫存系統，將庫存成本描述為訂貨費、保管費、庫存殘余損失、缺貨損失，在供貨周期連續補貨情況下，尋求庫存系統效益最大化的庫存周期和補貨周期.庫存模型假設如下：

假設庫存模型存在一定的庫存周期T和補貨周期Tp，同時假設周期內的貨品價值不隨存儲時間變化而在周期末的庫存殘余會瞬間貶值.在缺貨期間假設庫存為線性需求，缺貨損失與缺貨時長相關.庫存費用由訂貨費D、保管費H、庫存殘余損失費O、缺貨損失費B四部分組成.

1) 訂貨費 訂貨費由固定費用和附加費用兩部分組成，周期內，假設固定費用與訂貨次數成正比，運輸、裝卸等附加費用與訂貨量成正比.

D=n·D0+k1·c

(1)

式中：D0為單次訂貨費用；n為訂貨次數；k1為訂貨附加費率；c為訂貨量.

2) 保管費 保管費與庫存周期內的實時庫存量成正比.

(2)

式中：k2為保管費率；ct為t時刻的實時庫存量.

3) 庫存殘余損失費 庫存殘余損失費由殘余貨品的訂貨費、保管費、貨品貶值損失組成.

O=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs

(3)

式中：Cs為殘余庫存量；k3為單位貨品貶值損失費用.

4) 缺貨損失費 缺貨損失費與庫存周期內的實時缺貨數量成正比.

(4)

式中：Tz為庫存周期內的缺貨時長；kt為單位貨品的缺貨損失費用；zt為t時刻的實時缺貨量.

2 帶有補貨周期的隨機庫存模型

傳統庫存模型假設需求函數為線性，即在整個庫存周期內，貨品的需求保持恒定水平.線性需求假設忽略了需求的波動以及需求對庫存的依賴.模型假設需求為帶有隨機項的關于實時庫存水平ct的函數.

q(t)=f(ct)+ε

(5)

庫存供給一般有一次補齊和連續補貨兩種方式，一次補齊方式是在每個庫存周期內將貨品一次性補充到同一庫存量；連續補貨方式則是在補貨周期內結合庫存水平連續補貨，模型假設供給為關于庫存水平的函數.

p(t)=φ(ct)

(6)

需求和供給函數的疊加又直接決定了庫存水平的變化.

(7)

1) 一次補齊庫存概率模型 對于一次性補齊庫存模型，由于需求函數中隨即項ε的作用，會出現缺貨和庫存殘余，見圖1，在每個庫存周期將貨品一次性補充到同一庫存量C，考慮周期內的需求的隨機波動，利用平衡balance、缺貨shortage、殘余residue三種情況下的庫存成本期望值對庫存成本進行描述.

圖1 一次補齊庫存概率模型

周期內的訂貨費：Db=D0+k1·C；Ds=D0+k1·(C+r.Tz)；Dr=D0+k1·(C-Cs).

周期內的庫存殘余損失費：Ob=0；Os=0；Or=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs.

按照balance、shortage、residue出現的概率分別為ρb，ρs，ρr，則庫存成本可以用其期望值加以描述.

·ρi

(8)

2) 整周期連續補貨庫存模型 整周期連續補貨庫存模型可以按照當前庫存量進行補貨，可以將庫存量維持在一個相對穩定的水平，但連續進貨同時也造成了較大的訂貨成本.

整周期連續補貨可以忽略庫存殘余損失和缺貨損失，則整周期連續補貨庫存模型總成本為

Cost2=D+H

(9)

3) 帶補貨周期的隨機庫存模型 連續補貨則可以根據當前庫存調節補貨量，將庫存保持在一個低而穩定的范圍，考慮到整周期連續補貨訂貨成本太高，只在整個庫存周期中的部分時段補貨，從而形成補貨周期Tp，隨著補貨周期的延長，缺貨和殘余的概率將逐漸降低.綜合一次補齊模型和整周期連續補貨模型，得到圖2的帶補貨周期連續庫存模型.

圖2 帶補貨周期的隨機庫存模型

周期內庫存殘余損失費：Ob=0；Os=0；Or=k1·Cs+k2·T·Cs+k3·Cs.

結合歷史數據統計，對隨機項ε的期望值μ取正、負值的概率進行估計，分別取值為ρ1，ρ2，ρ1+ρ2=1，對于μ取正值時，可分別計算正偏離下的平衡balance、缺貨shortage、殘余residue狀態下的概率ρ1b，ρ1s，ρ1r；μ取負值時，可分別計算負偏離下的平衡balance、缺貨shortage、殘余residue狀態下的概率ρ2b，ρ2s，ρ2r；利用各種狀態下的庫存成本的期望值對周期內的庫存成本為

(10)

假設庫存消耗產生的收益與庫存消耗量成正比，單位庫存消耗量產生效益為ω.則利用期望描述周期內的庫存效益為

(11)

p(t)=φ(c(t))

(12)

期望值對隨機需求為

q(t)=

供給累計和需求消耗對庫存水平為

c(t)=

(14)

式中：ρ1b+ρ1s+ρ1r=1，ρ2b+ρ2s+ρ2r=1，ρ1+ρ2=1.

將隨機項ε的期望值μ描述為與供貨周期和庫存周期相關的函數為

(15)

得到庫存效益模型為

(16)

(17)

式中：目標函數為τ時間段內庫存效益最大；T，Tp為決策變量；Cmax為最大庫存容量；Cmin為安全庫存容量，

通過模型求解，得到庫存系統效益最優的庫存周期To和補貨周期Tpo，由此可以得到周期內的訂貨量Co，最高庫存水平Cmax.

(18)

(19)

3 模型求解

(20)

按照式(14)的簡化，通過如下迭代步驟逐步逼近式(10)的最優解：

步驟1初始化count=0，設初始可行解為(T0,Tp0)，定義T=(T，TP).

步驟2count=count+1.

步驟5收斂判斷，定義gap=|W(Tcount)-W(Tcount-1)|.若Tcount滿足收斂準則，停止迭代，返回Tcount；否則返回步驟2.

4 算例分析

(21)

(22)

(23)

(24)

將Cost,E,Cs,Tz帶入式(16)、(17)求解得到：Tp=11 d，T=42 d.訂貨總量為421件，最大庫存量為286件.從上述結果可以看出，帶有補貨周期的庫存模型相對于一次補齊模型，最大庫存量減少了135件，節約了32%的庫存容量.

同時考慮到現實訂貨商為了保障生產和銷售的連續性，往往對庫存消耗預期偏高，降低殘余庫存損失具有現實意義，連續補貨利于訂貨商捕捉周期內的需求規律，減少缺貨和庫存殘余，對提高庫存系統總效益有積極意義.

5 結 束 語

針對庫存需求和供給依賴于庫存水平的庫存系統，在需求函數隨機項波動服從正態分布的假設下，描述了庫存系統供需平衡、庫存殘余、缺貨三種狀態；并利用庫存成本期望建立了帶有補貨周期的隨機庫存模型；以庫存系統總效益最大為目標函數建立優化模型對補貨周期和庫存周期進行優化，計算了庫存系統周期內的訂貨量和最高庫存水平.模型反映了即時庫存水平對庫存供給和需求的調節作用，更符合實際；考慮補貨周期在庫存周期內對需求隨機波動范圍的影響，體現了供給、需求、即時庫存水平之間的平衡反饋機制；模型求解了系統最優下的補貨周期和庫存周期，為指導連續生產提供了理論基礎，模型求解的最優訂貨批量和最大庫存量對優化庫存系統，節約庫存成本具有積極意義，可變的補貨周期豐富了模型的拓展性和適用空間.本文只針對特定屬性的貨品進行研究，對于貨品構成復雜的混合庫存系統還有待進一步研究.