連續管復合裂紋的應力強度因子有限元分析*

管 鋒，王 振，劉少胡, 楊明合

(1.長江大學 機械工程學院，湖北 荊州 434023；2.長江大學 石油工程學院，湖北 武漢 430100)

0 引言

經過50多年的發展，連續管已經應用于清蠟、酸化擠水泥、壓井、沖砂洗井、負壓射孔、試井測井完井、鉆井等20多種作業[1]。截止到2017年年底，全球范圍內的連續油管作業機共有1 955臺[2]。雖然連續管的應用已趨近成熟，但連續管在作業過程中還是經常會發生低周疲勞斷裂事故[3]。這是由于連續管在生產應用過程中，焊縫和缺陷部位會產生應力集中，裂紋會不可避免的出現，一旦裂紋擴展導致結構斷裂，就會發生低周疲勞斷裂，給連續油管作業帶來巨大經濟損失。相關研究表明[4]，應力強度因子是評判含裂紋構件是否斷裂及裂紋擴展速率的重要參量，因此，正確計算裂尖應力強度因子能夠提高連續管低周疲勞斷裂事故的預防能力，從而實現高效率的連續管作業。

目前，計算應力強度因子的方法有解析法[5]、邊界配位法[6]、有限單元法[7]、權函數法、復變函數法[8]、擴展有限元法[9-12]等，由于有限單元法、擴展有限元法的計算結果相對精確，易于獲得，所以，一般采用有限單元法、擴展有限元法計算復合裂紋的應力強度因子。而相比于有限單元法，擴展有限元法具有裂紋擴展過程中無需重新劃分網格、裂尖不需要加密、使用同樣的網格、不存在數據傳遞問題等優點[13-17]。基于這些優點，本文利用XFEM對連續管進行數值模擬研究。當前，對二維平面的Ⅰ型裂紋應力強度因子的研究很多[18]，而對復雜三維模型，例如厚壁圓筒型的Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的應力強度因子研究相對較少。本文基于ABAQUS軟件平臺的XFEM功能，研究了裂紋角度對CT80連續管Ⅰ型裂紋、Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的應力強度因子的影響。

1 應力強度因子求解的基本理論與方法

根據構件的受力方式，可以將裂紋分為Ⅰ型裂紋(張開型)、Ⅱ型裂紋(滑移型)、Ⅲ型裂紋(反平面剪切型)等3種類型，如圖1所示。

圖1 3種類型的裂紋Fig.1 Three types of cracks

在進行裂紋分析時，應力強度因子K，J積分、能量釋放率G等是斷裂參量的幾種重要數值計算方法，由于J積分、能量釋放率G等數值計算方法相對繁瑣和復雜，用來分析裂紋擴展問題并不方便；而應力強度因子理論已經相當成熟且準確。因此，本文在分析CT80連續管的裂紋擴展問題時，采用應力強度因子K的數值計算方法。可將CT80連續管的裂紋抽象為三維模型，其三維裂紋模型裂尖尖端的坐標如圖2所示。

圖2的三維裂紋模型中，局部直角坐標系由坐標分量X，Y，Z和O構成，XOZ為裂紋尖端的水平平面，YOZ面為切平面，XOY面為法平面；局部極坐標系由坐標分量r和θ構成，r和θ分別是極坐標下計算點的半徑與角度。裂紋尖端區域應力場的位移表示如下[19]：

圖2 三維裂紋前緣任意一點的坐標值及位移場Fig.2 Coordinate value and displacement field of any point at the front edge of 3D crack

(1)

式中：μ，ν，w分別對應的是裂紋尖端在X，Y，Z方向的位移，mm；r是極坐標下計算點的半徑，θ是極坐標下計算點的角度，(°)；G為剪切模量，MPa；KⅠ，KⅡ和KⅢ分別為Ⅰ型裂紋、Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的應力強度因子，MPa·mm1/2；o(r)為高階無窮小量。k的取值如式(2)所示。

(2)

當裂紋區域內的一點θ=±180°，且位移r已知時，可以得到對稱裂紋的應力強度因子計算公式：

(3)

式中：K為總應力強度因子，MPa·mm1/2。

2 應力強度因子的計算

選取的模型為CT80連續管，查閱連續油管工程技術手冊[20]可知其材料力學性能參數，如表1所示。CT80管的外徑為38.10 mm，壁厚分別為2.77 mm，截取的長度為100 mm。

CT80連續管的網格及裂紋位置及形狀如圖3所示，裂紋處于模型的中心，裂紋與XOY面的夾角為0°，裂紋長度為1/12圓周，裂紋寬度分別設定為0.25，0.50，0.75，1.00，1.25，1.50和1.75 mm。對模型一端分別施加50，100，150，200，250和300 MPa的均勻拉力。

表1 常溫下CT80連續管的力學性能Table 1 Mechanical properties of CT80 coiled tubing at room temperature

圖3 CT80連續管有限元模型及裂紋形狀 Fig.3 Finite element model and crack shape of CT80 coiled tubing

查閱應力強度因子手冊[21]，可以根據公式計算厚壁圓筒型模型的應力強度因子，其計算公式如下：

(4)

式中：σ0是裂紋面上的平均應力，MPa；σ是遠處均勻拉伸應力，MPa；Rm為連續管平均半徑，mm；t為連續管的壁厚，mm；α為裂紋寬度，mm；KL為應力強度因子手冊得到的應力強度因子計算解，MPa.mm1/2；B為形狀修正系數。

為了驗證ABAQUS中裂紋擴展的準確性，計算了裂紋寬度及裂紋所受載荷變化時，裂尖應力強度因子的變化，并與應力強度因子手冊得到的計算解進行比較，求出相對誤差。其結果如表2-3所示。KS為利用XFEM得到的應力強度因子有限元解，MPa·mm1/2。

從表2和表3中的誤差分析可以看出，利用擴展有限元法求得的應力強度因子與通過應力強度因子手冊計算的結果很接近，最大相對誤差為-7.12%，因此，可以認為通過擴展有限元法求得的應力強度因子是相對準確可靠的。

對單向拉伸載荷為100 MPa、裂紋寬度為0.5 mm模型的裂紋尖端受力進行分析，得到的應力云圖如圖4所示。裂紋擴展的20步過程中，裂紋尖端處所受到的應力始終是最大的，表明了裂尖處有很大的應力集中，這會加速CT80連續管的裂紋擴展。

表2 裂紋應力強度因子隨拉伸應力的變化(α=0.5 mm)Table 2 Crack stress intensity factor changes with tensile stress(α=0.5 mm)

表3 裂紋應力強度因子隨裂紋寬度的變化(σ=100 MPa)Table 3 Crack stress intensity factor changes with crack width(σ=100 MPa)

圖4 不同分析步數下的CT80連續管受力云圖Fig.4 Stress cloud diagram of CT80 coiled tubing under different analytical steps

3 裂紋角度對應力強度因子的影響

裂紋的角度對應力強度因子有很大影響，用解析法等方法計算復雜三維模型的復雜受力相當復雜，而利用擴展有限元法計算復雜模型的應力強度因子則較為簡便準確。為了研究裂紋角度對Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂紋的應力強度因子KⅠ，KⅡ和KⅢ的影響情況，利用ABAQUS軟件平臺的擴展有限元(XFEM)技術分別計算不同裂紋角度下的KⅠ，KⅡ和KⅢ值。

首先建立不同裂紋方向CT80連續管的模型。取CT80連續管的壁厚為2.77 mm，外徑為38.10 mm，長度為100 mm。對模型一端施加100 MPa的均勻拉力，力學材料參數如表1所示。裂紋的長度為1/12圓周，寬度分別為0.5，1.0和1.5 mm。裂紋方向θ(裂紋面與XOY平面的夾角)分別為0°，15°，30°，45°，60°，75°和90°。模型如圖5所示。

圖5 不同裂紋角度θ下的CT80連續管模型Fig.5 CT80 coiled tubing model with different crack angles

3.1 裂紋角度對Ⅰ型裂紋應力強度因子KⅠ的影響

通過擴展有限元法計算可以得到不同裂紋角度對Ⅰ型裂紋應力強度因子KⅠ的影響，其結果如圖6所示。

從圖6可以看出，當裂紋寬度α分別為0.5，1.0，1.5 mm時，隨著裂紋角度θ的增大，Ⅰ 型裂紋應力強度因子KⅠ不斷減小。

圖6 不同裂紋角度θ下的Ⅰ型裂紋應力強度因子KⅠFig.6 Stress intensity factorKⅠof typeⅠ cracks under different crack angles

3.2 裂紋角度對Ⅱ型裂紋應力強度因子KⅡ的影響

通過擴展有限元法計算，可以得到不同裂紋角度對Ⅱ型裂紋應力強度因子KⅡ的影響，其結果如圖7所示。

圖7 不同裂紋角度θ下的Ⅱ型裂紋應力強度因子KⅡFig.7 Stress intensity factorKⅡof type Ⅱ cracks under different crack anglesθ

從圖7可以看出，當裂紋寬度α分別為0.5，1.0和1.5 mm時，隨著裂紋角度θ的增大，Ⅱ型裂紋應力強度因子KⅡ的整體趨勢是先增大后減小；但是，KⅡ值總是很小，多個值趨近于0。

3.3 裂紋角度對Ⅲ型裂紋應力強度因子KⅢ的影響

通過擴展有限元法計算可以得到不同裂紋角度對Ⅲ型裂紋應力強度因子KⅢ的影響，其結果如圖8所示。

圖8 不同裂紋角度θ下的Ⅲ型裂紋應力強度因子KⅢFig.8 Stress intensity factorKⅢ of type Ⅲ cracks under different crack angles θ

從圖8可以看出，當裂紋寬度α分別為0.5，1.0和1.5 mm時，隨著裂紋角度θ的增大，Ⅲ型裂紋應力強度因子KⅢ的整體趨勢是先增大后減小，在裂紋角度θ=45°時達到最大值。

3.4 裂紋角度對總應力強度因子K的影響

由前面的表2和表3可知，利用CAE軟件平臺的擴展有限元法計算出的應力強度因子比較精確。由擴展有限元法計算出KⅠ，KⅡ，KⅢ值后，利用式(3)可以求得總的應力強度因子K，其計算結果如圖9所示。

圖9 不同裂紋角度θ下的總裂紋應力強度因子KFig.9 The total stress intensity factor K under different crack angles θ

從圖9可以看出，當裂紋寬度α分別為0.5，1.0和1.5 mm時，隨著裂紋角度θ的增大，總裂紋應力強度因子K不斷減小。K與KⅠ的整體趨勢大體一致，這表明在不同裂紋角度下，Ⅰ型(張開型)裂紋是最為危險的裂紋。

4 含裂紋CT80連續管安全性預測

當前對CT80連續管的無損裂紋檢測方法主要有2種，對于不可見的內部裂紋，采用渦流探傷的方法檢測；對于可見的開口裂紋，采用超聲波檢測。根據上述2種方法檢測到的裂紋形狀建立有限元模型，利用XFEM可以快速計算出該裂紋形狀下的CT80連續管裂尖應力強度因子K。

根據20世紀60年代Irwin[21]提出的應力強度因子方法可知，控制斷裂的參數是材料的斷裂韌性KC。相應的斷裂準則為：

K=KC

(5)

該準則提出，應力強度因子既適用于穩定裂紋擴展，也適用于疲勞和應力腐蝕的亞臨界裂紋擴展。

5 結論

1)利用ABAQUS軟件平臺的擴展有限元法(XFEM)功能，可以精確的求得裂尖應力強度因子。擴展有限元法計算出的應力強度因子與應力強度因子手冊上求得的應力強度因子很接近。對于受單向拉伸載荷的CT80連續管試樣，其構件受到的最大應力始終位于裂尖處。

2)隨著裂紋角度θ的增大，KⅠ不斷減小；KⅡ的整體趨勢是先增大后減小，但是，KⅡ值總是很小，趨近于零；KⅢ的整體趨勢是先增大后減小；在裂紋角度θ為45°時達到最大值；總裂紋應力強度因子K不斷減小；K與KⅠ的整體趨勢大體一致，這表明在不同裂紋角度下，Ⅰ型(張開型)裂紋是最為危險的裂紋。

3)通過比較ABAQUS軟件計算出的應力強度因子與CT80連續管的材料斷裂韌性KC，可有效判斷構件是否處于安全狀態。