基于Mogi-Coulomb強度準則的井壁穩定性力學分析新方法*

李高仁，史亞紅，夏宏泉，韓龍飛

(1.長慶油田分公司勘探開發研究院，陜西 西安 710021；2.西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都 610500)

0 引言

井壁失穩不但影響安全鉆井施工，而且給固井及后續開發帶來很多難題。研究表明定向井、大位移井和水平井的井壁失穩比直井更加突出[1-3]。前人對直井井壁穩定性的研究非常成熟，而對井斜角與方位角變化較大的井(如具有復雜軌跡的斜井和水平井)的井壁穩定性研究還未達成統一認識。

選擇適當的巖石強度破壞準則是準確計算坍塌壓力和破裂壓力與評價井壁穩定性的關鍵。在井壁穩定性分析中，Mohr-Coulomb破壞準則(M-C準則)是研究井壁剪切破壞最常用的準則[4-5]，該準則假設中間主應力σ2和最小主應力σ3相等，忽略了σ2不等于σ3對巖石強度的影響，這使得其預測的井壁坍塌壓力太大，不利于提高鉆速和儲層保護。國外對此問題的研究比較多[6-7]，例如，Vernik等人[8]發現使用M-C準則評價巖石失穩破壞存在較大誤差，認為巖石破壞準則的選擇對井壁穩定性研究非常重要；Al-Ajmi和Zimmerman[9-11]對比了Mogi準則與Coulomb準則之間的力學關系，并考慮中間主應力σ2對巖石強度的影響，提出采用Mogi準則的線性方程評價巖石破壞，并將其命名為Mogi-Coulomb準則(Mg-C準則)，該準則用于評價井壁失穩有較好的適用性。

本文在斜井井壁圍巖應力分析的基礎上，結合M-C準則、Mg-C準則和Ranki拉伸破壞準則建立了適用于復雜井斜的地層坍塌壓力和破裂壓力計算模型，并模擬分析了不同地應力狀態和破壞準則對復雜軌跡井的安全鉆井液密度窗口及井壁穩定性的影響變化規律；最后，將新舊模型應用于ORDOS盆地某水平井H1井坍塌風險預測中，并與實際情況作對比，從而驗證了新模型的準確性。

1 井壁圍巖應力分布狀態

地應力坐標系和井眼坐標系間的轉換關系如圖1所示，其中，(1,2,3)為原地應力坐標系，(x,y,z)為井眼直角坐標系，(r,θ,z)為井眼圓柱坐標系。坐標系(1,2,3)的3個坐標軸分別與地應力σH，σh，σv相對應。坐標系(x,y,z)中，z軸與井眼軸線平行，x軸和y軸位于垂直于z軸的平面內。定義井斜角為α，β角為井斜方位與最大水平主應力σH方向之間的夾角，井周角θ為井周上某點徑向與最大水平主應力方向之間的夾角。根據圖1將坐標系(1,2,3)旋轉到坐標系(x,y,z)，可得斜井井壁應力的分布狀態[12]。

圖1 地應力坐標系和井眼坐標系間的轉換關系Fig.1 The relationship between geostress coordinate system and wellbore coordinate system

斜井井壁上某點的正應力和剪應力可用式(1)表示：

(1)

(2)

式中：Pi為鉆井液液柱壓力，MPa；σr為徑向應力，MPa；σθ為周向應力，MPa；σx為坐標變化后沿x軸的正應力，MPa；σy為坐標變化后沿y軸的正應力，MPa；σz為坐標變化后沿z軸的正應力，MPa；τxy為坐標變化后沿x平面和y平面的剪應力，MPa；τyz為坐標變化后沿y平面和z平面的剪應力，MPa；τxz為坐標變化后沿x平面和z平面的剪應力，MPa；σH為最大水平主應力，MPa；σh為最小水平主應力，MPa；σv為上覆巖層壓力，MPa；μ為巖石泊松比。

斜井井壁上某點的3個主應力σi,σj,σk可由式(3)表示：

(3)

對其進行大小排序，這3個主應力從大到小分別對應σ1,σ2,σ3。

2 Mogi-Coulomb剪切破壞準則

Mg-C準則考慮了中間主應力σ2對巖石強度的影響，反映巖石的剪切破壞更加客觀準確。在考慮有效應力的情況下，Mg-C準則可以表示為[9,13]：

(I12-3I2)1/2=a+b(I1-σ2-2αPp)

(4)

(5)

式中：α為孔彈性系數，a=2Ccosφ；b=sinφ；I1為第一應力不變量，MPa；I2為第二應力不變量，MPa；Pp為孔隙壓力，MPa；其他參數意義同上。

3 巖石坍塌壓力和破裂壓力模型的建立及求解

剪切破壞和拉伸破壞是井壁巖石失穩破壞的主要形式。通常，井內鉆井液柱壓力太低或太高會使得井壁圍巖的應力超過巖石強度，從而造成井壁的剪切破壞和拉伸破壞。鉆井液柱壓力過低時，井壁最小主應力為σ3=σi=σr=Pi，對應于最常見的井壁剪切崩落破壞模式和σj>σk>σi應力狀態，則計算的臨界壓力即為坍塌壓力；而隨著鉆井液密度增大、鉆井液柱壓力的增加，井壁徑向應力σr也逐漸增大，增大到一定程度、超過其抗拉強度時，井壁巖石將發生拉伸破壞，此時計算的臨界壓力為破裂壓力。

3.1 巖石坍塌壓力模型建立

從以上分析可知，計算坍塌壓力時，最常用的主應力排序是σj≥σk≥σi。結合式(3)可得井壁3個主應力的對應關系 ：σ1=σj,σ2=σk,σ3=σi=σr=Pi。將這3個主應力代入M-C剪切破壞準則[13-14]和Mg-C準則式(4)并整理變換，可得基于M-C、Mg-C這2種巖石剪切破壞準則計算坍塌壓力的方程式為:

(6)

式中：Pbr為利用M-C準則計算的坍塌壓力，MPa；Pbg為利用Mg-C準則計算的坍塌壓力，MPa。

函數fM-C和fMg-C的物理意義是：當fM-C<0或fMg-C<0時，井壁巖石將發生剪切破壞；fM-C=0或fMg-C=0時，井壁巖石處于極限平衡狀態；當fM-C>0或fMg-C>0時，井壁巖石處于穩定狀態。

3.2 巖石破裂壓力模型建立

由式(3)可知，井壁3個主應力σi,σj和σk中，只有σk可能為負值。因此，對于拉張破裂，井壁圍巖最小主應力為σmin=σ3=σk，將其代入拉伸破裂準則σmin-αPp≤-|σt|，可得井壁拉張破壞的應力-強度函數關系式：

fT(Pft)=σ3-αPp+|σt|=0

(7)

式中：σt為巖石抗拉強度，MPa；pft為破裂壓力，MPa。

函數fT的物理意義是：當fT<0時，井壁巖石將發生拉張破壞；fT=0時，井壁巖石處于極限平衡狀態；當fT>0時，井壁巖石不會發生拉張破壞。

井壁最大、最小主應力σ1和σ3都是鉆井液液柱壓力Pi的函數。將σ1和σ3代入式(6)和式(7)可以得到M-C準則和Mg-C準則計算的坍塌壓力的模型及拉伸破裂準則計算破裂壓力的模型，它們都是含Pi的非線性方程，通過迭代的方法可以求出所需的鉆井液液注壓力值。

根據上述算法，使用FORTRAN語言編程，掛接到FORWARD.NET測井解釋平臺可以實現整個井段任意井眼坍塌壓力(Pbr和Pbg)和破裂壓力(Pft)的求解。

3.3 安全鉆井液密度窗口的確定

為了避免發生縮徑、坍塌、溢流和井噴等工況，使用合理的鉆井液密度非常重要[15]。常用M-C準則計算坍塌壓力，并與孔隙壓力作比較，選擇較大的當量密度值作為下限值，而根據拉伸破壞準則計算的破裂壓力當量密度作為上限值。實際表明此方法給出的鉆井液密度值偏高且窗口窄，同維持井壁穩定所需的鉆井液密度值有一定的差異，不利于鉆井提速和儲層保護。本文引入Mg-C準則計算的鉆井液密度，給出一種計算任意井眼安全鉆井液密度窗口MW(上下限)的新方法，計算公式如式(8)和式(9)所示。

(8)

(9)

式中：TVD為垂深，m；Ppm為孔隙壓力當量密度，g/cm3；Pbgm為Mg-C準則計算的坍塌壓力當量密度，g/cm3；Pftm為破裂壓力當量密度，g/cm3。

4 井壁坍塌失穩規律分析

由上述模型的一系列推導過程可以看出，任意井眼的坍塌壓力和破裂壓力的計算與井斜角、井斜方位角及地應力狀態(大小和方向)密切相關。地應力表現為3種狀態，即σV>σH>σh(正斷層NF)、σH>σV>σh(走滑斷層SS)和σH>σh>σV(逆斷層RF)。

ORDOS盆地某井的低孔低滲砂巖地層參數為：垂深TVD=2 500 m，孔隙壓力Pp=30 MPa，泊松比ν=0.25，Biot系數α=0.5，抗拉強度St=8.0 MPa，內摩擦角φ=25°，內聚力C=6.28 MPa，其最大水平主應力方向為正北向，地應力數據如表1所示。

表1 不同斷層類型的地應力輸入數據Table 1 Input data for different in-situ stress patterns

將上述已知巖石力學參數和表1數據代入坍塌壓力和破裂壓力模型進行計算，采用Origin軟件繪圖可得，不同準則計算的坍塌壓力和破裂壓力當量密度隨井斜角和井斜方位角的變化規律，如圖2-4所示。可以看出：

1)在相同地應力狀態下，由M-C和Mg-C這2種破壞準則計算的同一位置的坍塌壓力當量密度不同，但變化趨勢基本相同。通過對比發現，Mg-C準則計算的坍塌壓力當量密度(0.96～1.65 g/cm3)略微低于M-C準則(1.1～1.8 g/cm3)。究其原因主要是由于M-C準則忽略了σ2對巖石強度的影響，使得預測的坍塌壓力當量密度過高，而Mg-C準則考慮了中間主應力σ2的作用使得預測值較前者低。

圖2 不同地應力狀態下M-C準則計算的坍塌壓力當量密度分布Fig.2 Collapse pressure equivalent density cloud map calculated by M-C and Mg-C criteria under different in-situ stress conditions

2)對于NF應力狀態，從圖3(a)和圖4(a)可知，沿最小水平主應力方向鉆進的小斜度定向井坍塌壓力當量密度較低(0.96～1.25 g/cm3)，其次是直井(1.16 g/cm3)，沿最大水平主應力方向鉆進的水平井穩定性差(1.65 g/cm3)，而破裂壓力當量密度變化趨勢正好相反(見圖4(a))。因此正斷層地應力狀態時，沿最小水平主應力方向鉆進小斜度定向井安全鉆井液密度窗口較寬(0.96～3.165 g/cm3)，井壁穩定；直井井壁穩定性次之(1.16～2.186 g/cm3)；若要鉆取大斜度井或者水平井，沿最小水平主應力方向鉆進時，安全鉆井液密度窗口較寬(1.45～2.566 g/cm3)，井壁穩定，而沿最大水平主應力方向鉆進時，安全鉆井液密度窗口較窄(1.65～2.965 g/cm3)，井壁穩定性差。

3)對于SS斷層應力狀態，結合圖3(b)和圖4(b)可知，沿最大與最小水平主應力之間的某一臨界角鉆斜井或水平井時，安全鉆井液密度窗口較寬(1.325～3.082 g/cm3)，井壁穩定；而沿最大水平主應力和最小水平主應力方向鉆進斜井或水平井時，安全鉆井液密度窗口較窄(1.625～2.375 g/cm3)，井壁穩定性差。

圖3 不同地應力狀態下Mg-C準則計算的坍塌壓力當量密度分布Fig.3 Collapse pressure equivalent density cloud map calculated Mg-C criteria under different in-situ stress conditions

4)對于RF斷層應力狀態，結合圖3(c)和圖4(c)可知，沿最大水平主應力方向鉆進小斜度定向井安全密度窗口較寬(0.736～2.370 g/cm3)，井壁穩定；其次是直井(0.936～1.970 g/cm3)，井壁穩定性次之；若鉆大斜度井或水平井，沿最大水平井主應力方向鉆進，安全鉆井液密度窗口較寬(0.936～1.37 g/cm3)，井壁穩定，而沿最小水平主應力方向鉆進，安全鉆井液密度窗口窄，井壁地層為壓力敏感性地層狀態。

圖4 不同地應力狀態下拉張破壞準則計算的破裂壓力當量密度分布Fig.4 Fracture pressure equivalent density cloud map calculated by tensile failure criterion under different in-situ stress conditions

5 實例分析

根據上述公式編制程序，并掛接到Forward測井解釋平臺運行，可以實現安全鉆井液密度窗口的可視化測井解釋處理。對ORDOS盆地某水平井H1井3 000～3 750 m井段坍塌壓力和破裂壓力當量密度及安全鉆井液密度窗口進行預測(已知井段地應力狀態為走滑地應力狀態且最大地應力方位為NE114°)，可得到H1井3 000～3 750 m井段不同方法預測的鉆井液密度與實際鉆井液密度對比結果，如表2所示。

表2 H1井預測的鉆井液密度與實際鉆井液密度對比Table 2 The comparison the predicted drilling fluid density with the actual drilling fluid density for H1 well

從表2可知，在3 000～3 200 m沿最大地應力方位(方位角為NE114.7°)使用密度為1.36 g·cm-3的鉆井液密度鉆進時，井眼擴徑顯著，井壁發生明顯的坍塌掉塊；在3 200～3 430 m，當鉆進方位減小時，坍塌掉塊現象有所減弱；在3 430～3 750 m沿與最大地應力方位呈NE44.7°使用密度為1.43 g·cm-3的鉆井液密度鉆進(方位角為NE70°)時，井眼基本沒有擴徑，井壁穩定性好。這正好驗證了走滑斷層地應力狀態下，沿與最大地應力方向呈某一臨界角鉆進水平井最安全。

觀察2種方法的鉆井液密度窗口的下限可得，新方法的坍塌壓力當量密度小于傳統方法的值，即：Pbgm

從表2可知，在井壁穩定段3 430～3 750 m，新方法預測的鉆井液密度小于傳統方法的預測值，且與實際維持井壁穩定需要的鉆井液密度更加接近。因為當鉆井液密度過高時，其在壓差的作用下會侵入地層，從而增加井壁坍塌風險。所以，新方法可以提高鉆速，降低鉆井成本和技術難度。

6 結論

1)基于不同坐標系的井壁應力分析，采用M-C和Mg-C剪切破壞準則與拉伸破裂準則建立的任意井眼的坍塌壓力和破裂壓力及相應的安全鉆井液密度窗口計算模型，克服了傳統模型預測鉆井液密度保守的缺點，可以合理地給出維持井壁穩定所需的理想鉆井液密度。

2)采用M-C和Mg-C的2種剪切破壞準則計算的井眼坍塌風險分布趨勢基本相同。當在同一位置(井斜角和方位角相同)，Mg-C準則計算的坍塌壓力當量密度稍微低于M-C準則，這與實際鉆井時允許有輕微的井壁失穩情況相一致。

3)3種典型地應力狀態(NF,SS,RF)下任意井眼井壁穩定性分析顯示，正斷層地應力狀態時，沿最小水平主應力方向鉆進的小斜度定向井井壁穩定性最好；走滑斷層地應力狀態時，沿最大水平主應力與最小水平主應力之間的某一臨界角鉆進斜井或水平井，其井壁最穩定；逆斷層地應力狀態時，沿最大水平主應力方向鉆進小斜度定向井，其井壁最穩定。