基于混合策略粒子群算法的含水層參數確定

段國榮，劉元會

(長安大學理學院，西安 710064)

0 引 言

在地下水研究中,經常遇到有關含水層參數的估計問題。含水層參數是否可靠,決定地下水模擬計算的準確性。目前,估計含水層參數的主要方法是通過分析抽水試驗數據來確定,在這方面許多專家進行了大量的研究。標準曲線配線法[1],時間定律法(Law of Times)和拐點法(Method of Inflection Point)[2],非線性最小二乘法[3,4],線性回歸法[5], Sushil K.S.方法[6,7]和直線圖解法[8]等是分析抽水試驗數據的傳統方法,但這些方法在實際應用中存在局限性。近年來,智能優化算法被廣泛用于解決含水層參數問題,例如粒子群優化算法[9],混沌人工魚群混合算法[10],改進粒子群算法[11], 單純形-粒子群混合算法[12],單純形差分進化混合算法[13]和改進的花粉算法[14]等方法。郭建青,李彥等將粒子群優化算法[9]應用于確定含水層參數,但該算法對粒子數目的大小依賴性很強。袁帆,劉元會等利用單純形-粒子群混合算法[18]計算含水層參數的問題,但計算結果精度不高,且粒子數目的大小和待估參數取值范圍對算法的收斂性有較大的影響。粒子群優化算法[9]容易實現,但常出現收斂速度慢,精度差和易陷入局部極值等缺陷。因此,本研究給出緊湊度和調度處理[15]的概念,與粒子群優化算法相結合,組成一種混合策略粒子群優化算法,即PCS-PSO算法。將PCS-PSO算法用于分析無限延伸含水層和直線隔水邊界含水層條件下的抽水試驗數據,求解含水層參數,試圖為含水層參數的確定提供一種新的方法。

1 優化算法簡介

1.1 PCS-PSO算法的思想

為避免粒子群優化算法出現收斂速度慢,精度差,易陷入局部極值等缺陷,本研究對其進行了改進,改進方案如下。

(1)局部搜索。為了避免粒子群優化算法陷入局部最優,提出了緊湊度[16]的概念,若粒子處于緊湊狀態時,能夠加強粒子群優化算法的局部搜索能力。這里給定緊湊度閾值 來判斷相鄰兩粒子是否處于緊湊狀態。

(2)提高算法尋優精度及收斂速度[16]。通過調度處理[16]中調度系數 的控制,能夠保證被調度的粒子在全局最優解 周圍進行深度搜索,這樣既能夠提高算法的尋優精度,又能加快算法的收斂速度。

(3)全局搜索[16]。以一定的小概率[16]隨機改變粒子的當前位置而不受全局最優解 的影響,由于小概率 的約束,能夠提高全局搜索能力。

1.2 PCS-PSO算法的步驟

步驟1:初始化PCS-PSO算法的相關參數。

步驟2:評價各粒子的適應度值,保存粒子個體和全局最優位置及最優解。

步驟3:若t

步驟4:更新各粒子的速度和位置,并更新粒子個體和全局的最優解。

步驟5:將各粒子的適應度值進行降序排列。

步驟6:計算兩粒子間適應度差值H,引入小概率p1,若H

步驟7:若pg小于收斂精度e1或pg的誤差小于相似度[17], 則k=k+1,否則轉到步驟3。

步驟8:輸出結果。

2 目標函數與控制條件

2.1 降深表達式

(1)各向同性、均質和無限延伸條件下的降深計算公式。根據地下水動力學中的迭加原理,含水層中任一位置的降深可由兩部分疊加得到,即虛擬映射注水井注水和抽水實井抽水分別在該位置產生降深的疊加。無限延伸含水層條件下井孔的位置關系[5]如圖1所示。

圖1 無限延伸含水層條件下井孔的位置Fig.1 The position of well hole under the condition of infinitely aquifer

該情況下,含水層中任一位置的降深表達式為[18]：

s=s1+s2=[w(u1)-w(u2)]Q/4 πT

(1)

式中:T表示含水層導水系數,m2/min;Q表示抽水流量,m3/min;s1表示實井抽水引起的降深,m;s2表示虛擬映射注水井注水引起的降深,m;w(u1)和w(u2)分別表示相應的抽水實井和虛擬映射注水井的井函數,無量綱,其表達式分別為:

(2)

式中：u1和u2為無量綱時間,表達式分別為:

(3)

式中:r是抽水實井與觀測井的距離,m;r′是虛擬映射井與觀測井的距離,m;t為抽水持續時間，min;S為儲水系數,無量綱。

由式(2)可知,需要計算廣義積分值,利用R.Srivastava的泰斯井函數近似表達式[19]進行計算:

W(u)=-Inu+a0+a1u+a2u2+a3u3+a4u4+a5u5,u≤1

(4)

(5)

其中的常數值分別為:a0=-0.577 72,a1=0.999 99,a2=-0.249 1,a3=-0.055 19,a4=-0.009 76,a5=0.001 08,b1=8.634 76,b2=18.059 02,b3=8.573 30,c0=3.958 50,c1=21.099 65,c2=25.632 96,c3=9.573 32。

(2)直線隔水邊界條件下的降深計算公式。直線隔水邊界含水層情況下,而其他條件與無限延伸含水層情況相同,觀測孔中水位降深的表達式如下:

(6)

2.2 目標函數的構成

應用PCS-PSO算法時,要求待估參數向量 使如下目標函數值達到最小,即:

(7)

式中:θ表示待估參數向量;s0i為開始抽水后第i時刻的實際水位降深;si為計算得到的第i時刻的水位降深;在無限延伸含水層條件下,利用式(1)計算水位降深si,在直線隔水邊界含水層條件下,利用式(6)計算水位降深si,i=1,2,…,m表示抽水試驗中水位降深的觀測時間序列號。

2.3 算法參數控制

經過大量試驗分析,本研究選取緊湊度閾值Hth=100,小概率p1=0.05,調度系數c3=1.0,粒子數目維度N=20,最大迭代次數gen=200,根據文獻[20],含水層導水系數T∈[2.5,3.5] m2/min,儲水系數S∈[0.050,0.070],觀測井與虛擬映射井的距離r′∈[100,130] m,收斂精度e1=5×10-5,計算相似度[13]e2=10-9,最優累計次數[13]K=20。

3 算 例

算例1引自文獻[14]。無限含水層條件下原始抽水試驗的觀測數據見表1,試驗中抽水流量Q=4.543 m3/min,離抽水主井30.48 m處有一個觀測孔。

表1 原始抽水試驗數據(無限含水層)Tab.1 The drawdown& time in pumping test in infinitely aquifer

算例2引自文獻[13]。直線隔水邊界含水層條件下原始抽水試驗的觀測數據見表2,試驗中抽水流量Q=4.581 m3/min, 離抽水主井30.48 m處有一個觀測孔。

表2 原始抽水試驗數據(直線隔水邊界)Tab.2 The drawdown& time in pumping test in the aquifer with impermeable boundary

3.1 不同方法計算結果的比較

表3提供了PCS-PSO算法和相關文獻中的其他方法在無限延伸含水層條件下求解含水層參數的結果。

表3 不同方法的計算結果Tab.3 The results of different methods

由表3可知,由PCS-PSO算法求解無限延伸含水層條件下的含水層參數時,得到的目標函數值 的精度優于其他方法,計算時間為0.588 s,因此,PCS-PSO算法對含水層參數的計算是可靠的,運算速度也比較快。

3.2 直線隔水邊界含水層條件下的參數計算

采用表2的數據,利用PCS-PSO算法計算得到的3個參數分別為T=3.010 0 m2/min,S=0.066 2,r′=107.744 0 m,目標函數值φ=4.260 1×10-6。為了驗證PCS-PSO算法估計含水層參數的可靠性,將估計的3個參數代入式(6),得到水位降深計算值與觀測值的對比情況,如圖2所示。由圖2可知,隨時間變化過程中,計算的水位降深與實際觀測值非常吻合。因此,PCS-PSO算法同樣適用于分析直線隔水邊界下的抽水實驗數據,對含水層參數的估計是可靠的。

圖2 原始數據與計算結果Fig.2 Initial data and the values of calculated

3.3 待估參數取值范圍對計算結果的影響

限于篇幅下面只研究無限延伸含水層條件下算法的優點。表4是在其他試驗條件不變,令待估參數取值范圍的上限為原來的2,4,6和8倍,運行100次程序求計算結果的平均值。收斂率、平均迭代次數、平均最優值及標準差見表4。由表4可知,隨著待估參數范圍的增大,PSO算法的收斂率快速下降,平均迭代次數快速上升,而PCS-PSO算法的收斂率保持不變,高達100%,平均迭代次數基本保持不變;PCS-PSO算法標準差的精度明顯高于PSO算法,由此可知PCS-PSO算法收斂速度較快,收斂性較好,穩定性較好。

表4 待估參數取值范圍的上限擴大為原來的不同倍數時PCS-PSO算法與PSO算法的計算結果Tab.4 The calculated results of PCS-PSO and PSO under being estimated parameters from the upper limit of the range expand to the original different multiples

4 結 論

數值實驗結果表明:PCS-PSO算法能有效地估計無限延伸含水層和直線隔水邊界含水層條件下的含水層參數;PCS-PSO算法計算得到的目標函數值φ(θ)精度優于其他方法;擴大待估參數取值范圍對PCS-PSO算法的收斂性及收斂速度影響很小,明顯優于PSO算法;PCS-PSO算法估計含水層參數時,精度高,收斂性好,收斂速度快,穩定性好及尋優率高。因此,PCS-PSO算法是分析抽水實驗數據,確定含水層參數的有效方法。

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