灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造的新方法

楊孝良，周 猛，曾 波

（重慶工商大學(xué)a.長江上游經(jīng)濟(jì)研究中心；b.國家智能制造服務(wù)國際科技合作基地，重慶 400067）

0 引言

灰色理論[1]是研究和解決現(xiàn)實(shí)世界不確定性問題的主要方法之一，以GM(1,1)模型為基礎(chǔ)的灰色預(yù)測模型是灰色理論的重要組成部分，而背景值[2]則是影響灰色預(yù)測模型性能的重要參數(shù)之一。為了改善灰色預(yù)測模型性能，研究人員從不同角度對(duì)灰色預(yù)測模型背景值的構(gòu)造方式與優(yōu)化方法進(jìn)行了深入研究，并取得了較為豐碩的研究成果。

灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造方式的優(yōu)化。灰色預(yù)測模型背景值z(1)(k)是一個(gè)平滑公式，當(dāng)建模數(shù)據(jù)變化平緩時(shí)，通過緊鄰均值來計(jì)算灰色預(yù)測模型背景值是合理的；反之，當(dāng)建模數(shù)據(jù)具有一定的波動(dòng)性或振蕩特征時(shí)，假如同樣使用z(1)(k)作為灰色預(yù)測模型背景值，往往導(dǎo)致灰色預(yù)測模型誤差偏大。為了解決該問題，譚冠軍[3]、劉樂[4]、蔣詩泉[5]等對(duì)灰色預(yù)測模型背景值的構(gòu)造方法進(jìn)行研究。如蔣詩泉[5]基于積分幾何意義的視角，利用函數(shù)逼近的思想并結(jié)合復(fù)化梯形公式，提出了一種新的GM(1,1)模型背景值優(yōu)化方法，所建立的GM(1,1)模型在預(yù)測精度上有顯著的提高。

灰色預(yù)測模型背景值計(jì)算方式的優(yōu)化。灰色預(yù)測模型背景值z(1)(k)=0.5x(1)(k -1)+0.5x(1)(k)，換言之，建模時(shí)通過x(1)(k -1)與x(1)(k)的均值來作為灰色預(yù)測模型的背景值。實(shí)際上這是一種簡化處理，為此，肖新平[6]、謝開貴[7]等將z(1)(k)推廣為z(1)(k)=αx(1)(k -1)+(1-α)x(1)(k )，其中α∈(0，1)為待定參數(shù)，通常利用遺傳算法等智能尋優(yōu)算法來確定α的相對(duì)最優(yōu)值，并稱該模型為GM(1,1,α)模型。另外，李俊峰[8]、童明余[9]、劉震[10]等提出用插值和數(shù)值積分中的Newton-Cores公式、數(shù)值積分中的Gauss公式等來優(yōu)化和改善灰色預(yù)測模型背景值，并將其應(yīng)用于我國城市內(nèi)分泌、營養(yǎng)和代謝疾病及免疫病致死人數(shù)占死亡總?cè)藬?shù)的百分比預(yù)測，取得了較好的效果。

灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造的非等間距拓展。現(xiàn)有灰色預(yù)測模型主要研究和討論等時(shí)距情況下的系統(tǒng)預(yù)測問題，實(shí)際上等時(shí)距只是一種理想情況，現(xiàn)實(shí)生活中大量實(shí)際應(yīng)用是非等時(shí)距的。因此，如何在非等時(shí)距情況下實(shí)現(xiàn)灰色預(yù)測背景值的合理構(gòu)造，是構(gòu)建非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的重要內(nèi)容[11，12]。為此，李翠鳳等[13]提出用 x(1)(t)在區(qū)間[ki， ki+1]中點(diǎn)的實(shí)際值來構(gòu)造非等時(shí)距灰色預(yù)測模型的背景值；王葉梅等[14]根據(jù)灰色模型的指數(shù)特性和積分特點(diǎn)，利用非齊次指數(shù)函數(shù)來擬合一次累加生成序列，提出了一種重構(gòu)非等間距灰色模型背景值的方法。

灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造方式與計(jì)算方法的優(yōu)化，對(duì)提高灰色預(yù)測模型模擬及預(yù)測性能，拓展灰色預(yù)測模型應(yīng)用范圍，豐富和完善灰色預(yù)測模型理論體系，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。然而，現(xiàn)有灰色預(yù)測模型的構(gòu)造或優(yōu)化都是建立在x(1)(k -1)與x(1)(k)的基礎(chǔ)之上，這導(dǎo)致灰色預(yù)測模型背景值容易受到建模序列中極端數(shù)據(jù)的影響，從而影響灰色預(yù)測模型性能。為此，本文提出一種灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造的新方法。

1 NGM3(1,1)模型

定 義1：設(shè) 非 負(fù) 原 始 序 列Y(0)=(y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(m )) ,其中 y(0)(k )≥0,k=1，2，…m ，序列 Y(1)是序列Y(0)的1-AGO生成序列，即：

其中：

則，當(dāng)k=3，4，…，m，

稱公式（1）為背景值含三參數(shù)的新型灰色預(yù)測模型，簡稱NGM3(1,1)模型。

定理1：序列Y(0)及Y(1)如定義1所述，p^=(a ，b，c)T為NGM3(1,1)模型的參數(shù)列，且：

則稱NGM3(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足：

證明：將數(shù)據(jù)代入NGM3(1,1)模型，即公式(1)，得：

上述方程組的矩陣形式為：

對(duì)參數(shù)a,b及c的一堆估計(jì)值，以-a(y(1)(k)+y(1)(k -1)+y(1)(k -2))/3+kb+c來代替 y(0)(k )，k=3，4，…，m ，可得誤差序列：

設(shè)：

使s最小的參數(shù)a,b及c應(yīng)滿足：

即：

根據(jù)公式（4），可以做出如下推導(dǎo)：

即：

證明結(jié)束。

根據(jù)定義1可知：

則：

即：

整理公式（5），可得：

設(shè)：

可得：

根據(jù)定義1可知，NGM3(1,1)模型的最終還原式可以表示為：

當(dāng)k=3，4時(shí)，根據(jù)公式（6）可得：在公式（8）中，y(1)(1)及y(1)(2)=y(1)(1)+y(0)(2)分別稱為NGM3(1,1)模型的初始值，視為已知數(shù)據(jù)。現(xiàn)根據(jù)公式（6），推導(dǎo)NGM3(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)。

將公式（8）代入公式（9），整理得：

類似地，當(dāng)k=5時(shí)，根據(jù)公式（6）可得：

將公式（8）及公式（10）代入公式（11），可得：

當(dāng)k=5時(shí)：

即：

根據(jù)上文的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，NGM3(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的構(gòu)成是非常復(fù)雜的，很難發(fā)現(xiàn)其遞推規(guī)律。實(shí)際上，構(gòu)建NGM3(1,1)模型的主要目的是模擬或預(yù)測數(shù)據(jù)(k)及y^(0)(k)。因此，NGM3(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)并非建模的必須環(huán)節(jié)。根據(jù)公式（7）可知，NGM3(1,1)模型滿足遞推算法，因此可以通過一段簡單的遞推程序來完成NGM3(1,1)模型的建模過程，實(shí)現(xiàn)NGM3(1,1)模型的模擬及預(yù)測功能。

相對(duì)于傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型，NGM3(1,1)模型具有如下優(yōu)點(diǎn)：

（1）NGM3(1,1)模型將背景值參數(shù)從兩個(gè)拓展至三個(gè)，提高了灰色預(yù)測模型背景值的平滑效果，弱化了原始序列中的極端數(shù)據(jù)對(duì)灰色預(yù)測模型性能的影響。考慮到背景值的光滑度是影響灰色預(yù)測模型模擬及預(yù)測性能的重要因素，因此，理論上NGM3(1,1)模型性能優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型。

（3）傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型主要應(yīng)用于小數(shù)據(jù)建模，隨著樣本量的增加，其預(yù)測性能往往變得更差。由于NGM3(1,1)模型背景值的光滑度優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型，因此基于三參數(shù)的背景值構(gòu)造方法對(duì)大樣本數(shù)據(jù)具有更好的平滑效果，使得NGM3(1,1)模型能夠模擬及預(yù)測更大樣本量的應(yīng)用場合，從而拓展傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型的適用范圍。

2 模型比較與性能分析

為了測試模型性能，以文獻(xiàn)[15]中的時(shí)序數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別建立NGM3(1,1)模型、GM(1,1)模型及CNDGM(1,1)模型，計(jì)算這些模型的殘差、相對(duì)模擬誤差及平均相對(duì)模擬誤差，并對(duì)上述模型的模擬性能進(jìn)行比較。

表1 來自文獻(xiàn)[15]的建模數(shù)據(jù)

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型，模擬值及模擬誤差如表2所示。表2中，模擬誤差Δk及平均相對(duì)模擬誤差的計(jì)算過程分為：

公式（16）用于計(jì)算灰色預(yù)測模型的平均相對(duì)模擬誤差。由于初始值不是通過模型計(jì)算得到的，視為已知數(shù)據(jù)，在計(jì)算時(shí)應(yīng)剔除。由于NGM3(1,1)模型具有與GM(1,1)模型及CNDGM(1,1)模型不同的初始值個(gè)數(shù)，因此對(duì)于GM(1,1)模型及CNDGM(1,1)模型，n=1；對(duì)于NGM3(1,1)模型，n=2，特此說明。

表2 NGM3(1,1)模型、GM(1,1)模型及CNDGM(1,1)模型的模擬值及模擬誤差

從表2可以看出，本文所構(gòu)建的NGM3(1,1)模型平均相對(duì)模擬誤差為2.96%，精度等級(jí)接近I級(jí)，性能最優(yōu)；其次為文獻(xiàn)[15]提出的CNDGM(1,1)模型，其模型精度等級(jí)為II級(jí)；而傳統(tǒng)的GM(1,1)模型精度最差。實(shí)例分析說明了NGM3(1,1)模型的背景值參數(shù)從兩個(gè)增加至三個(gè)，能明顯改善灰色預(yù)測模型背景值的平滑效果，進(jìn)一步弱化了原始序列中的極端數(shù)據(jù)對(duì)灰色預(yù)測模型性能的影響，因此其模型性能優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型。

3 基于NGM3(1,1)模型的預(yù)測實(shí)例

本文擬通過建立NGM3(1,1)模型，對(duì)三峽庫區(qū)農(nóng)村居民人均可支配收入進(jìn)行了預(yù)測和分析。表3是2009—2016年三峽庫區(qū)農(nóng)村居民的人均可支配收入情況（數(shù)據(jù)來源于重慶市2009—2016年統(tǒng)計(jì)年鑒）。

表3 三峽庫區(qū)2009—2016年農(nóng)村居民人均可支配收入情況表 （單位：元）

根據(jù)表3可知，原始序列Y(0)=(y(0)(1)，y(0)(2)，y(0)(3)，y(0)(4)，y(0)(5)，y(0)(6)，y(0)(7) y(0)(8))=(21.62，22.83，23.74，23.89，24.50，26.88，27.66，26.31，32.44，37.67，39.50)

建立序列Y(0)的NGM3(1,1)模型，模型參數(shù) μ1，μ2， μ3及μ4分 別 為 ： μ1=1.0276; μ2=0.0138; μ3=667.3954; μ4=4234.6345

根據(jù)公式（7）可知，三峽庫區(qū)農(nóng)村居民可支配收入的NGM3(1,1)模型為：

公式（17）中，當(dāng) k=3，4，...，8時(shí)，y^(0)(k +1)為模擬數(shù)據(jù)；當(dāng) k=9，10，...時(shí)，y^(0)(k +1)為預(yù)測數(shù)據(jù)。根據(jù)公式（17），可以計(jì)算NGM3(1,1)模型的模擬值及模擬誤差，如表4所示。為了比較NGM3(1,1)模型

的模擬性能，表4中同時(shí)列出了序列Y(0)的GM(1,1)模型及DGM(1,1)模型的模擬值及模擬誤差。

表4 NGM3(1,1)模型、GM(1,1)模型及DGM(1,1)模型的模擬值及模擬誤差

為了直觀比較NGM3(1,1)模型、GM(1,1)模型及DGM(1,1)模型對(duì)三峽庫區(qū)農(nóng)村居民人均可支配收入的模擬性能，本文用MATLAB分別繪制上述三個(gè)模型的平均模擬相對(duì)差曲線圖，如圖1所示。

圖1 NGM3(1,1)、GM(1,1)及DGM(1,1)的平均相對(duì)模擬誤差對(duì)比圖

根據(jù)圖1不難發(fā)現(xiàn)，GM(1,1)模型及DGM(1,1)模型的平均相對(duì)模擬誤差非常接近，前者略高于后者；而NGM3(1,1)模型的平均相對(duì)模擬誤差具有絕對(duì)優(yōu)勢，遠(yuǎn)優(yōu)于其他兩個(gè)模型。研究結(jié)果表明本文所提出的灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造新方法是合理有效的。

根據(jù) 公式（17），當(dāng) k=9，10，11，12，13，14，15，16，17，可以對(duì)2017—2025年三峽庫區(qū)農(nóng)村居民人均可支配收入進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表5所示。

根據(jù)表5不難發(fā)現(xiàn)，2025年三峽庫區(qū)農(nóng)村居民人均可支配收入預(yù)計(jì)將達(dá)到23614.18元，表明三峽庫區(qū)農(nóng)村居民人均可支配收入近些年來呈現(xiàn)快速增長的趨勢。三峽庫區(qū)經(jīng)濟(jì)社會(huì)取得了長足的發(fā)展，農(nóng)村居民純收入不斷提高，縮小了與全國平均水平的差距。

4 結(jié)論

灰色預(yù)測模型背景值是影響灰色預(yù)測模型模擬及預(yù)測精度的重要參數(shù)。然而，現(xiàn)有灰色預(yù)測模型的構(gòu)造或優(yōu)化都是建立在參數(shù)x(1)(k -1)與x(1)(k)的基礎(chǔ)之上，這導(dǎo)致灰色預(yù)測模型背景值容易受到建模序列中極端數(shù)據(jù)的影響，從而影響灰色預(yù)測模型性能的穩(wěn)定性。為此，本文提出一種含三參數(shù)的灰色預(yù)測模型背景值構(gòu)造的新方法，該方法提高了灰色預(yù)測模型背景值的平滑效果，弱化了原始序列中的極端數(shù)據(jù)對(duì)灰色預(yù)測模型性能的影響。通過案例比較，驗(yàn)證了基于三參數(shù)背景值的新型NGM3(1,1)模型的模擬性能優(yōu)于傳統(tǒng)以x(1)(k -1)及x(1)(k)為背景值基礎(chǔ)的灰色預(yù)測模型。最后，將NGM3(1,1)模型應(yīng)用于三峽庫區(qū)農(nóng)村居民可支配收入的模擬，模擬精度高達(dá)99.72%，進(jìn)一步驗(yàn)證了三參數(shù)背景值構(gòu)造新方法的可靠性及有效性。如何對(duì)以三參數(shù)為背景值的NGM3(1,1)模型進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，是下一步的研究問題。

表5 三峽庫區(qū)2017—2025年農(nóng)村居民人均可支配收入情況表 （單位：元）