數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教改芻議

陳峰芳

摘 要：在我國高等教育快速發(fā)展之際，作為高等教育的一個重要組成部分，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革也勢在必行，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力也已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方面。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與競賽是實(shí)施素質(zhì)教育的有效途徑，它既增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，又提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)技術(shù)分析和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 教學(xué) 競賽

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）09-0-02

引言

教育在綜合國力的競爭中處于基礎(chǔ)地位，因此為了更好的適應(yīng)現(xiàn)代快速發(fā)展的社會主義市場經(jīng)濟(jì)的需要，跟上新世紀(jì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的腳步。江澤民總書記在全國科學(xué)大會上指出：創(chuàng)新能力是一個民族進(jìn)步的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力。一個沒有創(chuàng)新能力的民族，難以屹立于世界前列。高等教育肩負(fù)著培養(yǎng)數(shù)以千計(jì)的高素質(zhì)專門人才和一大批拔尖創(chuàng)新人才的重要使命。提高高等教育質(zhì)量，既是高等教育自身發(fā)展規(guī)律的需要，也是建設(shè)創(chuàng)新型國家構(gòu)建社會主義和諧社會的需要。培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維對提高高等教育質(zhì)量起著舉足輕重的作用。培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新實(shí)踐的能力，是新形勢下高等教育教學(xué)改革的重要內(nèi)容和關(guān)鍵點(diǎn)[1]。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)及競賽正是在這種條件下應(yīng)運(yùn)而生的，是實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)的一種新的、行之有效的方法和手段。

一、數(shù)學(xué)建模競賽的起源與歷史

在1985年以前美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（簡稱Putnam普特南數(shù)學(xué)競賽），它是由美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA）主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進(jìn)行，每試6題；每試各為3小時，在次年的美國數(shù)學(xué)月刊上刊出競賽小結(jié)、獎勵名單、試題及部分題解。這是一個歷史悠久、影響很大的全美大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，自1938年舉行第一屆競賽以來已經(jīng)近50屆了。主要考核基礎(chǔ)知識和訓(xùn)練、邏輯推理及證明的能力、思維敏捷、計(jì)算能力等。試題中很少應(yīng)用題，完全不用計(jì)算機(jī)，是閉卷考試的。競賽是由各大學(xué)組隊(duì)（每隊(duì)三人）自愿報名參加的，得獎隊(duì)多為名牌大學(xué)的數(shù)學(xué)系。普特南數(shù)學(xué)競賽在吸引青年人熱愛數(shù)學(xué)從而走上數(shù)學(xué)研究的道路，鼓勵各數(shù)學(xué)系更好地培養(yǎng)人才方面起了很大作用，事實(shí)上一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)是它的獲獎?wù)摺５詈鬄槭裁磿a(chǎn)生另一個數(shù)學(xué)模型競賽的呢？根據(jù)美國一些數(shù)學(xué)家的看法主要有以下幾個因素：

1.參加普特南數(shù)學(xué)競賽是要有一定訓(xùn)練的，而很多學(xué)校的參賽隊(duì)員功底差、受訓(xùn)時間短、沒有經(jīng)驗(yàn)，因而參賽成績差，影響了積極性。

2.相當(dāng)多學(xué)生對數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用較為興趣，因而對普特南數(shù)學(xué)競賽缺乏積極性。

3.為了反對現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)中過分強(qiáng)調(diào)純粹性、形式方法、缺乏應(yīng)用內(nèi)容的傾向。

4.普特南數(shù)學(xué)競賽不用計(jì)算機(jī)。

5.對數(shù)學(xué)的看法：有人認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)一樣是數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要部分，它們是一個有機(jī)的整體。有人形象地把這四者表為一四面體的四個頂點(diǎn)（見右圖，P表示純粹數(shù)學(xué)，A表示應(yīng)用數(shù)學(xué)，C表示計(jì)算數(shù)學(xué)，S表示統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)），棱和面表示學(xué)科的“內(nèi)在聯(lián)系”，例如應(yīng)用線性代數(shù)、數(shù)值分析、運(yùn)籌學(xué)等，而該四面體即數(shù)學(xué)的整體。

因而自1983年以來有人產(chǎn)生了應(yīng)該有一個普特南應(yīng)用數(shù)學(xué)競賽，經(jīng)過論證、討論，爭取資助的過程，終于于1985年開始了第一屆數(shù)學(xué)模型競賽。1985年美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會和美國運(yùn)籌學(xué)會聯(lián)合主辦了美國首屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，在國際上產(chǎn)生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的一項(xiàng)著名賽事，每年一次。

我國于1989年首次參加這一競賽，歷屆均取得優(yōu)異成績。經(jīng)過數(shù)年參加MCM的結(jié)果表明。中國大學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面是具有競爭力和創(chuàng)新聯(lián)想能力的。為使這一賽事更為廣泛地展開，1990年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會和國家教委聯(lián)合主辦了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（簡稱CUMCM）。該項(xiàng)賽事每年9月進(jìn)行。其宗旨是：創(chuàng)新意識、團(tuán)隊(duì)精神、重在參與、公平競爭。自從創(chuàng)辦以來，在教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會的大力支持和關(guān)心下，日益呈現(xiàn)出迅速發(fā)展的強(qiáng)盡勢頭。可以說：數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為全國高校規(guī)模最大的課外科技活動。

二、開展數(shù)學(xué)建模競賽的意義

1.促進(jìn)相關(guān)學(xué)科的交叉、融合，培養(yǎng)知識面寬的復(fù)合型人才

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、敏銳的洞察力和想象力、對實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。

2.在應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力

能力的培養(yǎng)是素質(zhì)教育的重要組成部分。通過數(shù)學(xué)模型的具體實(shí)例的反復(fù)引導(dǎo)，讓學(xué)生不再害怕數(shù)學(xué)的抽象，而且看到數(shù)學(xué)是怎樣從生產(chǎn)實(shí)踐中“抽象”出“共性”的， 也就是數(shù)學(xué)“源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐”的本質(zhì)特征。利用這一過程培養(yǎng)學(xué)生從紛紜復(fù)雜的實(shí)際問題中抓住實(shí)質(zhì)的能力（ 抽象能力和洞察力），讓學(xué)生看到什么情況下可以用數(shù)學(xué)知識解決問題及怎樣用數(shù)學(xué)知識解決問題， 在潛移黙化中逐漸培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力， 使他們在今后的工作和學(xué)習(xí)中， 當(dāng)遇到可以定量決策的問題或可以轉(zhuǎn)化為定量決策的問題時， 能自覺地求助于數(shù)學(xué)知識， 進(jìn)行科學(xué)的量化分析。

3.增強(qiáng)了參賽人員的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力

團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力是一個人綜合能力中很重要的一個方面，無論在學(xué)校還是在企業(yè)，完成一件任務(wù)往往需要多個人配合在一起，分工合作，群策能力，共同完成。數(shù)模競賽同樣是這樣一份工作，三名參賽隊(duì)員組成一個團(tuán)隊(duì)，隊(duì)員之間要有分工、有合作，三個人中還要一個領(lǐng)導(dǎo)者負(fù)責(zé)團(tuán)隊(duì)整體思路，一旦出現(xiàn)隊(duì)員意見不一致時，領(lǐng)導(dǎo)者作出決定。這樣的團(tuán)隊(duì)保證了解決問題思路的“多樣性”和“一致性”的統(tǒng)一，鍛煉了團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識。

4.數(shù)模競賽的挑戰(zhàn)性， 能激勵創(chuàng)新精神

數(shù)學(xué)競賽全過程為三天三夜，團(tuán)隊(duì)面對的是一個實(shí)際的科研題目，在這么短時間內(nèi)，完成題目的分析、模型的建立和求解、模型的優(yōu)化并且給出結(jié)論是一件工作量相當(dāng)大的任務(wù)。團(tuán)隊(duì)成通過查閱資料、討論方案，在一種“忘我”的工作狀態(tài)下完成競賽。正如許多參賽選手感慨的那樣：“數(shù)模競賽讓我在三天內(nèi)編完了一年內(nèi)不可能編出來的程序。”

三、數(shù)學(xué)建模對高等數(shù)學(xué)教改的啟示

1.高等數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀及存在的主要問題

大學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)就是要通過教學(xué)活動讓學(xué)生學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)的思想、方法和技巧，并能學(xué)以致用，初步具備自學(xué)所需要的更深入的數(shù)學(xué)的能力[2]。關(guān)于高等數(shù)學(xué)教育改革問題，在改革開放以來， 中國新世紀(jì)的長遠(yuǎn)、宏大的發(fā)展目標(biāo)確定以后， 教育作為國家經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展偉大戰(zhàn)略之一， 高等數(shù)學(xué)教育必須改革已成為專家、學(xué)者和廣大教師的共識。從上世紀(jì)80 年代初開始， 這項(xiàng)改革已實(shí)質(zhì)性地展開。例如陸慶樂教授主持的“全國工科高等數(shù)學(xué)課程改革指導(dǎo)委員會”做了大量而長期的富有成效的工作， 不少有識之士也作了大量有益的探索， 取得了一些成果。但總的來說， 還是說的多做的少： 局部表面的結(jié)論多， 普遍深入的成果少[3]。我國的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀與數(shù)學(xué)的發(fā)展及整個社會對數(shù)學(xué)教育的期望和要求還很不協(xié)調(diào). 就工科數(shù)學(xué)教育而論， 至少存在以下問題：

1.1應(yīng)用數(shù)學(xué)面臨的基本矛盾

應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本使命是把純粹數(shù)學(xué)獲得的成果和方法應(yīng)用于實(shí)踐，具體地說是應(yīng)用于科技和社會，最終服務(wù)于人類，真正為人類社會的進(jìn)步做出貢獻(xiàn)。純粹數(shù)學(xué)是量化的、符號化的、抽象化的東西，而客觀世界不是以量的形式存在的，不是直接以邏輯符號形式存在的，即使抽象事物也不是以數(shù)學(xué)語言反映在人們腦子里的，這就決定了純數(shù)學(xué)與純實(shí)踐之間雖然有著“邏輯”把它們聯(lián)系起來，但形式上看除此之外，似乎兩者都是矛盾的。

1.2課程結(jié)構(gòu)不夠合理. 各門數(shù)學(xué)課程自成一體，相互封閉，且由于條塊多， 使學(xué)生很難對數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)有一全面的了解。同時，各門課程不能很好地銜接、補(bǔ)充， 造成相關(guān)內(nèi)容的重復(fù)和割裂。

1.3 數(shù)學(xué)的應(yīng)用性反映不足。現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模式過分強(qiáng)調(diào)了理論性、系統(tǒng)性及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性， 忽略了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性及數(shù)學(xué)的背景和實(shí)際意義. 且由于學(xué)時少、內(nèi)容多， 師生共同趕進(jìn)度， 想嚴(yán)格又嚴(yán)格不了， 只好犧牲應(yīng)用、計(jì)算， 學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高， 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入一種不良循環(huán).

1.4教學(xué)方式單一。我們的教學(xué)管理者習(xí)慣于用教學(xué)大綱、教材內(nèi)容和教師講課的仔細(xì)程度作為檢查教學(xué)水平的標(biāo)準(zhǔn)， 而很少把學(xué)生真正理解并掌握了多少數(shù)學(xué)知識作為尺度；我們的教師熱衷于告訴學(xué)生面面俱到的知識， 但不知如何用最少的語言啟發(fā)學(xué)生自己學(xué)習(xí)和思考的能力； 我們常常用學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)來衡量學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和成績， 而不注意考察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和考核學(xué)生的認(rèn)知能力。

1.5 在教學(xué)內(nèi)容上過分強(qiáng)調(diào)了形式化和嚴(yán)格化的東西， 注重嚴(yán)密的邏輯推理和解題技巧， 而忽視了數(shù)學(xué)教育最本質(zhì)的東西應(yīng)是直觀化和形象化。

1.6現(xiàn)代技術(shù)主要是計(jì)算機(jī)和大量應(yīng)用軟件的產(chǎn)生對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育形成了巨大的沖擊。一些歷史上與數(shù)學(xué)淵源較深的學(xué)科， 應(yīng)用計(jì)算機(jī)即可以快捷地解決以前十分復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問題. 然而， 我們的數(shù)學(xué)教育（無論是內(nèi)容還是方法） 卻仍然固守傳統(tǒng)， 與現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展極不合拍。

2.對高等數(shù)學(xué)教改的啟示

2.1轉(zhuǎn)變教育思想

為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模教學(xué)指導(dǎo)思想是以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果。參加數(shù)學(xué)建模競賽賽前培訓(xùn)的同學(xué)大都是需要學(xué)習(xí)諸如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計(jì)算方法、層次分析法，數(shù)學(xué)軟件包的使用等等“短課程”，用的學(xué)時不多，多數(shù)是啟發(fā)性地講一些基本的概念和方法，主要是靠同學(xué)們自己去學(xué)，充分調(diào)動同學(xué)們的積極性，充分發(fā)揮同學(xué)們的潛能。

2.2明確教育目標(biāo)

學(xué)生的實(shí)踐能力是所有學(xué)科人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要標(biāo)志，當(dāng)然對于我們數(shù)學(xué)學(xué)科也是不例外的。“實(shí)踐能力”不只是指動手能力，它應(yīng)該包括三個方面的內(nèi)涵：第一是實(shí)踐思維即學(xué)生在思想方法上應(yīng)該重視實(shí)踐；第二是實(shí)踐的知識，特別是實(shí)踐的專業(yè)基礎(chǔ)知識；第三才是學(xué)生的實(shí)際動手能力。另外。工程實(shí)踐能力還應(yīng)該包括工程科研能力和解決實(shí)際工程問題的能力。建立數(shù)學(xué)模型一般要經(jīng)過三個步驟：明確問題、建立模型、求解檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型的探索，并沒有現(xiàn)成的普遍適用的準(zhǔn)則和技巧，它需要成熟的經(jīng)驗(yàn)見解和靈巧的簡化手段，需要合理的假設(shè)，豐富的想象，敏銳的直覺判斷。其中每一步驟的進(jìn)行都富有開拓性，充分展現(xiàn)建模者的創(chuàng)造性思維水平。因此數(shù)學(xué)模型課不單是單純的知識傳授課，而是一門能力訓(xùn)練課。

2.3切實(shí)理論聯(lián)系實(shí)際

數(shù)學(xué)應(yīng)來源于實(shí)踐又應(yīng)用于實(shí)踐，達(dá)到理論與實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合。我國著名數(shù)學(xué)學(xué)華羅庚曾指出：“人們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥無味、神秘難懂的印象，原因之一就是脫離實(shí)際。”這句話不僅指出了數(shù)學(xué)教育脫離實(shí)際的危害性，也為我們指出了數(shù)學(xué)教育改革的方向——密切聯(lián)系實(shí)際，而數(shù)學(xué)建模課程正是理論與實(shí)踐想結(jié)合的課程，其內(nèi)容都是來自于日常生活、工程技術(shù)及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域的研究課題，而且其教學(xué)過程是師生共同參與的，學(xué)生可以在不斷的探索過程中體會到“發(fā)現(xiàn)問題”、“發(fā)明創(chuàng)造”及“獲得成功”的喜悅，這必然會提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣和積極性。

2.4構(gòu)建建模教學(xué)安排

數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)，現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)，就是要讓受教育者能夠積極主動學(xué)到“應(yīng)用數(shù)學(xué)模式”、“分析數(shù)學(xué)模式”、“創(chuàng)制數(shù)學(xué)模式”乃至“鑒賞數(shù)學(xué)模式”的能力和素質(zhì)。因此，數(shù)學(xué)模式建構(gòu)的思想與方法論，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)專業(yè)師生們共同關(guān)注的教學(xué)題材，學(xué)習(xí)這種題材也正是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力不可缺少的環(huán)節(jié)。開設(shè)數(shù)學(xué)建模系列課程，把數(shù)學(xué)建模的培訓(xùn)逐步納入正常的教學(xué)當(dāng)中，提高全校學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)·將“數(shù)學(xué)建模”作為全校性選修課（約45學(xué)時，3學(xué)分），常年開設(shè)，每周一次，每次3學(xué)時，每次講授或研究一個專題，在教學(xué)方法上，改變老師教學(xué)生學(xué)的“添鴨式”被動教學(xué)，不以教會一個定義、證明一個定理、解一道數(shù)學(xué)習(xí)題為目的，而在教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)建模的思想，逐步增加“開放型應(yīng)用題”，同時著意培養(yǎng)學(xué)生提問題的習(xí)慣和能力，讓學(xué)生嘗試“實(shí)際問題數(shù)學(xué)化”的過程。

2.5提高師資水平

數(shù)學(xué)建模活動的開展，在一定程度上彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)教師不懂工程問題和經(jīng)濟(jì)問題的缺陷，使其在教學(xué)過程中能把工程問題及經(jīng)濟(jì)問題和數(shù)學(xué)問題有機(jī)地結(jié)合起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果，同時由于數(shù)學(xué)建模問題通常是很復(fù)雜的實(shí)際問題，沒有現(xiàn)成的方法也沒有最好的結(jié)果，對教師而言也是一大難題，這勢必會促進(jìn)教師不斷學(xué)習(xí)、提高水平。

結(jié)論

在全面提倡素質(zhì)教育的今天，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維已成為時代賦予高等教育工作者的神圣使命。數(shù)學(xué)建模也以其獨(dú)特的優(yōu)勢，在現(xiàn)今的教育機(jī)制中逐漸突顯出重要性。數(shù)學(xué)大師康托爾說過：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。”愿我們能夠插上數(shù)學(xué)的翅膀自由地飛翔，在更多的實(shí)際應(yīng)用中通過我們的智慧播撒數(shù)學(xué)的芬芳；也希望高等數(shù)學(xué)的教改之路能夠走的更好更有效。

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