點目標防御武器配系部署規劃

劉瑤，張占月，黃梓宸，趙程亮

(航天工程大學a.研究生院;b.太空安全研究中心，北京 101416)

0 引言

在以戰略威懾與精確打擊主導的現代化、信息化戰爭中，彈道導彈已經成為影響戰場態勢、決定戰場勝負的重要因素[1]。為有效保衛重要資產安全，需將反導武器進行優化配置使得在有限的作戰資源條件下，盡可能的發揮反導武器的作戰效能。

國內對防空反導武器的部署進行了相關研究，文獻[2-5]針對末端反導建立了兵力需求優化模型,提出了地空導彈武器系統反TBM有效部署區的概念，建立了部署的數學模型。文獻[6]針對防空火力配系，為解決火力協同和戰斗優化問題，建立了評估火力配系效果的模型。文獻[7]針對反導殺傷區變化的原因，給出了特殊情形下反導殺傷區變化的分析方法。

本文依據中段反導的特點并結合末段反導和防空的理論，選取某一中段反導武器對其防護區進行了分析。并分別對單一方向威脅目標和扇形區域方向的威脅目標2種作戰場景下的反導部署建立了相關的理論模型，并應用遺傳算法對扇形威脅下的作戰部署模型進行了優化。

1 反導防護區和部署區

火力單元的防護區定義為由于反導系統對來襲彈道導彈進行攔截使得地面資產受毀傷的區域，它是彈道導彈通過反導火力單元殺傷區落點構成的區域[8]。文獻[9]中將反導系統對地面防護區進行了解析描述。如下圖1所示。

圖1 反導系統對地面的防護區Fig.1 Protection zone of missile defense system on the ground

圖1中O點為反導系統的部署位置，導彈的來襲方向沿著S軸的負方向，曲線B1B2TBB3B4TA包圍的區域即為反導系統的防護區。

反導系統的防護區可以表征其防御范圍的大小，其大小形狀對反導作戰的陣地部署和火力分配有著直接的影響。反導防護區與反導系統自身的攔截范圍，來襲目標方向，彈道軌跡息息相關，防護區的大小形狀會隨著來襲彈道導彈特性的不同而改變，并且在攔截彈防護區內不同位置處的防護能力是不同的。

在明確被保衛地面資產之后，應該使被保衛地面資產處于反導系統的有效防護區內。假設反導系統對來襲彈道導彈目標的單發攔截概率是固定值，防護區內不同位置點的不同防御效能可以用反導系統對來襲彈道導彈目標攔截縱深的大小來衡量，攔截縱深的大小即可攔截弧段的長度，長度越長說明反導系統可以選擇的攔截點越多，能夠根據實際作戰情況選擇最佳的攔截點，并且攔截弧段越長可以為二次攔截提供更長的攔截時間窗口。

部署區[10]定義為針對某個確定的被保衛地面資產以及威脅，能夠使得被保衛地面資產在攔截彈防護區內的攔截彈陣地的部署區域。由此可以看出攔截彈的防護區和部署區緊密相關。將防御區和有效部署區的關聯性進行了分析，即攔截彈防護區模型中將攔截彈陣地部署點與被保衛目標位置進行一一交換，便得到了針對某一被保衛地面資產和威脅方向時，攔截彈的部署區。如圖2所示。

圖2 攔截彈陣地的部署區Fig.2 Deployment area of the interceptor position

圖2中O點為被保衛地面資產中心點位置。針對圖中箭頭所指導彈來襲方向，攔截彈部署在圖中閉合曲線保衛區域內時，能夠使得被保衛地面資產在攔截彈的防護區內。

2 威脅分析和作戰想定

在進行反導作戰的過程中，首先要對敵我態勢進行分析。針對我方要保衛的某一個確定的地面資產，其威脅方向是單方向的或者是多方向的一個扇形范圍，在明確威脅方向后，要對敵方可能采用的進攻策略進行分析。針對敵方任何一種形式的進攻作戰方式，保衛方都能及時采取合適的應對措施，是決策者追求的理想的作戰規則。這就要求針對敵方任何可能的進攻方案做出相應的對策，以便在實戰中能夠盡快實施。本文中針對敵方最可能的進攻方案做出最可能作戰想定，針對不確定的進攻方案做出最壞作戰想定[11]。

中段反導作戰屬于戰略性防御作戰，其防御目標一般為中遠程導彈或者是洲際導彈。最可能的想定分析為：針對某一地面資產，威脅方向為單一的某一個可能的進攻方向，來襲彈道導彈的類型基本可以確定。最壞作戰想定為：在一次進攻中敵方使用的導彈的型號，采用的進攻策略，是多發齊射還是間隔發射，什么時間進攻，采用什么樣的突防措施，來襲彈道導彈的方向等是不確定因素，威脅方向為一個大角度扇形范圍。

3 單方向威脅的中段反導武器部署

針對單方向的來襲彈道導彈威脅，對于每個目標如果采用“一打一”的攔截方式，假設攔截彈的單發命中率是定值，則以攔截縱深作為判斷攔截彈對目標的綜合攔截效能，攔截縱深越大綜合攔截效能越大。

選取某一型號的彈道導彈和攔截彈，攔截彈在空間中的殺傷區如圖3所示。

圖3 攔截彈在空間中的殺傷區Fig.3 Space of the killing zone of the interceptor

彈道導彈在地心固連坐標系(ECEF)的軌跡如圖4所示。

圖4 來襲彈道導彈軌跡Fig.4 Incoming missile trajectory

用一個包圍圖1中的防護區的最小矩形進行等間隔離散化，選取步長為10 km，由于區域的對稱性，取一半的區域求解攔截縱深，如圖5所示。

圖5 防護區內不同位置的攔截縱深Fig.5 Depth of interception in different locations within the protected area

由圖5可知反導系統在防護區外的位置，攔截縱深為0，在防護區內的位置攔截縱深會隨著位置的不同而變化。當導彈落點在(90 000,-81 900)m時，部署在O點火力單元對其攔截縱深最長，最大攔截縱深為411 300 m。

針對此種類型的來襲目標，依據火力單元部署與落點的相對關系可知當落點確定時，在以導彈落點為原點，以來襲彈道導彈的攻擊方向的反向為極坐標0°的坐標系中，使得攔截縱深最大的火力單元部署的位置為(121 690 m,137.7°)。

4 扇形威脅中段反導武器部署

針對重要資產的防御中，在實際作戰中，某個保衛的威脅方向可能不唯一，有可能有多個方向， 這就需要在陣地部署的時候要綜合考慮多個方向的進攻目標。通過合理的陣地部署使得所保衛目標處于針對各個方向上的火力單元的防護區內。

4.1 攔截彈陣地對所保衛地面資產的防護角

火力單元對保衛地面資產的防護角定義為：反導火力單元對保衛地面資產形成防護能力下，可以抗擊來襲彈道導彈方向的角度范圍[12]。如圖6所示，火力單元部署在O點，保衛目標為M，針對來襲方向為S軸負方向的彈頭，當保衛目標在火力單元的防護區內時，火力單元對目標形成防護能力。說明針對保衛目標M，火力單元部署在O點，能夠防御來自S軸負方向的威脅。以火力單元部署點為圓心，轉動火力單元的防護區，使S軸的負方向始終與威脅方向平行。在不斷轉動的過程中，目標M在防護區內時，坐標軸轉過的角度的集合，即為部署在O點的火力單元對目標M的防護角。

圖6 火力單元的防護角Fig.6 Cover angle of the fire unit

由圖6中可以分析得到，針對保衛目標點M，火力單元的防護區以火力單元位置點O為圓心逆時針旋轉ω，在此期間目標點一直處于火力單元的防護區域內，說明將火力單元部署在O點可以防御在ω角度范圍內對目標點造成威脅的來襲彈頭。由圖中可知旋轉火力單元的防護區應對各個方向的來襲目標所形成的防護角，可以用旋轉保衛目標位置點來表示。即以O點為圓心，目標到火力單元部署點的距離dOM為半徑，順時針旋轉ω，在轉動的過程中目標點始終位于火力單元的防護區域內，則說明將火力單元部署在O點可以防御來襲方向為目標點轉過角度的對頂角范圍內的威脅。用旋轉目標點的方法代替旋轉火力單元防護區的方式來計算防護角更直觀明了。

依據防護區的邊界條件集B(D,φ)，可以用圓環來對防護區進行分解，當保衛目標位于防護區內不同的位置時，火力單元對保衛目標的防護角不同。

dOM

圖7 dOM

dOTB

(1)

此時防護角ω=360°-φ。

圖8 dOTB

圖9 dOTA

dOTA

(2)

此時防護角ω=360-φ-φ1。

dOB

圖10 dOB

(3)

此時防護角ω=2(ω1+ω2)。

dOB1

圖11 dOB1

(4)

此時防護角ω=2ω1。

當dOM>dOB2。保衛目標始終位于火力單元的防護區之外，此時火力單元對保衛目標的防護角為0°。

由陣地對所保衛目標的防護角可知，當陣地部署在所保衛目標點附近時，陣地能夠對目標進行全方位的防護，但是由于單個陣地的作戰，不能保證同時應對多個攻擊的彈道導彈，并且也不能保證對一個來襲彈道導彈進行多次打擊，所以在應對扇形方向的威脅時，應該事先分析敵方在一波次中最有可能的進攻方式，以及根據攔截彈的性能，預先制定交戰規則，確定對來襲彈道導彈分配幾個陣地。

4.2 扇形威脅的陣地部署模型

4.2.1 扇形威脅區域的可部署區集合

針對確定的被保衛目標點，針對任何一個方向上都有一個可部署區，對于扇形的威脅方向，可將扇形區域進行等分為ns個方向，則針對扇形威脅的可部署區為ns個方向上的可部署區的集合，如圖12所示，所有可部署區外邊界包圍的區域即為針對扇形威脅的可部署區。

圖12 應對扇形威脅的可部署區Fig.12 Deployable area that responds to a sector threat

圖12中ψ為威脅方向的角度范圍。si為將扇形區域進行劃分后的方向，i=2,3,…,ns-1。

對于每個威脅方向上的可部署區內任一點(包含邊界上)的坐標(xs,ys)，則任一點相對于所保衛目標的角度和距離為[13]

(5)

(6)

針對每一個方向上的威脅都有一個可部署區域，所以針對扇形區域威脅的可部署區是所有方向上可部署區域的集合，可用極坐標集的形式表示為B(d,φ)，以s1方向為極坐標的起始方向。d為可部署區集中在φ方向上的邊界，表示為

d=max(d1,d2,…,dn)，

(7)

式中：n為將扇形威脅方向進行等分的數量；di(i=1,2,…,n)表示針對第i個方向上的可部署區在φ方向上的邊界與被保衛目標中心的距離。

4.2.2 部署區域量化

圍繞著所保衛目標，對連續的地圖進行離散采樣[14]。環形區域的半徑為攔截彈可部署區的距離目標點的最遠邊界距離。陣地部署點采用地面極坐標表示為p(ω,r)，選取威脅扇形的一條邊作為極坐標的0°方向，進行采樣時將方向參量ω和距離參量r選取步長dω和dr將連續的地形進行離散化網格處理，武器陣地部署點如下圖 13所示。

圖13 環形網格Fig.13 Ring grid

武器陣地的部署位置矩陣可以表示為

(8)

矩陣中的行數代表方向位置，列數代表距離位置，式中

(9)

在部署位置矩陣中還可以將地形因素加入，若該地形因素對陣地的影響因素為

(10)

(11)

地形因素矩陣中既體現了實際環境對部署的影響，也包含人為的主觀偏好因素在內。令tij=xijaij，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n則將地形因素考慮在內的綜合部署位置矩陣為T=(tij)m×n。地形因素的好壞直接影響到部署的費用和作戰效能，在將地形因素加入目標評價函數時，可以轉換為成本型指標，即為了達到與理想地形相同的作戰效能，必須增加一部分額外的費用。假設在理想地形下部署一個陣地所需費用為E，則將地形因素考慮在內時，部署陣地的成本為

(12)

4.2.3 部署約束條件

(1) 時間約束條件

假設預警系統探測到來襲彈道導彈的目標特性的時刻為t0，預警系統信息處理到傳輸給攔截彈陣地時間間隔為td1，攔截彈從接受指令到發射的最小反應時間間隔為td2，攔截彈飛行至攔截點的時間為td3。來襲彈道導彈到達理論攔截點的時刻為tl。則在來襲彈道導彈的彈道軌跡上的理論攔截點的應滿足：

tl≥t0+td1+td2+td3.

(13)

針對多個目標或者對一個目標進行多次射擊時，同一個陣地相鄰兩發攔截彈的發射時間間隔為td。

(2) 空間約束條件

空間約束使得部署陣地上的攔截彈能夠對某一個或者多個方向上的來襲彈道導彈進行攔截。即存在至少一條來襲彈道導彈的軌跡穿過攔截彈的空間殺傷區。在本模型中轉換為使得部署位置點處于可部署區集中。即對于陣地位置點xij：

dr×j≤di×dw，i=1,2,…，m,j=1,2,…，n，

(14)

式中：di×dw表示在可部署集中，在i×dw角度方向上的邊界。

所有陣地對目標點的防護角度應不小于威脅的扇形角度范圍。保證在敵方威脅方向上火力能夠緊密銜接，防止來襲彈道導彈在防御空隙中逃脫。即：

(15)

式中:ψij表示部署在第i個方位步長上，第j個距離步長位置上的陣地對目標點的防護角。

假設對于一個來襲目標只采用1發導彈對其進行攔截。在扇形區域內應該能保證最少能同時發射nz枚攔截彈，來保證最少能夠同時應對nz枚來襲彈道導彈的攻擊。但是導彈的進攻方向不確定所以應該保證在可能威脅的方向上有nz重防護，則陣地數目應該滿足：

(16)

相鄰2個火力單元之間為了避免電磁干擾，最小距離要求不小于dz。?xij=1,xqt=1,滿足：

(17)

4.2.4 目標函數

在進行方案的優選時，需要將每個方案在屬性集下的評估價值進行綜合考慮。屬性集是反映部署方案指標的集合，對應于方案在屬性指標下的效能值。由于各個屬性指標之間存在著差異，首先需要對不同的指標進行規范化處理，將指標分為成本型和效益型指標，在進行方案的選擇時，要求成本型指標越小越好，效益型指標越大越好。

針對本文中的目標屬性為期望陣地個數最少，防護角重疊最大，綜合攔截效能最大以火力單元相互之間的防護能力。假設任意部署方案X在這t個目標屬性下的指標分別為y1,y2,…,yt。

對于成本型指標的規范化處理：

(18)

對于效益型指標的規范化處理：

(19)

式中:ymin表示所有可能的方案中，在第i個目標屬性下的最小指標值;ymax表示所有可能的方案中，在第i個目標屬性下的最大指標值[15]。

(20)

權重體現了對不同目標屬性的重要程度的分配，不同的權重分配會導致優選出的方案不同。權重的確定可以根據決策者的對不同目標屬性的評價來分配權重。

4.3 基于遺傳算法的陣地部署優化求解

基于遺傳算法的火力單元優化部署的步驟為:

(1) 編碼

針對該模型的變量，部署位置在以落點為原點的坐標系中，在環形網格區域內的每個網格交點作為一個變量，變量的取值只有0和1。當變量取0時，表示在該位置沒有部署陣地，當變量取1時表示變量在該位置部署陣地。考慮到變量的取值情況，在進行編碼的時候選用二進制編碼的形式，這樣既符合計算機處理信息的原理，也方便對染色體進行遺傳、變異等操作。對環形區域進行網格劃分，將其劃分為m個方向，每個方向上劃分為n個點，則一共有m×n個位置，所以有m×n個變量，使用長度為m×n的二進制編碼表示參數變量，則共有2m×n種不同形式的編碼。變量代表的位置與參數編碼的關系為：第i個方向，第j個距離步長位置上對應的染色體的位置為i×m+j。

(2) 產生初始種群

設定每一代種群個體的數量為M，按照步驟1中的編碼方式隨機生成M個個體。 在扇形區域內應該能保證最少能同時發射nz枚攔截彈，考慮到同一陣地發射時間的限制，所以攔截陣地至少要部署nz個，所以在每次生成初始個體時應該確保至少有nz個位置上的染色體編碼為1。

(3) 適應度值選取

首先將每個染色體進行解碼，即將染色體變量值轉換為位置變量值，即

(21)

式中：k代表每條染色體中第k個位置；xk為每條染色體中第k個位置的編碼值；floor表示取整；rem表示取余；xij表示第i個方向步長，第j個距離步長位置上的變量。

評價目標函數為f(X)，本文是求極大值問題，將目標函數值轉換為適應度。

eval(UK)=f(XK),K=1,2，…,M.

(22)

(4) 選擇

通過用計算機的輪盤方式增加popsize為種群個數，依據個體的適應度值所占的總的適應度值的百分比區間進行選擇。每一代種群適應度值總和

(23)

第K個染色體被復制的累積概率為

(24)

則第K個染色體的適應度區間為[QK-1,QK]。

適應度值越大，其區間跨度越大，輪盤轉入其區間的概率就越大。每旋轉一次就會選中一個個體，通過進行M次選擇，形成新一代的種群。

(5) 交叉

交叉使得新個體能夠實現信息的交換和保持父輩的特征。每次交叉隨機選中種群中的2個個體，并隨機選擇個體染色體交叉的位置，根據設定的交叉概率，進行交換時產生的隨機數小于交叉概率則進行交換，否則不進行交換。

(6) 變異

每次隨機選中一個個體，并隨即選擇其變異位置，進行變異時如果產生的隨機數小于變異概率則將選中的染色體的位置編碼進行翻轉，即編碼為1的變為0，編碼為0的變為1,如果變異時產生的隨機數大于變異概率則不進行變異。

(7) 染色體可行性判斷

在生成初始種群后和每一代的選擇，交叉，變異的進化之后，要對每個個體進行判斷是否滿足各種約束條件。在對新的種群按照步驟3中的算法進行解碼之后，代入式(16) 判斷在每個方向上是否滿足最小覆蓋重數，代入式(17) 判斷每個陣地之間的距離是否滿足最小距離要求。如果全部滿足約束條件則依次按照步驟進行。若不滿足約束條件則重新進行篩選，直到選出滿足要求的個體。

(8) 終止

當進化到設定的進化代數時，終止運算。

4.4 扇形威脅陣地部署仿真分析

假設威脅方向的扇形角度為90°，在一波次的攻擊中最多不超過3枚導彈，導彈的進攻方向為扇形威脅方向內的某個不確定方向。進攻導彈的型號以及攔截彈的型號選擇上文中的導彈模型參數。權重矢量選為wA=(0.6,0.1,0.2,0.1)。環形網格的方位角度步長取10°，半徑步長為10 km，相鄰2個陣地的最小距離為50 km。地形影響因素用m×n的隨機數矩陣在程序中生成。由圖3可知攔截彈的攔截高度范圍在450 km以內，，對于5 000 km射程左右的彈道導彈，將攔截彈在靠近目標側的下降段范圍攔截，始終滿足式(13)的時間約束條件。

遺傳算法中初始種群為300個，進化次數為100代。適應度曲線如圖14所示。

圖14 適應度函數進化曲線Fig.14 Fitness function evolution curve

由圖14中可以看出，當進化到25代時適應度值不再變化，已篩選出最優部署位置為3個位置如圖15所示。圖15中三角點所在位置為陣地部署點，坐標點為坐標分別為(70°,160)，(60°,110)，(0°,100)。此時對扇形威脅區域內的每個方向上的最少覆蓋次數為3次，這3個陣地對劃分的每個方向上的攔截縱深長度總和為：1 095.1 km。將陣地位置代入式(17)和式(1)～(4)中得到陣地之間的相互防護角均為360° 并且陣地1,2和3相互之間的距離分別為：55，157，105 km全部滿足陣地之間的最小距離約束。

圖15 陣地部署位置Fig.15 Front deployment position

5 結束語

本文針對重點資產防御中反導武器的部署問題，建立了攔截彈的防護區，部署區和防護角模型，針對不同作戰場景下的威脅，建立了優化部署模型。該模型對中段反導作戰有一定的理論指導意義。

該仿真結果表明部署的優化選擇與參考的目標價值的選取相關，對于屬性集中各屬性指標權重的分配的不同會對部署的結果造成影響，在實際部署中應該綜合各項指標并分配合適的權重，才能更好的適應實際作戰的需要。