電路中寄生電容的估算方法

王衎

摘 要：實際電路一般都會有寄生電容，估算寄生電容的大小可以幫助分析寄生電容對實際電路功能的影響。本文總結了實際電路中寄生電容的來源，針對不同來源提出合理的模型，將實際電路中出現的電容抽象為平行板電容器、球形電容器和長直導線電容器，對寄生電容的量級進行估算，并分析寄生電容對實際電路的工作性能尤其是高頻性能的影響。

關鍵詞：寄生電容；二極管；焊點；導線

中圖分類號：TM934.2 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）18-0150-02

1 引言

電容作為重要的電子元件，在電路中廣泛存在。但在實際的電路中，除了人們希望利用的電容之外，導線之間，焊點之間，以及各元件之中都可能形成寄生電容，影響電路的整體功能，甚至令整個電路失效。尤其是隨著電路中電信號頻率的升高，寄生電容對電路的影響也愈發明顯，大大制約了芯片，顯卡等高頻器件的處理速率。工業制造精度的提升，將有望大幅減小寄生電容對電路的危害。對寄生電容的大小估算和進一步研究有助于分析實際電路中的寄生電容對于電路性能的影響。本文針對實際電路中可能出現的寄生電容進行了總結分析，提出相關模型估算，并分析其影響。

2 二極管中寄生電容的估算

二極管由于其構造會有一個寄生的結電容，它由P型（空穴導電）和N型（電子導電）半導體形成接觸的PN結構造而成。由于電子濃度和空穴濃度在兩種不同的半導體中差別顯著，當其結合在一起時，空穴和電子分別向濃度低處擴散。達到動態平衡后，結合部位形成耗盡層，耗盡層內部載流子濃度很低，基本可以看作是沒有摻雜的半導體，導電性較差，其兩端為被摻雜的半導體，導電性較好，可以視為金屬板。耗盡層厚度相比于二極管自身的尺寸非常小，所以二極管中存在寄生的結電容，而且可以近似看為典型的兩個極板被介電質隔開而形成的平行板電容器。因此，可以將平行板電容器作為其理想模型，對其進行研究。

平行板電容器的大小為C=，其中，∈r是電介質的相對介電常數，k是真空中的靜電系數，S是金屬極板面積，d是電介質的厚度。該表達式可以利用電場中的高斯定律結合對稱性求出。電場中的高斯定律[1]是指，空間中任意的閉合曲面上的電通量，等于曲面內部電荷量乘以4πk。均勻帶電的無限大平板（設電荷面密度為ρ）具有平移對稱性和鏡面對稱性，可以知道其兩側電場為均勻電場（設大小為E），方向垂直于平板，并且在兩側方向相反。可做一個底面積為S0且平行于平板的圓柱體，該圓柱體的表面上的電通量為2ES0，內部電荷量為ρS0，利用高斯定律，2ES0=4πkρS0，所以E=2πkρ。兩個帶電量相反的平行板，板間電場均勻，為兩個金屬板貢獻的電場的線性疊加，E=4πkρ。因此平行板電容器的電容為C===，最后考慮電介質的屏蔽作用[2]，C=。

可以利用該公式對宏觀大小的二極管電容進行估算。宏觀大小的二極管尺寸一般在1mm的量級，耗盡層在1um的量級，普通材料的相對介電常數通常位于1至10之間，此處取1進行估算，帶入數值可以估算出C=≈10pF。電容為C時容抗為，二極管的一個重要功能是單向導電性，如果電信號頻率f過高，則寄生電容的容抗很小，則該寄生電容會導致二極管是導通的。以容抗為1MΩ為界，高于1MΩ認為是斷開的，低于1MΩ則認為電路由于電容而導通。則二極管的工作截止頻率為f==104Hz。這說明普通的宏觀大小的二極管無法勝任高頻信號的處理。對于高計算速度要求的芯片，由于其內部需要大量使用具有單向導電性的二極管，此時使用微觀大小的二極管即可勝任，分析如下，微加工制造的二極管，其尺寸通常在100nm，耗盡層厚度在10nm量級，因此寄生電容大小約為C=≈10-17F，比宏觀大小的二極管小了6個量級，相應的工作截止頻率變為1010Hz=10GHz，這完全勝任電腦手機等芯片計算速度的要求。

3 焊點之間寄生電容的估算

電路中經常會有焊點，焊點可以抽象為球形，它本身就是一個球形電容器，焊點之間也可以看作兩個小球形成的電容器。

先考慮單獨一個金屬小球和地之間形成的電容，其大小為C=，其中R為小球的半徑。利用小球的球對稱的性質結合高斯定律可以求出此表達式。注意到焊點是一個導體小球，所有電荷均分布在表面上，假設為均勻帶電，此時由于球對稱的性質，帶電小球產生的電場沿著徑向方向，大小只和距離球心的遠近有關，和角度無關，設距離球心r處，電場強度為E，對于金屬球外的任意一個和金屬球同球心的半徑為r的球面，電通量為4πr2E，內部電荷量為金屬球所帶電量Q。由高斯定律，4πr2E=4πkQ，因此E=，此時金屬球（其半徑為R）和無窮遠處的地之間的電勢差為U==，因此電容值為C==，考慮到電介質的屏蔽效應，寄生電容大小為C=。焊點之間的電容值的準確理論結果比較復雜，對于實際的工程估算來說沒有必要，如果只做量級上的估算，使用C=仍然是一個比較合理的公式。

對于需要電焊的電路來說，通常都是宏觀大小，減小寄生電容的方法，只能通過減小焊點的大小，也就是減小R，來實現。對于一個0.1mm大小的宏觀焊點，其寄生電容值為E=≈10-14F。這樣的焊點能夠承受的工作頻率范圍為小于107Hz。高于此頻率，焊點和地之間會因為寄生電容短接，可能造成電路功能失效。對于做高度計算的芯片，焊點大小需要低于100nm，這個要求和芯片技術的特征尺寸相符。

4 導線之間寄生電容的估算

導線和地之間以及導線和導線之間，尤其是同軸線纜，都會存在著寄生電容。電容值大小的估算可以利用無窮長直導線來近似處理實際的導線。

對于單根長直導線，C=，其中L是導線長度，R1是導線粗細的半徑，R2表示距離導線軸心多遠處可以看作是地。利用無限長直導線沿著軸線的平移對稱性，繞軸線的旋轉對稱性以及一些鏡面對稱性，可以得到均勻帶電的無限長直導線（電荷線密度為ρ），其周圍的電場強度只和距離軸心的遠近有關（設為E），其方向沿著徑向方向。選取一個高為h，底面圓半徑為R，與導線軸心重合的圓柱體，該圓柱體表面的電通量為2πRhE，其內部電荷量為ρh，由高斯定律，2πRhE=4πkρh，因此電場強度為E=，從導線表面到地之間的電勢差為U==2kρln（R2/R1），因此長度為L的導線和地之間的電容值大小為C==，考慮到電介質，C=。利用同樣的方法，可得到對于兩根平行無限長直導線，電容值C=，其中R1，R2分別為兩根導線的粗細，d為兩根導線之間的間距（dR1，R2）。對于長直同軸線纜，線芯和屏蔽線之間的寄生電容為C=，其中R1是線芯的半徑，R2為屏蔽導線的半徑。

我們可以看出，電容的大小對于線長L的依賴關系比對于線的粗細R的依賴關系要強，這意味著，減小寄生電容的最有效的方法是減小線長L，其次是讓導線變細。對于通常的單根導線而言，線長L=1mm～1m，粗細R1=0.1mm～1mm，地的距離遠大于L和R即可，可選做R2=1m～100m。此時ln（R2/R1）≈10，因此，寄生電容C=≈10-14～10-11F。如果考慮粗細均在0.1mm～1mm的兩根導線，線長仍為1mm～1m，間距為1cm～1m，則ln（d2/R1R2）≈10，線間寄生電容量級為10-14～10-11F。對于同軸線纜，通常而言R2與R1比較接近，因此ln（R2/R1）≈1，相同的線長產生的寄生電容C將會大一個量級。對于芯片而言，導線利用微加工技術制作得到，其線長通常在100nm的量級，此時，電容值10-18F，比二極管的寄生電容小一個量級，因此高速計算的要求。

5 結語

本文總結了通常電路中的寄生電容的三個主要來源，二極管中的寄生結電容、焊點產生的寄生電容以及導線產生的寄生電容。文中提出估算這些寄生電容量級大小的方法，并分別針對宏觀大小和微觀大小的電路，做出了寄生電容大小的具體估算。可以發現，降低器件和導線的尺寸可以有效的減小寄生電容，這和電容的物理意義是一致的，電容是指儲存電荷的能力，減小尺寸，電荷的儲存空間變小，相應而言，儲存能力也降低。電路中的寄生電容遠不止文中所提及的三個來源，針對具體問題都需要使用合理的模型對寄生電容進行估算，是每一個電路設計者和使用者所需要考慮的重要問題。

參考文獻

[1]費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義[M].上海：上海科學技術出版社，2005：51-52.

[2]費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義[M].上海：上海科學技術出版社，2005：129-131.