一種反求污染物濃度的方法

李繁春 何超 鄧磊 王中平 李秀梅

摘 要：基于求污染物濃度問題的數學模型，應用有限元方法，構造了由觀測值反求污染物流入濃度的近似表達式。

關鍵詞：反問題；有限元法；微分方程

中圖分類號：X524 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）18-0013-02

1 引言

工程領域中大部分的反問題都是與微分方程相聯系的，反求污染物濃度的問題就是一個常見的例子。它的正問題是這樣描述的：給定一個有確定濃度的溶液，以及污染物流入的速度和經充分混合后溶液流出的速度，計算下一時刻的溶液濃度。實際情況中，我們經常碰到的是蘊藏其中的有趣反問題。例如，假定容器是個地下蓄水池，而且靠近污染源（比如化工廠、尾礦庫等），這樣蓄水池就有污染物滲入，通過預先設置的探測器可以測量出蓄水池中該污染物的濃度，這些測量結果可以用來反演流入蓄水池的污染物濃度[1-2]。這一模型可以被廣泛推廣，本文考慮流入與流出速度相同時（穩定）的情形。

2 數學模型

這一類問題的最簡單的模型是，已知容積為V的容器，有濃度為a的污染物以一個給定速度v流入，經充分攪和的溶液又以同樣的速度v從容器中排出。模型的建立依賴于速度的平衡，設q代表容器中t時刻的溶質的質量，那么q隨時間變化的速度就是溶液流入容器的速度和它流出的速度之差，即：

.

或者給出容器中溶液濃度c（t）=的微分方程：

（a-c）. （1）

上述微分方程有唯一解：

c（t）=a+（c0-a）.

其中參數a為流入污染物濃度，v是速度，V為體積，c0是初始濃度。

3 有限元法

對于給定時間T>0，正整數n，令h=，ti=ih，i=1，2，…n，設lj為定義在[0，T]上的連續函數，它滿足：在每個子區間[tj，tj+1]上線性；當i≠j時，li（tj）=0，當i=j時，li（tj）=1。即：

，

，

.

由于lj函數圖像形似帳篷，故有時被稱作“帳篷”函數。

根據Lagrange插值的相關知識，得到溶液濃度函數c（tj），j=0，1，…，n的合理近似：

c（t）≈.

類似地，未知的流入物質濃度近似表達式為：a（t）≈，其中系數aj待定。

由（1）式，有=a（t）-c（t），方程兩端乘以lj并在[0，T]上積分，則：

=-. （2）

上式左邊可寫成：

=

=

=+ +

=-[ci-1-ci+1].

右邊可寫成：

=-

-+ +

整理得：

令，i=2，3，…，n-1.

由此，得到（2）式對應的矩陣形式：

（3）

采用追趕法可計算出t=tj時刻流入的污染物濃度的近似值aj，j=0，1，…，n.

參考文獻

[1]施吉林，劉淑珍，陳桂芝.計算機數值方法[M].高等教育出版社，2005.

[2]Charles W.Groetsh著，程晉，譚永基，劉繼軍，譯.反問題—大學生的科技活動[M].清華大學出版社，2006.