函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用

陳芳芳

摘 要：冪級(jí)數(shù)利用冪函數(shù)的和即多項(xiàng)式來(lái)表示函數(shù)，是一類(lèi)形式簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?；境醯群瘮?shù)在一定范圍內(nèi)都可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算包含最簡(jiǎn)單的加減乘除四則運(yùn)算，其積分和求導(dǎo)也十分方便，因此冪級(jí)數(shù)已經(jīng)成為研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，在理論證明和工程計(jì)算中有廣泛應(yīng)用。本文重點(diǎn)介紹了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在近似計(jì)算、微分方程求解、歐拉公式證明、累積分布函數(shù)計(jì)算、電場(chǎng)計(jì)算中的應(yīng)用，以加深對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 微分方程 歐拉公式 正態(tài)分布 靜電場(chǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：O174.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）05（b）-0118-02

1 冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用

自然常數(shù)e（也稱(chēng)為歐拉數(shù)）是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)。它不僅是描述自然界中增長(zhǎng)規(guī)律和衰變規(guī)律的重要常數(shù)，還與利率計(jì)算、正態(tài)分布、自然界中的螺線方程和懸鏈線方程等問(wèn)題密切相關(guān)。利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可以計(jì)算常數(shù)e的近似值。

例1.求自然常數(shù)的近似值，要求精確到

先考察的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：

上述計(jì)算可以通過(guò)在軟件MATLAB中輸入如圖1的語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)。

2 冪級(jí)數(shù)在求解微分方程中的應(yīng)用

冪級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)冪函數(shù)的和。它既可以表達(dá)初等函數(shù)，也可以表達(dá)非初等函數(shù)。在求未知函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，用冪級(jí)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分都非常方便。下面通過(guò)具體的例子說(shuō)明冪級(jí)數(shù)在求解微分方程時(shí)的應(yīng)用。

例2.用泰勒級(jí)數(shù)求解微分方程并估計(jì)函數(shù)在處的值。

考慮未知函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式

用相同的方法可以求得的值和更高階的導(dǎo)數(shù)在

處的值，從而得到原微分方程解的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式。求得該表達(dá)式以后，可以進(jìn)一步估計(jì)函數(shù)在處的取值。

3 冪級(jí)數(shù)用于證明歐拉公式

歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式，其中最著名的公式有該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，并建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

例3 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式證明歐拉公式

由的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式可得

同理可證，利用歐拉公式，可以證明高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的三角和差化積公式。

由于

4 冪級(jí)數(shù)用于計(jì)算累積分布函數(shù)

概率統(tǒng)計(jì)中的正態(tài)分布也稱(chēng)“常態(tài)分布”或高斯分布，在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都具有非常重要的影響力。

若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為的正態(tài)分布，記為一維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。當(dāng)時(shí)，正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正

態(tài)分布累積分布函數(shù)是指隨機(jī)變量小于或等于x的概率。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)可用密度函數(shù)表示為

例4 計(jì)算正態(tài)分布中隨機(jī)變量大于等于-1且小于等于+1的概率。

隨機(jī)變量大于等于-1且小于等于+1的概率為定積分

的值。

由于函數(shù)被積函數(shù)已被證明沒(méi)有初等原函數(shù)，基于牛頓-萊布尼茲公式的定積分計(jì)算方法無(wú)法求出上述定積分的值。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以利用被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

來(lái)實(shí)現(xiàn)上述定積分的近似計(jì)算。

5 冪級(jí)數(shù)在電場(chǎng)計(jì)算中的應(yīng)用

電場(chǎng)是電荷周?chē)嬖诘囊环N特殊物質(zhì)。單個(gè)電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，其中E為電場(chǎng)強(qiáng)度，q為點(diǎn)電荷的電量，r是到點(diǎn)電荷的距離，k是常數(shù)。設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q1、q2、……qn，則它們同時(shí)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)滿足電場(chǎng)疊加原理。原則上，利用點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，可求出任意的點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)。

例5一對(duì)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷組成的電荷系稱(chēng)為電偶極子。現(xiàn)假設(shè)電偶極子如圖2擺放，求距離電偶極子中心點(diǎn)o的距離為x的點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

根據(jù)電場(chǎng)疊加原理

本文通過(guò)具體的例子闡述了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用。實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)在上述學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用還不只這些。例如，冪級(jí)數(shù)還可以用于證明等式與不等式、求復(fù)雜或非初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分、求極限、判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性并求和、求解積分方程、求工程問(wèn)題中數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解等。在理論證明和解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，利用冪級(jí)數(shù)往往能起到事半功倍的效果，使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)便可行。系統(tǒng)地研究?jī)缂?jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用，對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力具有重要的理論指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等教學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 鄧集賢等編著.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].4版.北京：高等教育出版社，2009.

[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4] 龔勇清.大學(xué)物理教程[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2011.

[5] 蘇燦榮，禹春福，彭凱軍.冪級(jí)數(shù)在解方程中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，16（3）：16-18.