基于雙耦合高階Duffing振子系統(tǒng)的弱信號(hào)檢測(cè)*

豆貝貝， 許雪梅， 彭航航， 孫克輝

(中南大學(xué) 物理與電子學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410083)

0 引 言

微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)無(wú)論是在物理學(xué)、生物醫(yī)學(xué)，還是雷達(dá)、通信、聲吶、振動(dòng)測(cè)量、故障診斷等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[1]。傳統(tǒng)的信號(hào)檢測(cè)方法在檢測(cè)強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)時(shí)具有一定的局限性，因此,探索更好的微弱信號(hào)檢測(cè)方法成為了現(xiàn)階段信號(hào)處理研究的熱點(diǎn)。

近年來(lái)，隨著非線性科學(xué)理論研究的日趨深入和成熟[2，3]，混沌理論已逐漸應(yīng)用于微弱信號(hào)的檢測(cè)。在利用混沌系統(tǒng)進(jìn)行弱信號(hào)檢測(cè)的領(lǐng)域中，經(jīng)典的Holmes型Duffing混沌系統(tǒng)已經(jīng)得到廣泛的研究。由于該混沌系統(tǒng)對(duì)特定頻率的待測(cè)信號(hào)敏感且對(duì)噪聲具有一定的免疫性，因此，利用該特性可以進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)[4，5]。基于Duffing振子的微弱信號(hào)檢測(cè)方法取得了一些較好的成果，但基于該混沌振子的檢測(cè)方法仍有不足之處[6]，因此，改進(jìn)檢測(cè)方法或者尋找新的混沌振子模型具有重要意義。

本文提出了一個(gè)新穎的高階Duffing振子，通過對(duì)該振子系統(tǒng)相圖、Lyapunov指數(shù)等研究，介紹了其非線性動(dòng)力學(xué)行為。另外闡述了該混沌振子對(duì)弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)的系統(tǒng)原理，以及比較強(qiáng)的抗噪性能。在此基礎(chǔ)上，還構(gòu)建了雙耦合高階Duffing系統(tǒng)，通過對(duì)其時(shí)間尺度上進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)了對(duì)任意未知頻率信號(hào)的檢測(cè)，抗噪聲能力也得到了進(jìn)一步的增強(qiáng)，為實(shí)際工程中的應(yīng)用提供了一種可以借鑒的方法。

1 高階Duffing振子

1.1 基本原理

高階Duffing系統(tǒng)方程為

(1)

(2)

混沌系統(tǒng)具有對(duì)初始條件敏感的特性，即系統(tǒng)初始條件的微小改變都會(huì)使系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化。對(duì)于高階Duffing振子，k值一定時(shí)，初值敏感性等于對(duì)參數(shù)f值的敏感性。隨著策動(dòng)力幅值f的不斷變化，系統(tǒng)也會(huì)依次出現(xiàn)吸引子、同宿軌道、倍周期分叉、混沌、大尺度周期等狀態(tài)。利用系統(tǒng)相位的變化，可以檢測(cè)到微弱信號(hào)。

1.2 高階Duffing振子的檢測(cè)性能分析

Lyapunov指數(shù)是目前描述混沌的一個(gè)很重要的標(biāo)準(zhǔn),通過判斷最大指數(shù)是否大于0來(lái)判斷系統(tǒng)的狀態(tài)[7]。對(duì)于高階Duffing系統(tǒng)其最大Lyapunov指數(shù)如圖1所示。

圖1 最大Lyapunov指數(shù)

由最大Lyapunov指數(shù)隨f的變化曲線分布可知，系統(tǒng)的臨界閾值大小為fd=0.773 624 2，且其將處于混沌臨界狀態(tài)。當(dāng)向高階Duffing系統(tǒng)中加入外界擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，混沌檢測(cè)系統(tǒng)為

(3)

式中acos(ω1t)為待測(cè)信號(hào);n(t)～N(0,σ2)為高斯白噪聲。隨著f值的不斷增加，當(dāng)f>fd,時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)從混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換到周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)f≤fd，此時(shí)混沌振子剛好處于臨界閾值狀態(tài)，如圖2(a)所示。當(dāng)向系統(tǒng)中加入一個(gè)同頻的弱信號(hào),f=0.773,a=0.01,ω1=1 rad/s,即滿足f>fd時(shí),系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為大尺度周期狀態(tài)，如圖2(b)所示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換

2 存在的問題

以高階Duffing振子作為研究模型。其中，設(shè)定策動(dòng)力幅值f=fd，此時(shí)該系統(tǒng)處于臨界閾值狀態(tài)。當(dāng)一個(gè)外界微弱信號(hào)加入到該系統(tǒng)中時(shí)，得到基于高階Duffing振子弱信號(hào)檢測(cè)模型為

(4)

2.1 不同頻率的影響

普遍來(lái)說(shuō)，為保證高階Duffing系統(tǒng)適用于微弱信號(hào)檢測(cè)的混沌特性，通常設(shè)定待測(cè)信號(hào)的頻率與系統(tǒng)內(nèi)部驅(qū)動(dòng)力頻率保持一致。然而在實(shí)際工程中，待測(cè)信號(hào)的頻率通常是可變的，一旦待測(cè)信號(hào)的頻率與周期驅(qū)動(dòng)力頻率不一致時(shí)，混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)也會(huì)受到影響。在式(4)中，若外界信號(hào)與參考信號(hào)頻率不同，即s(t)=0.01cos(ω1t)，其中ω1為3,7 rad/s，仿真結(jié)果如圖3所示。可知，由于待測(cè)信號(hào)的頻率與驅(qū)動(dòng)信號(hào)的頻率不相等，系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)法呈現(xiàn)大尺度周期狀態(tài)，進(jìn)而無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)。

圖3 不同參考頻率仿真結(jié)果

2.2 噪聲影響

研究表明：高階Duffing振子系統(tǒng)處于強(qiáng)噪聲背景下時(shí)，可能會(huì)喪失弱信號(hào)檢測(cè)的能力。設(shè)定系統(tǒng)處于臨界混沌狀態(tài)且初值為x(0)=y(0)=0，假設(shè)待測(cè)信號(hào)為s(t)=0.01cos(t)+n(t)，且n(t)～(0,σ2)。隨著噪聲方差σ2的不斷增加，當(dāng)σ2>0.037時(shí)，混沌振子在噪聲誘導(dǎo)下，運(yùn)行軌跡將變得雜亂無(wú)章，因此，喪失了微弱信號(hào)的檢測(cè)能力。根據(jù)信噪比的定義[8](式(5))，可求得該系統(tǒng)在噪聲強(qiáng)度為σ2=0.037時(shí)的最大信噪比為-28.69 dB

(5)

3 雙耦合高階Duffing振子

3.1 模型構(gòu)建

為了解決高階Duffing振子只能檢測(cè)特定頻率信號(hào)的限制，本文基于頻率轉(zhuǎn)換和變尺度方法提出適用于高階Duffing振子的尺度變換方法[9]，設(shè)定t=ω0τ，則有

(6)

定義ω0=k1，代入到式(3)整理得

(7)

式中k1為尺度系數(shù)，高階Duffing振子能保持其檢測(cè)特性僅當(dāng)待測(cè)信號(hào)的頻率滿足k1=ω1。對(duì)式(7)設(shè)定系數(shù)f=0.773,a=0.01,ω1=3 rad/s 且n(t)=0，運(yùn)用四階Runge-Kutta法在初值為x(0)=y(0)=0條件下求解，其軌跡相圖如圖4所示。

圖4 不同尺度系數(shù)下振子軌跡相圖

從圖中可知，當(dāng)變尺度系數(shù)滿足k1=1，此時(shí)待測(cè)信號(hào)的頻率與周期策動(dòng)力頻率大小不等，振子的狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化仍然處于混沌狀態(tài)(圖4(a))。當(dāng)向系統(tǒng)引入一個(gè)變尺度系數(shù)k1=4，由于k1不等于待測(cè)信號(hào)的頻率ω1，此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)仍然未發(fā)生改變(圖4(b))。只有當(dāng)變尺度系數(shù)滿足k1=3，即待測(cè)信號(hào)頻率大小與周期策動(dòng)力頻率相同時(shí)，系統(tǒng)才從混沌狀態(tài)變化到大尺度周期狀態(tài)(圖4(c))。

為了進(jìn)一步增強(qiáng)高階Duffing系統(tǒng)的抗噪性和穩(wěn)定性,利用兩個(gè)高階Duffing振子進(jìn)行相互耦合，既提高了信噪比，也實(shí)現(xiàn)了對(duì)任意頻率信號(hào)的檢測(cè)，耦合系統(tǒng)為

(8)

式中x，u分別為系統(tǒng)的兩個(gè)變量，c為耦合系數(shù)。

3.2 模型分析

通常情況下系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度越高，則振子間的同步性越強(qiáng)。當(dāng)c=0時(shí)，雙振子間的耦合作用將會(huì)消失，此時(shí)雙系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與單個(gè)振子系統(tǒng)的完全相同。當(dāng)c≠0時(shí)，系統(tǒng)的變量將在耦合作用影響下隨時(shí)間逐漸達(dá)到同步。為了進(jìn)一步比較不同耦合系數(shù)對(duì)應(yīng)的耦合系統(tǒng)的抗噪性以及穩(wěn)定性，說(shuō)明耦合系統(tǒng)的選取，引入標(biāo)準(zhǔn)差概念，如式(9)所示，計(jì)算在噪音與非噪音背景下的不同c條件下的標(biāo)準(zhǔn)差值,如表1所示

(9)

表1 雙系統(tǒng)在不同強(qiáng)度高斯白噪聲下不同c對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差

由表1可知，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，不同耦合系數(shù)下的系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)差也逐漸變大。對(duì)于任意系統(tǒng)而言，標(biāo)準(zhǔn)差越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越強(qiáng)。因此,通過上述研究可知，當(dāng)耦合系數(shù)(c=2)時(shí)雙耦合檢測(cè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)性能。

3.3 雙系統(tǒng)與單系統(tǒng)檢測(cè)性能的比較

為了證明雙耦合高階Duffing系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)中的可行性，需對(duì)其抗噪性以及檢測(cè)特性進(jìn)一步的分析。利用四階Runge-Kutta法求解式(8)，設(shè)定初始條件為x(0)=y(0)=0，f=0.77，a=0.01，n(t)=0，得到其相軌跡如圖5所示。

圖5 不同尺度系數(shù)k1下雙耦合高階Duffing系統(tǒng)的相軌跡

由圖可知，僅僅當(dāng)待測(cè)信號(hào)頻率與變尺度系數(shù)滿足ω1=k1時(shí)，雙耦合系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，否則，始終處于混沌狀態(tài)。為了進(jìn)一步證明雙耦合系統(tǒng)的抗噪能力，采用四階Runge-Kutta法求解式(8)，設(shè)定系統(tǒng)處于臨界混沌狀態(tài)且初值x(0)=y(0)=0，加入待測(cè)信號(hào)為s(t)=0.01cos(t)+n(t)，n(t)～(0,σ2)。仿真結(jié)果顯示，隨著噪聲方差不斷增加，當(dāng)σ2>0.16時(shí)，系統(tǒng)將從周期狀態(tài)轉(zhuǎn)換為混沌狀態(tài)，此時(shí)雙耦合系統(tǒng)的最大信噪比為-34.88 dB。對(duì)比單振子系統(tǒng)在同等條件下的最大信噪比-28.69 dB，雙耦合系統(tǒng)抗噪性能提高明顯。為了進(jìn)一步解釋雙耦合系統(tǒng)的魯棒性以及穩(wěn)定性，在同等條件下，分別仿真計(jì)算單振子系統(tǒng)和雙耦合系統(tǒng)的最大信噪比，如表2。

表2 2種系統(tǒng)最大信噪比 dB

從表2可知，隨著高斯白噪聲強(qiáng)度的增加，單系統(tǒng)和雙系統(tǒng)的最大信噪比都隨之降低。在相同噪聲強(qiáng)度下，雙耦合系統(tǒng)的最大信噪比皆優(yōu)于單系統(tǒng)，且在噪聲聲背景下(σ2=10-1時(shí))的最大信噪比比單系統(tǒng)高達(dá)1.76倍。故此，證明基于雙耦合高階Duffing振子的微弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)有著更強(qiáng)的抗噪性能。

4 結(jié) 論

本文提出了一個(gè)新穎的基于高階Duffing振子的微弱信號(hào)檢測(cè)方法。仿真結(jié)果證明了利用該系統(tǒng)進(jìn)行弱信號(hào)檢測(cè)的的有效性和可行性。另外，針對(duì)頻率限制以及信噪比較低問題，利用尺度變換的頻率模型和耦合同步構(gòu)建了雙耦合高階Duffing振子，實(shí)現(xiàn)了對(duì)任意未知頻率信號(hào)的檢測(cè)，同時(shí)信噪比也得到了有效地改善，對(duì)實(shí)現(xiàn)實(shí)際工程中的弱信號(hào)檢測(cè)意義重大。