例談圓錐曲線中最值與范圍問題的解決策略

趙存善

圓錐曲線中最值與范圍問題一直是高考中的熱點和難點，其中有不少試題涉及到最值與范圍，對于這些問題，很多同學望而生畏，騎虎難下，深感困難重重，難以決策。這類問題，也并非無規可尋，下面通過幾個典型題目談談解決圓錐曲線中最值與范圍問題的策略。

題型一：最值問題

例1 已知P為拋物線y=上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標是（2，0），則|PA|+|PM|的最小值是 。

[解析]如圖，拋物線y=，即x2=4y的焦點為F（0，1），記點P在拋物線的準線l：y=-1上的投影為P′，

根據拋物線的定義知，|PP′|=|PF|，

則|PP′|+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=

所以（|PA|+|PM|）min=（|PA|+|PP′|-1）min=。

[答案]

[講評]一看到本題，不少同學可能會依常理“出版”——構造函數，將問題轉化為求函數的最值，然而其最值很難求得，這也恰恰落入了命題者有意設置的“圈套”之中，事實上，與拋物線的焦點（或準線）相關的最值問題，更多的是考慮數形結合，利用拋物線的定義進行轉化，然后再利用三點共線或三角形的三邊關系加以處理。

探究1 圓錐曲線中最值的求法有兩種：

（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何體特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法。

（2）代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，求函數最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數的單調性法等。

題型二 范圍問題

例2（2012·天津）設橢圓（a>b>0）的左、右頂點分別為A、B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點。

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率；

（2）若|AP|=|OA| ，證明直線OP的斜率k滿足|k|>。

[解析]（1）設點P的坐標為（x0，y0），由題意，有。

由A（-a，0），B（a，0），得kAP=

由kAP·kBP=-，可得，代入①并整理得。由于，

故 a2=2b2，于是，所以橢圓的離心率e=。

（2） 依題意，直線OP的方程為y=kx，設點P的坐標為（x0，y0），

由條件得。

消去y0并整理得。

由|AP|=|OA|，A（-a，0）及y0=kx0，得（x0+a）2+。

整理得（1+k2）。而，于是，

代入②，整理得（1+k2）2=4k2（）2+4。由a>b>0，故（1+k2）2>4k2+4，即k2+1>4。因此k2>3，所以|k|>。

探究2 求參數范圍的常用方法有四種：

（1）函數法：用其他變量表示該參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解。

（2）不等式法：根據題意建立含參數的不等式，通過解不等式求參數的范圍。

（3）判別式法：建立關于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數范圍。

（4）數形結合法：研究該參數所表示的幾何意義，利用數形結合思想求解。