對減小無刷直流電機換相轉矩脈動方法的最小換相時間研究

王少鵬，張安堂

(空軍工程大學 防空反導學院，西安 710051)

0 引 言

無刷直流電機(Brushless DC Motor，BLDCM)作為一種機電一體化新型產品，具有效率高、控制簡單、結構穩定、功率密度大等優點，在工業控制、航空航天等領域都得到了廣泛的應用[1]。但由于電機本體繞組相電感的存在，相電流不能突變，電流在上升與下降階段都需要一段時間，從而導致電機在換相期間出現轉矩脈動的問題，脈動值甚至可以達到平均轉矩的一半，因此減小無刷直流電機的換相轉矩脈動[2-12]成為眾多學者研究的熱點。

文獻[2]詳細分析了傳統的5種PWM調制方法對電機換相轉矩脈動的不同影響并做了比較，但并沒有提出改進的調制方法。文獻[3]采用定子電流預測控制的方法，實現了對換相過程非導通相電流的脈動抑制，減小了電機的轉矩脈動。文獻[4]推導出了一種計算換相轉矩脈動的統一式，提出了在換相期間，調制關斷相以抑制轉矩脈動的方法。文獻[5]提出在換相過程，采用三相繞組同時調制，將每個PWM周期分成包含5個對稱區間的3個功能區，并計算了每一相調制占空比，減小了轉矩脈動，但該調制方法多應用于較低轉速。

根據無刷直流電機換相轉矩產生的根本原因，結合文獻[5]提出的三相繞組共同調制方法，在分析其工作原理的基礎上，發現了最小換相時間與抑制換相轉矩之間的關系。通過建立數學模型，對非換相相占空比與關斷相占空比進一步分析，提出了最小換相時間法則，采用這一法則可以在最短的換相時間內減小換相轉矩脈動。針對電機高轉速與最小換相時間相互矛盾的問題，在換相時間與轉速二者之間做了一定取舍，通過對最小換相時間法則的約束，即設定占空比閾值，使三相繞組調制方法能夠適用于全速段。實驗仿真結果表明，采用最小換相時間法則的三相繞組共同調制可以減小換相轉矩脈動，并且可以應用于較高轉速。

1 無刷直流電機換相轉矩脈動分析及抑制

1.1 無刷直流電機換相轉矩脈動分析

在無刷直流電機換相過程中，由于電機自身繞組相電感的作用，關斷相電流i2與導通相電流i3是不能突變的，并且關斷相電流下降斜率k2與開通相電流上升斜率k3不一定相等，導致非換相相電流i1產生波動[6]，使電機在換相期間出現電磁轉矩脈動。根據斜率k2、k3不同的大小關系，將換相期間三相電流分為以下三種情況，如圖1所示。

圖1 換相期間三相電流變化

1.2 無刷直流電機換相轉矩脈動抑制

在換相期間，所采用的PWM調制策略如圖2所示，同時對三相繞組的開關管用不同的占空比進行調制。以ab→ac換相過程為例，在一個PWM周期Ts內，非換相相a相的上橋臂開關管Sa+采用PWM調制，占空比為don且中心對稱，關斷相b相的下橋臂開關管Sb-采用PWM調制，占空比為doff且中心對稱，導通相c相的下橋臂開關管Sc-恒導通，占空比為1。這樣就可以把換相期間PWM調制區分成5個小區間，劃分為A、B、C三個功能區。

圖2 一個周期內三相調制的實現

其中，功能區C決定關斷相電流i2的下降速度，doff值越小，電流下降速度越快；功能區B、C決定導通相電流i3上升速度，don-doff值越大，電流上升速度越快；功能區A決定換相時間，1-don值越小，換相時間越短。合理設定功能區B、C的占空比，使|k2|=|k3|，可以抑制換相轉矩脈動。

圖3為無刷直流電機等效電路圖。由于三個開關管占空比各不相同，且don>doff，按照各功能區內開關管的導通關斷情況，分別對電機工作在功能區A、B、C時的繞組電流進行分析。電機正常工作時，電阻對文中采用的方法影響不大，電路分析時可以忽略電阻的作用，根據基爾霍夫定律可得：

(1)

(2)

(3)

2don+doff=1+2d

(4)

式中d表示穩態工作時調制母線電壓的PWM占空比。

在換相期間，按照式(4)對三相開關管Sa+、Sb-、Sc-進行調制，可以使導通相上升電流i3與關斷相下降電流i2的變化情況一致，即|k2|=|k3|，從而可以減小換相轉矩脈動，其他換相過程與ab→ac的換相過程類似。因此，采用三相繞組共同調制的方法，能夠較理想地實現對換相轉矩脈動的抑制。

圖3 無刷直流電機等效電路圖

2 最小換相時間法則

2.1 換相時間的計算

其實2.2節所分析的三相繞組共同調制方法，不但可以減小換相轉矩脈動，其換相時間也是可以調節的。只要滿足式(4)的don、doff組合都可以抑制換相轉矩脈動，但不同的組合方式占用不同的換相時間，使該方法具有一定自由度。如圖2所示，功能區A決定換相時間的長短，通過改變占空比1-don的大小，可以實現對換相時間的調整。在實際應用情況中，往往希望換相時間越小越好，對此，提出了最小換相時間法則的概念。

已知有以下不等式限制條件：

(5)

在同一個坐標系下畫出滿足式(4)、式(5)的二維平面圖，橫坐標取don，縱坐標取doff，如圖4所示。

圖4 don、doff和d之間的關系

圖4中陰影區域內任何don、doff組合都可以抑制換相轉矩脈動，以d=0.5為例，don1=0.7、doff1=0.6，以及don2=0.9、doff2=0.2兩種占空比組合都可以滿足式(4)，但是決定換相時間的功能區A占空比DA1=0.3>DA2=0.1，已知占空比值越小換相時間越短，即第二種組合所需的換相時間更少。為實現換相過程用時最短，在滿足圖4中陰影區域的前提下，應該保證圖2中功能區A對應的占空比盡可能小。以式(4)、式(5)作為邊界條件，建立目標函數DA=1-don，利用線性規劃的分析方法，求目標函數最小值，可得：

(1)當d≥0.5時，令don=1，則：

doff=2d-1

(6)

(2)當d<0.5時，令doff=0，則：

don=d+0.5

(7)

目標函數的最優解式(6)、式(7)為沿圖4中箭頭所示的邊界，箭頭指示的方向表示PWM占空比d從0～1變大的方向。按照上述規則選取don、doff組合可以在最短換相時間內減小換相轉矩脈動，稱為最小換相時間法則。

(8)

式(8)表示換相過程所占用的調制周期數，引入最小換相時間法則，可得：

(9)

根據式(9)確定的調制周期數n，可以求得總最小換相時間。進一步分析式(9)可以發現，當PWM占空比d≥0.5時，總換相時間由負載工作電流I與d共同決定；當d<0.5時，換相時間僅取決于負載工作電流I。

2.2 換相區三相繞組調制法全速段的實現

由式(9)可以發現，在換相期間，當PWM占空比d接近1時，即電機轉速比較高時,，調制周期數n很大，意味著需要很長的換相時間才能夠抑制換相轉矩脈動。但在實際應用中，電機轉速較高時，其占用的換相時間必然是越短越好，這顯然與式(9)得到的結論相矛盾。

綜上所述，通過對式(9)的進一步約束，不僅可以實現最短時間內換相轉矩脈動的抑制，而且也可以在較高轉速的情況下，優先保證換相時間最小，使三相繞組共同調制方法在全速段范圍得到應用。表1總結了占空比don、doff以及調制周期數n的具體計算形式。

表1 don、doff和n的選取

3 仿真驗證

為驗證本文提出理論的正確性，基于Matlab軟件下的Simulink仿真工具，搭建了無刷直流電機的仿真模型，對無刷直流電機控制系統進行了仿真研究。仿真模型參數設置如下：定子相繞組自感與自感之差LM=2 mH，轉動慣量J=0.005 kg×m2，阻尼系數B=0.000 2 N·m·s/rad，額定轉速n=2 000 r/min，負載轉矩TL=1 N·m，極對數p=4，直流母線電壓為Ud=220 V，其PWM調制頻率fs=1/Ts=20 kHz。

由1.1節對無刷直流電機的換相轉矩脈動分析可知，三相繞組的電流脈動可以反映電機的轉矩脈動。通常認為電機的輸出電磁轉矩與相電流的波形近似成正比，所以相電流可以看做是輸出電磁轉矩的近似波形。圖5～圖10分別表示采用最小換相時間法則的三相繞組電流變化波形，仿真時間為0.5 s，在0.2 s時突加負載轉矩。

圖5、圖6分別為采用傳統調制方法和三相繞組共同調制方法在母線電壓PWM占空比d=0.3時的電流脈動情況。負載工作電流可以實時采樣母線電流為I=4.75 A,根據表1的計算規則，取don=0.8，doff=0，調制周期數n=2。通過對比電流波形能夠明顯看出，采用傳統調制方法的換相電流脈動更劇烈，相反采用三相繞組共同調制方法的換相電流脈動幾乎被抑制，也就是較好地抑制了換相轉矩脈動。

同樣的，圖7、圖8分別為采用傳統方法和三相繞組共同調制方法在母線電壓PWM占空比d=0.8時的電流脈動情況。根據表1計算規則，取don=1，PWM占空比d=0.95時的電流脈動情況，取don=1，doff=0.8，調制周期數n=7。可以發現，隨著PWM占空比d的增大，即電機轉速增加，兩種方法抑制電機換相轉矩脈動的效果都逐漸減弱，但三相繞組共同調制相比傳統調制的效果依舊更明顯。提出的方法在換相期間所需要的調制周期數n也在增加，驗證了前文對高轉速與最小換相時間是相互矛盾這一結論的正確性。若不設定閾值d=0.9，則調制周期數n≥17，遠大于約束后所占用的換相時間，即采用閾值約束的最小換相時間法則，能夠在較高轉速的條件下，保證換相時間最小，使三相繞組共同調制方法可以應用于全速段范圍。

圖6 d=0.3時三相繞組共同調制方法電流波形

圖7 d=0.8時傳統調制波形

圖8 d=0.8時三相繞組共同調制波形

圖9 d=0.95時傳統調制波形

圖10 d=0.95時三相繞組共同調制波形

4 實驗驗證

為對文中所提出的理論進行驗證，以DSP2812為控制器構建了一個實驗平臺，相關參數設計參考仿真模型。

根據上文分析，采樣繞組電流變化波形即可分析電機轉矩脈動情況，但限于示波器采集通道的數量，實驗中只對a、b兩相繞組電流采樣分析，示波器窗口每格為2.5 A，如圖11、圖12所示。

圖11為采用傳統調制方法時獲得的電流波形，通道1表示a相繞組電流，通道2表示b相繞組電流。觀察發現在換相期間，繞組電流抖動明顯，相當于電機含有較大的換相轉矩脈動。

圖11 d=0.3時傳統調制兩相電流波形

圖12 不同占空比下三相繞組共同調制兩相電流波形

圖12(a)～圖12(c)分別為當調制占空比d=0.3、0.8、0.95時采用本文提出的調制方法所獲得的電流波形，通道1表示a相繞組電流，通道2表示b相繞組電流，其中圖(d)為兩相電流的放大對比圖。觀察發現，相比傳統調制方法，該調制方法可以明顯減小電機的換相轉矩脈動，但隨著占空比的增大，其效果逐漸減弱。實驗結果與仿真結果一致，都證明了所提理論分析部分的正確性。

5 結束語

(1)對無刷直流電機特有的換相轉矩脈動問題進行了分析，并提出采用三相繞組共同調制的方法，使導通相電流上升速度與關斷相電流下降速度保持一致，從而達到了減小電機換相轉矩脈動的目的；

(2)基于文中換相期間所采用的調制方法，進一步提出了最小換相時間法則的概念。通過對換相時間數學模型的分析，證明了電機可以在最小換相時間內抑制換相轉矩脈動；PWM占空比d閾值的設定，擴大了三相繞組調制方法適用的轉速范圍，增加了該調制方法的靈活性。仿真實驗結果表明，電機在較寬的轉速范圍內，采用最小換相時間法則的三相繞組共同調制可以有效減小換相轉矩脈動，驗證了文中理論分析的正確性，對實際產品的設計應用具有一定的參考價值。