Kaiser窗的組合余弦窗擬合及其在頻譜分析中的應用

彭曦，劉開培，李登云,2

(1. 武漢大學 電氣工程學院， 武漢 430072; 2. 中國電力科學研究院, 武漢430074)

0 引 言

諧波的準確檢測對諧波治理，保障電能質量和電力系統安全穩定運行具有十分重要的意義[1]。為了抑制采樣序列截斷產生頻譜泄露，加窗傅里葉變換是較為常用的諧波分析方法[2-4]。常用的窗函數，如漢寧(Hanning)窗、漢明(Hamming)窗、布萊克曼(Blackman)窗、納托爾(Nuttall)窗、萊夫文森特(Rife-Vincent)窗等均為一類組合余弦窗。針對這類組合余弦窗以及基于這些余弦窗的新型窗已有成熟的FFT插值算法[5-10]，能有效抑制頻譜泄露對信號分析的影響，從而滿足復雜諧波信號分析的要求。

Kaiser窗是非組合余弦窗，可自定義選擇主瓣寬度與旁瓣高度之間比例，因此對信號加權更加靈活[11-12]。目前已有基于Kaiser窗的雙譜線FFT插值算法[11]，但是精度一般。因此本文提出了基于Kaiser窗的組合余弦窗構造方法，通過最小二乘法將Kaiser窗擬合為組合余弦窗。以β=11的Kaiser窗為例，將擬合后的窗函數與原窗進行了頻譜對比，結合文獻[13-15]中提出的的雙譜線插值FFT算法進行了信號分析。

1 Kaiser窗的組合余弦窗最小二乘曲線擬合

1.1 Kaiser窗的組合余弦窗最小二乘擬合

在頻域尋找最大限度地集中在ω=0附近的窗函數可以定量的在主瓣寬度和旁瓣面積之間進行權衡選擇。Kaiser利用十分容易計算的第一類零階修正Bessel函數可構成一種近似最佳的窗函數。Kaiser窗定義為[8]：

(1)

式中α=M/2，其中I0(·)為第一類零階修正貝塞爾函數。Kaiser窗有兩個參數：長度參數(M+1)和形狀參數β。調整窗函數的長度和形狀可通過改變改變(M+1)和β的大小，從而達到窗函數的旁瓣幅度和主瓣寬度之間的折中。隨著β的增大，Kaiser窗函數頻譜的旁瓣峰值減小，旁瓣衰減速率增大。

對于Kaiser窗y(x)，離散采樣m點得到數據集(xn,yn)(n=1,2,…,m)，用組合余弦窗y=w(xn)對數據集進最小二乘[16]擬合，使偏差δn=p(xn)-yn(n=1,2,…,m)的平方和達到最小。組合余弦窗的一般表達式見下式：

(2)

式中K為組合余弦窗項數；ai為第i項組合余弦窗系數；N為窗函數長度。

組合余弦窗式(1)的DTFT為：

(3)

式中WR(ω)為矩形窗的頻譜函數。

當增加β值時，Kaiser窗旁瓣峰值電平下降，旁瓣漸進衰減速率增加。本文以β=11的Kaiser窗為例進行信號處理。該Kaiser窗旁瓣衰減速率為18 dB/oct，旁瓣峰值電平為-82.6 dB，已足夠滿足電力系統諧波分析的精度要求。

為減少運算，本文的擬合項數選取5次。取β=11的Kaiser窗進行五項最小二乘擬合，得到新的窗函數時域表達式為:

(4)

式中N為窗的長度。

1.2 窗函數特性對比

(1)與原Kaiser窗特性對比

以窗長N=64為例，新型余弦窗與原Kaiser(β=11)時的幅頻特性如圖1，窗函數特性參數見表1。

由此可見，最小二乘法擬合得到的Kaiser窗特性的新型余弦組合窗，保證主瓣寬度不變，旁瓣峰值電平與旁瓣衰減速率略微減小，依然保持了原Kaiser窗優良的特性。

表1 原Kaiser窗(β=11)與新余弦窗特性參數

圖1 窗函數幅頻特性

(2)與常用余弦窗性能對比。

表2為常用窗函數與β=11時Kaiser窗的組合余弦窗的頻譜特性的比較，可看出Kaiser窗與Kaiser的組合余弦窗的旁瓣峰值電平低，旁瓣衰減速率快，與常見窗函數相比，適合電力系統諧波分析。

表2 窗函數特性比較

2 仿真分析

本文采用文獻[17]中的包含21次諧波的復雜信號模型進行仿真，仿真采用的信號模型為：

(5)

式中基波頻率f1為50.5 Hz；異步采樣時，采樣頻率fs為2 520.6 Hz；截斷信號的數據長度N為1 024點；Ai為基波幅值以及各次諧波幅值，見表3。

表3 仿真諧波幅值參數

本文采用了文獻[13]提出的FFT雙峰譜線修正算法。取β=11時擬合構造的新組合余弦窗函數組合余弦窗時域表達式見式(4)，其雙譜線插值公式為：

(6)

將信號分別用Kaiser窗雙譜線插值算法[17]和擬合組合余弦窗雙譜線插值法處理，對比幅值相對誤差，結果見表4與圖2。

由圖2可以看出，通過最小二乘擬合算法得到的新組合余弦窗與Kaiser窗相比，使用雙譜線插值法后得到的頻譜幅值精度得到了明顯提高。

表4 加窗雙譜線插值FFT分析幅值相對誤差

圖2 加窗FFT雙譜線插值分析幅值相對誤差曲線

3 結束語

將Kaiser窗進行最小二乘擬合為組合余弦窗后可以利用現成組合余弦窗的雙譜線插值算法，解決了Kaiser窗雙譜線插值法幅值提取精度低的問題。以β=11的Kaiser窗為例構造了組合余弦窗，與Kaiser窗雙譜線插值法相比較，基于擬合組合窗余弦窗的雙譜線插值算法獲得的諧波幅值精度更高，能達到對電力系統諧波分析的高精度的要求。