用類比、分類、轉化“唱響”軸對稱

姜鴻雁（特級教師）

眾所周知，初中階段共學習三大基本圖形變換，分別是平移、翻折（軸對稱）、旋轉.翻折是繼平移后的第二大圖形變換，如何學好這部分內容呢？本文從以下三個方面與同學們聊聊，相信你們定有收獲！

一、從類比的角度學習

回憶圖形平移的知識框架：

類比平移，感受軸對稱（圖形）學習路徑：

在類比舊知識的過程中學習新內容，有利于形成整體觀，會使學習過程更輕松.

二、用分類的視角思考

本章圖形因軸對稱的特殊性，使符合題意的圖形相關元素之間的數量關系相對復雜，位置關系也常不確定，用分類討論的視角思考，是確保解題結果不重復、不遺漏的“法寶”.

【例1】如圖1，線段AB與直線l相交于點A，在直線l上確定點C，使△ABC是等腰三角形（畫出所有符合題意的點C）.

圖1

圖2

【分析】等腰三角形只有兩個頂點確定，則腰和底邊均無法確定，故要分類討論.科學的分類依據是確保結果不重復、不遺漏的關鍵.本題研究對象是等腰三角形的頂點，分類依據考慮頂角頂點為上策.當點A為頂角頂點時，則有AB=AC，以點A為圓心、AB長為半徑的圓與直線l的交點即為點C；同理，當點B為頂角頂點時，以點B為圓心、BA長為半徑的圓與直線l的交點即為點C；當點C為頂角頂點時，線段AB的垂直平分線與直線l的交點即為點C.所以符合題意的點C共有四個（如圖2）.為便于理解與記憶，可以把圖2簡稱為“兩圓一線”，為日后解決更為復雜的與等腰三角形相關的問題做好鋪墊.

三、以轉化的思想求解

化難為易、化陌生為熟悉……這些都是轉化思想的魅力，是解決問題的有力保障.由于軸對稱（圖形）、等腰（邊）三角形的各條性質，注定本章與全等三角形有緊密聯系，這在解決問題過程中，為轉化線段或角提供了“資源”.用好這些“資源”，可以輕松解決問題.

圖3

【例2】如圖3，△ACD、△BCE是等邊三角形，且A、C、B共線，AE、BD相交于點O，連接OC.求證：OC平分∠AOB.

【分析】由△ACD、△BCE是等邊三角形，不難得到△ACE≌△DCB.這一對全等三角形的作用何在？似乎與要證的∠AOC=∠BOC相距甚遠，而∠AOC與∠BOC所在三角形顯然不全等，所以轉化成為必然.關于角平分線，本章學過它的判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，由此可以轉化為證明點C到OA、OB的距離相等（如圖 4，即證 CM=CN）.如何證 CM=CN？由△ACE≌ △DCB可得：AE=BD、S△ACE=S△DCB，兩個等底等面積的三角形必定等高，所以CM=CN.

圖4

簡證：作CM⊥OA于M、CN⊥OB于N.

易得：△ACE≌ △DCB，所以AE=BD，S△ACE=S△DCB.又因為CM⊥AE，CN⊥BD，所以CM=CN，故OC平分∠AOB.

延伸：若A、C、B三點不共線，其他條件不變，結論還成立嗎？（因“不共線”對證明過程沒有影響，所以方法不變，結論不變.）

總之，熟練掌握所學定理，是實現“轉化”的前提.圖3是本章的基本圖形之一，證明OC平分∠AOB并不容易，利用角平分線判定定理實現轉化是關鍵.本章基本圖形和常用輔助線還有很多，我們只要對新知識及時鞏固，并注意與舊知識之間的融會貫通，數學學習就能走上“快車道”了.