函數(shù)平移問題在高考的解析

江梅

函數(shù)平移問題是平面向量的理論，以三角函數(shù)為載體的一個綜合性題型，難度中等，高考中常有涉及。要做好函數(shù)平移問題，需認真理清其思路與方法。

設函數(shù)[F（x]，[y）=0]圖象上的點[P（x]，[y）]按向量[a=（h]，[k）]平移到函數(shù)[F][（x]，[y）][=0]圖象上的點[P][（x]，[y）]，則有[OP=OP+a]，

即[（x]，[y）][=（x]，[y）+][（][h]，[k][）][=（x+h]，[y+k）]，也就是

[x=x+hy=y+k] （1）式 或 [x=x-hy=y-k]（2）式

（1）式可稱為平移后點的坐標公式，（2）式可稱為平移前點的坐標公式，則平移問題的處理思想與方法可根據(jù)所已知的方程歸結(jié)為以下兩條：

①若已知平移前函數(shù)方程[F（x]，[y）=0]，則用平移前點的坐標公式代入平移前方程[F（x]，[y）=0]，得到平移后的函數(shù)方程[F][（x]，[y）][=0]；②若已知平移后函數(shù)方程[F][（x]，[y）][=0]，則用平移后點的坐標公式代入平移后方程[F][（x]，[y）][=0]，得到平移前的函數(shù)方程[F（x]，[y）=0]。

以上兩個思路可處理三類問題：對平移問題中的三個要素平移前方程[F（x]，[y）=0]、平移后方程[F][（x]，[y）][=0]、平移向量[a=（h]，[k）]來說，可以說是知二求一，而高考命題就是沿這個思路來設計的，以下用2009年高考真題舉例說明。

例1（天津）已知函數(shù)[fx=sin（ωx+π4）（x∈R]，[ω>0）]的最小正周期為[π]，將[y=fx]的圖象向左平移[φ]個單位長度，所得圖象關于[y]軸對稱，則[φ]的一個值是

A.[π2] B. [3π8] C.[π4] D. [π8]

解析：由已知的周期，顯然[fx=sin（2x+π4）]，則f（x）為平移前方程，據(jù)題意，可得平移向量[a=（-φ，0）]，則再得平移前坐標公式[x=x+φy=y]，代入平移前方程[fx=sin（2x+π4）]，得平移后方程為[fx=sin2x+φ+π4]，而此函數(shù)關于y軸對稱，即當[x=0]時，[f0]取到最值，也就是[2φ+π4=k]π+[π2]，所以得[φ=π8+kπ2]，對比四個選擇支，當[k=0]時，[φ]可以是[π8]，故選D。

例2（湖北）函數(shù)[y=cos2x+π6-2]的圖象按向量[a]平移到[F]，[F]的解析式為[y=fx]，當[y=fx]為奇函數(shù)時，向量[a]可等于

A.[（π6] ，[-2）] B.[（π6] ，[2）] C. [（-π6] ，[-2）] D. [（-π6]，[2）]

解析：設平移向量[a=（h，k）]，則把平移前坐標公式[x=x-hy=y-k]代入平移前方程[y][=][cos2x+π6-2]，得[y-k][=][cos][2x-h+π6][-2]，即平移后的圖象F的方程為[y=fx=][cos2x-2h+π6-2-k]，又已知[y=fx]為奇函數(shù)，因此其圖象關于原點對稱且過原點為，從而有[2×0-2h+π6=nπ+π2-2+k=0]，[n∈Z] 即[h=-nπ2-π6k=2]，[n∈Z]，經(jīng)檢驗，當n=0時得[a=（-π6]，[2）]，故選D。

例3（山東）將函數(shù)[y=sin2x]的圖象向左平移[π4]個單位，再平移1個單位，所得的圖象解析式為

A. [y=2cosx2] B. [y=2sinx2]

C. [y=1+sin（2x+π4）] D. [y=cos2x]

解析：由題意，知平移向量[a=（-π4，1）]，則平移前坐標公式為[x=x+π4y=y-1]，代入平移前方程[y=sin2x]，得平移后方程為[y-1][=][sin2（x+π4）]，即[y=sin]2[x+π4]+1=[sin2x+π2][+1=cos2x+1=2cosx2]，故選A。

從以上例題來看，如果明確兩個處理思路及三個可以處理題型，那么對于函數(shù)的平移問題，就不該再有疑問。

練習：（全國II）若將函數(shù)[y=tan（ωx+π4）（ω]>[0）]的圖象向右平移[π6]個單位長度后，與函數(shù)[y=tan（ωx+π6）]的圖象重合，則ω的最小值為

A. [16] B. [14] C. [13] D. [12]

（湖南）將函數(shù)[y=sinx]的圖象向左平移[φ] （0≤[φ]<2π）個單位后，得到函數(shù)[y=sin（x-π6）]的圖象，則[φ]等于

A. [π6] B. [5π6] C. [7π6] D.[11π6]

答案：1：D；2：D。