二維柯西不等式的幾種證明方法

徐大剛

柯西不等式在不等式證明中占有重要的地位，而二維柯西不等式在高中數學競賽中有會成為“常客”，且二維柯西不等式在高中數學中的代數、幾何、三角等各個方面都有聯系，熟悉這些聯系能本質地把握不等式，并更自覺地應用它，本文將從多個角度來證明該不等式。

二維柯西不等式：若a、b、c、d∈R，則

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證明：若[a2+b2=0]或[c2+d2=0]時，不等式顯然成立。

現證明[a2+b2≠0]且[c2+d2≠0]的情況。

證法一：向量法：

設[m=（a]，[b）] [n=（c]，[d）]

[m=a2+b2] [n=c2+d2]

[∴m·n=ac+bd]

[又∵m·n≤m·n]

[∴ac+bd≤a2+b2·] [c2+d2]

兩邊平方得：[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

當且僅當[m]與[n]共線時取等號

證法二：全量不小于部分：

[∵a2+b2c2+d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2]

[（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

當且僅當ad=bc時取等號。

證法三：復數的模不小于實部（虛部）：

設[Z1=a-bi] [Z2=c-di]

則[Z1=a2+b2] [Z2=c2+d2]

[Z1·Z2=ac+bd+ad-bci]

[Z1][·][Z2][=][a2+b2·c2+d2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2][=][Z1·Z2]

而[Z1] [·][Z2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2]≥[ac+bd2][=][ac+bd]

[∴a2+b2·c2+d2≥ac+bd]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證法四：斜線段不小于垂線段：

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]等價于[ac+bda2+b2≤c2+d2]

建立平面直角坐標系，設B（c，d） A（b，-a），直線OA：ax+by=0

設點B到直線OA的距離為BH，

[BH=ac+bda2+b2]

[∵BH≤OB]

[ac+bda2+b2≤c2+d2]

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證法五：余弦定理：

建立平面直角坐標系，設A（a，b） B（c，d）

則在[△AOB]中

[cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB]

=[a2+b2+c2+d2-（a-c）2+（b-d）22a2+b2·c2+d2]

=[ac+bda2+b2·c2+d2]

∵[cos∠AOB≤1]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證法六：判別式法：

構造二次函數[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

∵[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

=[（ax-c）2+（bx-d）2≥0]

∴可知判別式不大于0

即：[△=4ac+bd2-4a2+b2c2+d2≤0]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

參考文獻

[1]羅增儒.高中數學奧林匹克.陜西師范大學出版社.

[2]全日制普通高級中學教材書·數學第二冊（上）.