打破常規教“因數與倍數”

陸耀成

[摘 要]因數與倍數是一對相互依存的概念，兩者既有相關性，又有區別，所以教學“因數與倍數”時，必須同步推進。在借助乘法算式詮釋兩者關系時，由于“因數”一詞具有多義性，容易與乘法算式里的“乘數”相混淆，因此教師要深入研讀教材，打破“因數與倍數”的常規教學模式，幫助學生厘清兩者的關系。

[關鍵詞]因數；倍數；打破常規

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）29-0033-01

對于“因數與倍數”的教學，教師常存在兩點疑問：第一，如何導入因數與倍數的概念？第二，如何很好地區別“乘數”與“因數”、最小因數和最大因數？為了解決疑問，筆者進行了如下教學操作。

一、研究：對比各版教材

大綱版、實驗版和課標版三個版本的教材將因數和倍數內容都安排在五年級下冊，但引入方式有別。大綱版依托于“整除”概念，在呈現整除和非整除算式后，提出因數和倍數概念：a 除以b（b≠0）的商為整數，就說a能被b 整除。此時，a就稱為b的倍數，b就稱為a的因數。這樣的表述佶屈聱牙，弄得學生暈頭轉向，就連教師也要再三思量。于是，實驗版教材刪去了“整除”的概念，在開門見山地出示算式“2×6=12” 和“[3×4=12]”后，直截了當地提出了“2、3、4、6都是12的因數，12 是它們的倍數”。這樣表述簡潔明了，但利用乘法算式揭示，非常容易與“因數×因數=積”中的“因數”概念混淆，盡管事后申明“這里的因數必須是整數，不包括0”，但仍會引起誤解，“所有乘法算式中的被乘數和乘數都叫作因數（約數）”，于是像“2.5×2=5”“3.2×4 =12.8”這樣的算式也歸入因數和倍數之列。

課標版教材對此做的改動是，由除法引入，從各類情境中提煉出多種除法算式，分成“整除”和“非整除”兩類；只要求學生學會分辨兩個數的因倍數關系；重申因倍數間的依存對應關系；刪去“整除”一詞，用“商必須是整數”取代。

二、設計：兩段簡約教學

基于以上對比，設計如下教學預設和教學過程。

【預設一】按商是否為整數分類。帶余除法：15÷7=2……1；10÷3=3……1。無余數除法：8÷2=4；30÷15=2；8÷5=1.6；21÷21=1；26÷8=3.25。

【爭論】商如果為小數，算入哪一類？

【預設二】按得數是否全部為整數分類。

結果是整數的：14÷2=7；31÷7=4……3；30÷15=2；10÷3=3……1。結果并非整數的：12÷5=2.4；10÷8=1.25。

【爭論】“商4余3”和“商3余 1”該歸入哪一類？

1.開門見山，新角度切入。首先開門見山地導入，直奔主題：“自然數之間存在著分解與合并的有趣關系，許多自然數都能分解成兩數相乘的形式，有的還有多種分法。那么18可以分成哪兩個數相乘的形式呢？”學生輕易就列出算式：18=3×6，18=2×9，18=1×18。接著，推出因倍數的定義，并點明它們之間的對應關系及討論范圍。

在這一環節中，“18=（ ）×（ ）” 的引入形式明顯優于單純的算式引入，也照應了后來的分解質因數。而由于一開始就強調取值范圍，就排除了出現小數的情況。

2.充分練習，得心應手。待學生找齊12的因數后，繼續引導學生檢索其他數字的因數，如從13 到 50（若時間充裕，可將檢索范圍擴大至100以內的所有數）。然后，讓學生談方法和體會。比如：并不是數字越大因數越多；有的整數沒有常規因數；因數不會比原數大；任何數都有因數1和它本身；等等。待學生暢所欲言后，教師再查漏補缺。

新課標要求“能找100以內任意一個自然數的所有因數”。 如何才能滿足這一要求？讓學生接受大數據的“磨煉“是必要的，但題目的形式要富有趣味，比如：在100以內，擁有最多因數的是哪個數字？這樣可激發學生的思考熱情（因數至多可以達到12個，這樣的自然數有60、72、84、90 和 96），讓學生學會熟練地找出任意數的所有因數，為后續的乘除法口算、質合數判別、分解質因數夯實了基礎。對于倍數的練習也同樣如此，數據主要集中在乘法口訣表之外的一位數乘法和十位為1的兩位數乘法（積在100以內）。

三、感悟：打破常規教數學

綜上可知，教師對教材的理解不能止于淺表，更不能被教材捆住手腳。教師應活用教材，打破常規教數學。

新課標提到，理解和鉆研教材，應嚴格遵照新課標要求，把握好教材主旨和教學內容的教育價值，如果要對教材進行二度創造，需要做到：能根據學生的實際情況，選擇切實的素材和可操作性強的流程，精準體現基本理念和課程內容。除此之外，教師還需有扎實的專業知識和獨到的個人見解。總之，只有不肯墨守成規、因循守舊的教師才有機會沖破藩籬、標新立異。

（責編 童 夏）