慣性原件隨機噪聲卡爾曼濾波器設計

季凱源,熊天武

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所,江蘇 揚州225101)

0 引 言

雷達穩定平臺伺服控制中經常采用慣性測量元件(如加速度計、陀螺儀)對平臺的姿態信息進行檢測,但由于成本以及加工工藝等原因,慣性測量元件的測量精度并不完全滿足要求,需要進行數據濾波與補償。數字濾波無需硬件,采用算法實現,具有可靠性高且通過適當改變濾波算法參數即能調整濾波特性的優點。利用Allan方差法[1]對陀螺儀信號噪聲進行分析,主要為零偏不穩定性和速率隨機游走噪聲等隨機誤差成分。隨機誤差常用的濾波方式[2-6]有中值濾波、均值濾波、卡爾曼濾波等。中值濾波與均值濾波不能有效處理參數快速變化的被測量。本文設計基于ARMA模型的卡爾曼濾波器對慣性測量元件信號進行處理,抑制噪聲干擾,提高測量精度。

1 卡爾曼濾波基本原理

卡爾曼濾波是一系列遞歸數學公式的描述,以最小均方誤差作為估計最佳準則,提供一種高效可計算的方法來估計過程的狀態[7]。

對于離散系統,線性狀態方程可以描述為:

系統實際測量值:

利用系統模型,預測下一時刻系統狀態:

卡爾曼濾波包括預估與校正兩部分,預估是指根據模型建立當前時刻狀態的先驗估計,推算當前時刻狀態變量及誤差協方差的估計值,為下一時刻狀態構建先驗估計值;校正是指利用預估過程得到的先驗估計值對當前時刻測量值進行最優估計,得到最優的濾波值。卡爾曼濾波器設計過程中模型的選取與建立以及模型的精度是關鍵,直接影響濾波效果[8-12]。

2 ARMA模型

ARMA模型是時間序列分析的一種重要方法,以AR模型(自回歸模型)與MA模型(滑動平均模型)為基礎構成。

式中:p、q為模型階次;φt、θt為模型系數。

建立ARMA模型需要隨機時間序列是平穩、零均值的,所以對靜態的陀螺儀測量信號要進行預處理,去除野值和趨勢項,進行平穩性檢驗、正態性檢驗,保證該時間序列為平穩的零均值序列,然后再建立模型。

(1)去除趨勢項和野值

數據采集過程中,可能是數據采集、傳輸故障產生的錯誤數據,部分測量值明顯區別于其他數據,需要剔除。

(2)隨機誤差建模

一個平穩、正態分布的隨機序列可以用ARMA(p,q)模型表示:

式中:εi～W(0,σ2);ai＜1(i=1,2,…,p),為自回歸系數;bi＜1(i=1,2,…,q),為自回歸滑動系數;W(0,σ2)表示均值為零、方差為σ2的離散白噪聲序列。

(3)模型階次確定

ARMA模型階次選擇,采用Box和Jenkins提出的利用序列自相關系數函數與偏相關系數函數方法進行定階。圖1為陀螺儀信號時間序列的自相關系數和非相關性系數函數列表。圖1中上下2條橫線分別表示自相關系數、偏相關系數的上下界,超出邊界的部分表示存在相關關系。

圖1 時間序列自相關、偏相關性分析

由圖1可知,AR階次低于3階,MA階次低于4階。因為對于實際隨機系統,ARMA模型中AR階次大于等于 MA階次,可得模型為AR(1)、AR(2)、ARMA(1,1)、ARMA(2,1)。

利用Eviews軟件對各階次ARMA模型的參數進行計算以及有效性檢驗,模型參數及檢驗結果見表1。表中系數有效性檢驗認為小于5%為系數顯著,越小越好;AIC和SBC是選擇模型的重要指標,數值越小越好。由表1可以看出,不同階次的模型AIC與SBC參數有細微差別,但并無本質變化,說明幾種階次的模型精度相差不大。就實際情況而言,模型階次越低,實現越簡單,故此選擇AR(1)模型。

表1 模型階次及其有效性檢驗

3 基于ARMA模型的卡爾曼濾波器設計

根據Nyquist采樣定理,采樣頻率至少是傳感器帶寬的2倍才能保證采集信息不失真[15]。對于Allan方差處理,文獻[15]提出采樣頻率至少為陀螺儀帶寬的3～6倍才能保證數據處理的準確性。陀螺儀嵌在穩定平臺內部,盡量保證在旋轉過程中,穩定平臺與陀螺儀同軸,這樣可以減少系統誤差。陀螺儀帶寬為40～140 Hz可調,考慮到轉速環實際控制周期(1 ms),故采樣頻率選擇2 k Hz,采樣時間5小時,靜態、動態數據均為實驗室室溫下采集。

參考相關文獻[16]以及陀螺儀數據分析結果,卡爾曼濾波器主要參數選擇如表2所示。圖2、圖3為基于AR(1)模型的卡爾曼濾波實現的濾波效果。

表2 濾波器主要參數

圖2中原始數據為實驗室室溫下陀螺儀靜態數據,噪聲主要為隨機噪聲,圖2(a)為原始信號與濾波后信號對比圖,圖2(b)為濾波前后頻譜分析對比圖,圖2(c)為濾波前后Allan方差分析對比圖,表3為濾波前后陀螺儀信號噪聲系數Allan分析結果。通過濾波前后頻譜圖、Allan方差分析結果對比均可以看出噪聲幅值明顯下降,卡爾曼濾波能夠較好地濾除陀螺信號中的隨機干擾噪聲。

表3 濾波前后靜態數據分析

4 結束語

本文針對MEMS陀螺儀隨機噪聲建立ARMA模型進行卡爾曼濾波算法設計,并對濾波前后信號進行Allan分析和頻譜分析。分析結果顯示設計的卡爾曼濾波算法能夠較好地抑制隨機噪聲干擾,濾波后信號各項隨機噪聲衰減明顯。

圖2 濾波前后靜態數據分析