小學數學的“萬能模型”

鄔小燕

數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具。它能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明。數與運算是所有數學活動的基石，離開這些，數學活動便成了空穴來風，無本之木。在滬教版的小學數學教材中，有一個數學模型，從一年級的第一學期到五年級的第二學期，每一年都或多或少地出現在“數與運算”的版塊中，那就是“數射線”。

“數射線”的第一次出現，是在一年級的第一學期的第一單元“10以內的數”。我們知道，“數軸”可以幫助學生進一步理解數的概念，同時也呈現了數與形的結合，還可以幫助學生掌握加、減運算等。但是“數軸”包含負數，不適合一年級的小學生。為此教材中引入了“數軸”的正半軸，形象地稱之為“數射線”，既達成了上述目的，又能為一年級小學生所掌握。呈現數射線，邊畫邊引導學生觀察出它的特點，揭示出三要素“原點（起點）、方向、單位長度”。

二年級第一學期的乘法，是數射線帶給我們的另一個驚喜——乘法及一個數分拆為乘與加。乘法教學使用數射線的活動：幾格一跳。跳一次、標一個數，以游戲形式直觀地為學生們提供了一個探究、認知、整理的舞臺。乘法口訣不再以直接告知的方式教給學生，而是通過學生們探究認知、多次實踐操作，通過推理計算，然后總結出來的。在乘加教學時，將9條數射線同時展示，這九條數射線分別遮到21，學生們清楚地看到，在每一條數射線上，分別是幾段多幾格。

二年級第二學期，則是從百以內將定位、定序、鄰數、大小比較等知識遷移到千以內的數射線上，并寫出用字母表示的數。在小學數學中，往往通過數射線能將抽象的數與具體直觀的圖形建立起聯系，幫助學生積累感性經驗，從而有利于學生對數概念的學習。

三年級時數射線的出現在兩個我們意想不到的知識點上，一個是“千米的認識”。另一個是“速度、時間、路程”。“速度”這個概念比較抽象，它雖然存在于生活中，但是看不見、摸不著，無法借助實體來表征，而且不易掌握量感。讓學生借助數字來間接比較物體運動快慢的過程，體會“速度”概念的必要性。熟悉速度、時間、路程三者的關系。

到了四年級，數射線在數概念中的作用已經非常顯而易見了，在分數的認識上，最后一個單元數學廣場中“數射線上的分數”。這是小學階段關于分數概念的最后一個知識點。考慮到分數這一概念的小學初中的銜接問題。學生在學習分數大小比較和分數的加減計算中已經積累了不少經驗，在此基礎上，利用“分數墻”與“數射線上的分數”在形式上的相似性，讓學生在進一步復習分數的大小比較和加減計算的同時，體會分數不僅僅是一個操作過程，同時是一個數學對象，是一個像自然數那樣可以表示在數射線上的數，從逐步實現“分數”概念從“過程”到“對象”的轉變，為學生到初中學習“兩數相除所得的商”的分數定義做準備。由于把分數表示在數射線上與第三單元中的“分數墻”在形式上非常類似，因此可以作為系統復習“分數的大小比較”（同分母或同分子和“分數的加減計算”（同分母）知識的模型，同時，在“分數墻”的基礎上有了進一步的抽象和提高。

四年級第二學期的小數版塊，數射線出現得十分頻繁。

從數射線上的分數引入小數概念可以看出，小數實質上是十進分數的另一種表示形式，其依據是十進制位值原理。在數射線上標出0.3和0.30，發現是同一個點，兩個數是相等的。由于小數單位的不同，利用數射線的兩點間可以無限等分的特點，直觀地看出在數射線上同一個點可以用不同的小數表示，從而印證了小數的性質：在小數部分的末尾添上零或去掉零，小數的大小不變。

橫軸和縱軸的概念在統計圖的教學中正式接觸。兩條數射線，組成橫軸和縱軸。橫軸上通常是依時間或次序的先后排列，縱軸上表示的是統計的量。學生在一年級時已經學習了有關序數的概念，知道可以使用一個序數表示在一條直線上人或物體的位置，從一年級開始學生就接觸、使用數射線，已經建立了數（自然數）與數射線上的點之間的對應關系。在二年級第二學期，通過“東西南北”也為直角坐標系做了一些鋪墊。“位置的表示方法”利用有趣的情景，滲透直角坐標系的初步概念，使學生知道僅用一個數不能確切地描述物體在平面中的位置，而使用有序整數對（a，b）可以表示物體在平面中的位置。

五年級第一學期學習用字母表示數是學習代數初步知識的起點，也是代數學習的一個難點。對小學生而言，從具體事物的個數抽象成數是認識數的必要過程，現在由具體的、確定的數過渡到用字母表示抽象的、可變的數，更是認識上的一個飛躍。學生認識到可以用字母表示數射線上的點所對應的特定的數。

五年級第二學期，在數軸上認識正負數。經歷將數射線反向延長得到數軸的過程，學習數軸的畫法，并通過將正負數表示在數軸上進一步體會數與數軸上點的對應關系，逐步滲透數形結合的思想。學生在學習數軸之前，已初步接觸到數射線原點、正方向、單位長度的有關概念，從數射線出發，利用“比0大的數是正數，比0小的數是負數”的相關知識，引導學生思考，只要將數射線從零點出發，反向延長，就能形成一條“直線”，而這樣的直線就是“數軸”。所有的正負數都能在數軸上找到自己的位置；同時，數軸上的點都能表示一個數。有了數軸這一工具，可以方便地進行正負數的大小比較。

數學是一門抽象性、邏輯性很強的學科。學生抽象思維的形成是建立在大量形象思維的基礎之上的。數射線雖然在整個小學數學階段只是擔任著一個數學模型的角色，但是它的作用確實不可估量的。數射線的直觀性優勢是將數與運算的知識從形象思維過渡到抽象思維的一個載體，使學生的認知從從感性的具體進入抽象的規定，從而形成數的概念。用好這個數學模型，在日積月累中養成并完善學生理性思維的建構，這是一個長期的內化過程，不是一朝一夕能夠完成的，需要我們做出不懈的努力。