基于“相關(guān)變化率”的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

摘 要：相關(guān)變化率問題是高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)部分的一個(gè)內(nèi)容。它廣泛地存在于現(xiàn)實(shí)生活中。本文從現(xiàn)實(shí)生活中大家所熟知的“水位上漲”案例著手研究，通過案例的導(dǎo)入，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)變化率的數(shù)學(xué)問題，從案例的分析、講解、到鞏固拓展等一系列的教學(xué)過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方法分析、解決實(shí)際問題，明白數(shù)學(xué)既來源于生活、又服務(wù)于生活，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；同時(shí)，幫助學(xué)生更加深入地理解相關(guān)變化率的概念，熟練掌握相關(guān)變化率在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 相關(guān)變化率 案例研究

在現(xiàn)實(shí)的生活中，存在著很多相關(guān)變化率問題的案例，要正確地解決這些問題，必須深入地理解相關(guān)變化率的含義，掌握相關(guān)變化率的實(shí)質(zhì)，從而掌握解題的方法，拓寬學(xué)生的知識(shí)面。[1]

一、相關(guān)變化率的定義

假設(shè)有兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)和，變量與之間存在某種關(guān)系，從而它們的變化率與之間也存在某種關(guān)系，這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率。如果已知其中一個(gè)變化率（或），要求出另一個(gè)變化率（或），這類問題就是相關(guān)變化率問題。相關(guān)變化率問題廣泛應(yīng)用于我們的生活，下面我們來分析一個(gè)生活中的案例。

二、案例引入

在多雨季節(jié)，山洪爆發(fā)，河流、水庫(kù)水位上漲迅猛的時(shí)候，人民群眾的生命和財(cái)產(chǎn)安全將會(huì)受到極大的威脅，我們都希望在河流、水庫(kù)的水位到達(dá)警戒線之前能夠采取有效的措施去避免或減輕險(xiǎn)情的發(fā)生，因此，水位上升的速度在抗洪預(yù)警中具有重大的意義。那么，現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是如何計(jì)算水位上升的速度呢？[2]

大家都知道，我國(guó)小型水庫(kù)眾多，雨季極易發(fā)生險(xiǎn)情，因此需要對(duì)水庫(kù)的水位情況進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。下面我們以一個(gè)長(zhǎng)為、頂角為 的水槽形狀的水庫(kù)為例（如圖1），若測(cè)得水庫(kù)上游河水以的體流量流入該水庫(kù)，那么我們要求水深的時(shí)候，水位每小時(shí)上升幾米？[3]

三、案例分析

如果設(shè)水庫(kù)水流量為立方米，水深為米，顯然它們是隨著時(shí)間變化的，因而這兩個(gè)變量都是時(shí)間的函數(shù)。現(xiàn)在要求水位上升的速度，即，而題目又已知河水流入水庫(kù)的體流量的速度，即已知，也就是已知其中一個(gè)變化率，求另外一個(gè)變化率，顯然這就是一個(gè)相關(guān)變化率問題。

因此，找到變量和之間的關(guān)系式就是這個(gè)問題的關(guān)鍵，而這個(gè)關(guān)鍵問題的突破點(diǎn)則是水庫(kù)的形狀。

四、案例求解

設(shè)水庫(kù)水流量為立方米，水深為米，顯然它們都是時(shí)間的函數(shù)。現(xiàn)在我們的關(guān)鍵問題是要尋求和之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系顯然隱藏在水庫(kù)的形狀中。

已知水庫(kù)是長(zhǎng)、頂角的水槽狀，我們對(duì)水庫(kù)的形狀進(jìn)行抽象化，就相當(dāng)于一個(gè)平放的三棱柱（如圖2）。

水庫(kù)的水流量V即為三棱柱的體積，而三棱柱的體積等于底面積*高。三棱柱的高看作是水庫(kù)的長(zhǎng)。三棱柱的底面是一個(gè)頂角為的等腰三角形（如圖3），這個(gè)三角形的高就是水庫(kù)的水深，這樣，很容易計(jì)算出三角形的面積。因此，三棱柱的體積，

將等式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)（注意運(yùn)用復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則），得到相關(guān)變化率和之間的關(guān)系，

將代入上式

計(jì)算得到，

即水深的時(shí)候，水位每小時(shí)大約上升米。

如果已知水庫(kù)的警戒線的位置，我們就可以計(jì)算出水位到達(dá)警戒線所需的時(shí)間。這樣，在抗洪搶險(xiǎn)的時(shí)候，搶險(xiǎn)人員就可以在有限的時(shí)間內(nèi)采取有效的措施去避免或減輕險(xiǎn)情的發(fā)生。

五、鞏固拓展

問題1：對(duì)一圓形的氣球充氣，氣球的體積和半徑都隨著時(shí)間增加，若測(cè)得氣球體積增加的速度為，求當(dāng)氣球半徑為的時(shí)候，半徑增加的速度。

由于氣球的體積和半徑都是時(shí)間的函數(shù)，現(xiàn)在已知體積增加的速度，求半徑增加的速度，顯然這就是一個(gè)典型的相關(guān)變化率問題，重點(diǎn)就是找到體積和半徑的關(guān)系。

設(shè)氣球的體積為，半徑為，則和都是時(shí)間的函數(shù)。

因?yàn)闅馇虻男螤钍菆A形的，則體積 ，

等式兩端對(duì)求導(dǎo)，得

代入已知數(shù)據(jù)，，計(jì)算得到。

即求當(dāng)氣球半徑為的時(shí)候，半徑每秒大約增加的1.6m。

問題2：

等邊三角形的高隨時(shí)間而變化， ，其變化率為， 求當(dāng)高為8厘米時(shí)，其面積的改變率。

解： 問題中涉及兩個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，表示等邊三角形的面積， 表示等邊三角形的高。易知它們之間有關(guān)系式

等式兩邊對(duì)求導(dǎo)， 得

代入已知數(shù)據(jù)，，

計(jì)算可得面積的改變率

即求當(dāng)高為 8厘米時(shí)，其面積的改變率為。

結(jié)語

這幾個(gè)案例都是我們生活中的相關(guān)變化率問題，求解問題的方法、過程都非常相似。通過這兩個(gè)案例，我們可以總結(jié)出求解實(shí)際問題的一般步驟：首先，要用數(shù)學(xué)的語言、數(shù)學(xué)表達(dá)式將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，尋求數(shù)學(xué)方法；（2）研究變量之間的函數(shù)關(guān)系式，建立數(shù)學(xué)模型；（3）確定計(jì)算方法，求解模型；最后，成功解決問題。

求解相關(guān)變化率問題，主要是通過復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，利用已知的某變量的變化率得出所要求解的某變量的變化率，其關(guān)鍵是要建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式。也可以說，相關(guān)變化率問題就是建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型問題。

通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)知識(shí)求解的數(shù)學(xué)問題，既可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方法分析、解決實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M.4版.北京：高等教育出版社，

2007：110.

[2]龐栓琴.求解相關(guān)變化率的問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，1999（3）：22-23.

[3]尹海東.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].2版.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2012：82.

作者簡(jiǎn)介

馬祥玉（1981.03—）漢族，女，四川宜賓，碩士研究生，講師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。