矩陣位移法與有限位移元法的聯(lián)系與區(qū)別

趙勇 張建棟 陳昌裕

【摘 要】隨著計算機技術(shù)進入工程領(lǐng)域，“電算”逐漸受到人們的重視。作為“電算”的工具，矩陣位移法和有限單元法在工程應(yīng)用中具有重要地位，本文從多方面多角度對矩陣位移法和有限位移元法進行了分析與討論，總結(jié)了兩者的聯(lián)系與區(qū)別，對于建筑工程領(lǐng)域的初學(xué)者具有一定的指導(dǎo)作用。

【關(guān)鍵詞】矩陣位移法；有限單元法；有限元分析；結(jié)構(gòu)分析

作為有限單元法的雛形，結(jié)構(gòu)力學(xué)的結(jié)構(gòu)矩陣分析方法與彈性力學(xué)的有限單元法都是隨著計算機的發(fā)展而逐漸受到重視的方法。以結(jié)點位移作為基本未知量，與結(jié)構(gòu)矩陣分析方法對應(yīng)的有矩陣位移法，相同地，與有限單元法對應(yīng)的是有限位移元法。以位移為基本未知量求解問題具有系統(tǒng)性、規(guī)律性強的特點，符合“電算”的特點，因此矩陣位移法和有限位移元法在求解實際問題的過程中應(yīng)用最為廣泛。

下面通過對比，分析矩陣位移法和有限位移元的聯(lián)系與區(qū)別。

1 矩陣位移法和有限位移元的聯(lián)系

1.1基本原理的相似

矩陣位移法和有限位移元法都是通過結(jié)構(gòu)的離散化，將復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算轉(zhuǎn)化為簡單單元的分析和集合問題。

1.2分析過程的相似

矩陣位移法和有限位移元法都是先進行結(jié)構(gòu)離散化，然后進行單元分析，最后進行整體分析。

具體地，兩種方法都是應(yīng)用矩陣運算，得到平衡方程（1）

（1）

因為所需要解答的不同，在通過平衡方程得到結(jié)點位移列陣 后，在結(jié)構(gòu)力學(xué)的解答要求通過方程（2）得到結(jié)點力

（2）

而在有限位移元的解答要求通過方程（3）得到應(yīng)力

（3）

其中 為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣

2 矩陣位移法和有限位移元的區(qū)別

2.1研究對象

結(jié)構(gòu)力學(xué)的矩陣位移法主要針對平面簡單桿系進行結(jié)構(gòu)分析，如剛架、連續(xù)梁、桁架等等，研究對象較為單一，而彈性力學(xué)的研究對象可以是具有各種邊界條件的彈性體，不僅可以解決線彈性問題，而且可以有效處理材料、幾何非線性問題和非線性邊界等問題，因而具有極高的靈活性與通用性。

2.2 基本研究單元

矩陣位移法的基本單元是通過結(jié)點分解形成的單個桿件，相比之下，有限單元法的基本單元更加靈活，可以是三角形單元、矩形單元或任意四邊形單元，單元的結(jié)點也可以靈活設(shè)置，可以通過控制基本單元的形式和大小來調(diào)控解答的精度。

2.3 勁度矩陣

有限單元法的各結(jié)點通過鉸連接，需要注意的是，當(dāng)有限單元法中采用三結(jié)點三角形單元時，對應(yīng)的勁度矩陣為六階方陣，在矩陣位移法中的勁度矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中常稱為剛度矩陣）也為六階方陣，但其性質(zhì)是不同的。在有限單元法中的六階勁度矩陣是因為每個結(jié)點有兩個結(jié)點線位移，總共有六個結(jié)點位移，即

因此勁度矩陣為六階；而在矩陣位移法中，每個桿件單元有兩個結(jié)點，每個結(jié)點分別有兩個線位移和一個角位移，總共也是六個結(jié)點位移，即

反映到勁度矩陣中也為六階。

2.4 解答的精度

矩陣位移法的解答是依據(jù)線彈性理論求得的數(shù)學(xué)解析解，只要結(jié)構(gòu)的約束條件和外力是確定的，其解答便是唯一的精確解。有限位移元法的解答是將原結(jié)構(gòu)離散化、數(shù)值化，對非結(jié)點求解域進行插值，依據(jù)數(shù)值計算方法而求得的解，這些解既有原結(jié)構(gòu)離散化、數(shù)值化過程中的舍入誤差，也有插值產(chǎn)生的誤差，所以為近似解，但是有限位移元的解答可以通過增加網(wǎng)格密度，改善單元形狀，盡量使用高階插值型單元以及計算時盡量使用雙精度迭代等方法，使之無限逼近精確解的數(shù)值解。

2.5 解答范圍

矩陣位移法本質(zhì)上就是把位移法用矩陣形式表示，屬于結(jié)構(gòu)力學(xué)的范疇，結(jié)構(gòu)力學(xué)只研究桿件結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，而不涉及應(yīng)力、應(yīng)變分析，因此當(dāng)一個桿件單元兩端的受力情況明確以后，加之直接作用在桿件內(nèi)側(cè)的外力條件，運用靜力平衡即可得到每個截面的內(nèi)力情況，即得到結(jié)構(gòu)力學(xué)范疇的解。相對地，彈性力學(xué)要求分析結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變情況，且研究對象是各種形狀的彈性體，除桿件外，還有各種平面體、空間體、平板和殼體等，通過有限位移元方法求得每個單元的結(jié)點位移后，必須通過某一個位移模式表示出單元中任一點的位移，再借助彈性力學(xué)的幾何方程和物理方程求得應(yīng)變、應(yīng)力。

3 結(jié)語

矩陣位移法是有限位移元法的雛形，其原理和分析過程基本一致，對于初學(xué)者，可以將矩陣位移法與有限位移元法一起學(xué)習(xí)，根據(jù)矩陣位移法理解單元剛度矩陣、整體剛度矩陣、邊界條件處理技巧等。

參考文獻：

[1] 文國治，李正良. 結(jié)構(gòu)分析中的有限元法[M]. 武漢理工大學(xué)出版社，2010.

[2] 袁駟. 從矩陣位移法看有限元應(yīng)力精度的損失與恢復(fù)[J]. 力學(xué)與實踐，1998，20（4）：1-6.

[3] 杜平安. 有限元網(wǎng)格劃分的基本原則[J]. 機械設(shè)計與制造，2000（1）：34-36.

（作者單位：青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院）