問題驅(qū)動(dòng) 深度參與 落實(shí)素養(yǎng)
——以“二次函數(shù)應(yīng)用”教學(xué)片段為例

? 江蘇省儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 余葉軍 夏玉榮

近日,筆者在參加全市鄉(xiāng)村共同體數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中,聽了一節(jié)鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的初三數(shù)學(xué)課,課題是“二次函數(shù)的應(yīng)用”.課后,筆者進(jìn)行了師生訪談交流,并對學(xué)生進(jìn)行了檢測分析,交流結(jié)果與分析數(shù)據(jù)引發(fā)了筆者對本節(jié)課一個(gè)教學(xué)片段的思考.

1 教學(xué)實(shí)錄片段

教者出示題目:某公司銷售一批產(chǎn)品,該產(chǎn)品每件成本是40元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x(單位:元)與產(chǎn)品的日銷售量y(單位:件)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如表1.

表1

(1)求日銷售量y與單件售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為多少元,當(dāng)天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?

(3)若售價(jià)為50元/件時(shí),每天能賣出500件.商場想采用提高售價(jià)的方法來增加利潤.已知這種商品每件漲價(jià)1元,銷量就減少10件,為當(dāng)天獲取的利潤不少于8 000元,應(yīng)怎樣定價(jià)?

師:這是一道常見的二次函數(shù)的應(yīng)用問題,現(xiàn)在請一個(gè)同學(xué)來展示一下第(1)問.

生1:設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法將點(diǎn)(45,25)和(50,20)代入,解得k=-1,b=70,所以一次函數(shù)解析式為y=-x+70.

師:很好,再請一個(gè)同學(xué)來展示一下第(2)問.

生2:因?yàn)槊考a(chǎn)品的利潤為(x-40)元,日銷售量為(-x+70)件,設(shè)總利潤為z元,所以可得z=(x-40)(-x+70),再利用配方法可以求出結(jié)果.

師:很好,同學(xué)們非常快速地解決了前面兩個(gè)小問.下面請大家思考一下第(3)問,先獨(dú)立思考,再互相交流一下(學(xué)生思考幾分鐘時(shí)間).

生3:設(shè)每件漲價(jià)x元,則售價(jià)為(50+x)元/件.設(shè)總利潤為z元,則z=(50+x-40)(500-10x).因?yàn)楫?dāng)天獲取的利潤不少于8 000元,所以可以得到(50+x-40)(500-10x)≥8 000.不等式我不會(huì)解了.

師:將z=(50+x-40)(500-10x)配方,可得y=-10(x-20)2+9 000.又z≥8 000,這個(gè)不等式的解法估計(jì)大部分同學(xué)想不到.究竟怎么解決呢?請大家看投影展示.

由圖1可知,當(dāng)10≤x≤30時(shí),8 000≤y≤9 000,所以單件產(chǎn)品定價(jià)為60元至80元時(shí),日利潤不少于8 000元.

圖1

然后,教者開始講授其他新課內(nèi)容了．

2 課后師生交流,檢測反饋分析

這道例題的教學(xué),看似讓學(xué)生理解了解法,也充分展示和暴露了學(xué)生的思維過程,但這樣的講法只是徒有其表,尤其是第(3)問的講解只是教師展示了答案,并強(qiáng)調(diào)了注意點(diǎn),真正留給學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思想寥寥無幾.教者依然沒有擺脫題海思維,這樣的例題教學(xué)收效甚微.筆者以為這道數(shù)形結(jié)合題的教學(xué)不太成功,教師沒有深入研究問題,沒有將問題的本質(zhì)充分展示給學(xué)生.這道習(xí)題教學(xué)的意義是什么?學(xué)生的典型錯(cuò)誤在哪里?借助這次講評,學(xué)生有沒有理解數(shù)形結(jié)合的意義?為此,筆者課后與師生進(jìn)行了充分交流,并重新設(shè)計(jì)了兩道測試題用來檢測數(shù)形結(jié)合教學(xué)的質(zhì)效.

2.1 課后與教師的互動(dòng)交流

筆者:您選擇這道題目的目的是什么?

教者:因?yàn)檫@種題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn),屬于二次函數(shù)應(yīng)用的熱點(diǎn),很典型,而且學(xué)生做這類題也有難度,整體的達(dá)成度不高.

筆者:您講評這道習(xí)題的側(cè)重點(diǎn)在哪?

教者:因?yàn)檫@道題前兩問學(xué)生能解決．但第(3)問很多學(xué)生做不出來,我主要講第(3)問,用數(shù)形結(jié)合方法解決實(shí)際問題.

筆者:您認(rèn)為前兩問學(xué)生的達(dá)成度有多少?

教者:前兩問比較簡單,我沒有具體統(tǒng)計(jì),學(xué)生的準(zhǔn)確性應(yīng)該還可以吧.

筆者:您認(rèn)為第(3)問的講解學(xué)生聽懂了多少?

教者:我已經(jīng)讓學(xué)生回答,學(xué)生沒答出,因?yàn)閿?shù)形結(jié)合對于學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn),學(xué)生都是用不等式來解決,而初中階段一元二次不等式學(xué)生沒辦法解決,所以給學(xué)生展示了比較完整的解答過程,同時(shí)也進(jìn)行了強(qiáng)調(diào),應(yīng)該收到了良好的效果.

2.2 課后與部分學(xué)生的交流

筆者:這種題型平時(shí)遇到的多嗎?

學(xué)生(眾人):經(jīng)常遇到.

筆者:對于這道題,你們都能聽懂嗎?假如現(xiàn)在再面臨同樣的問題,能熟練求解嗎?

學(xué)生1:前面兩問聽懂了,但是第(3)問的解法不是太明確,以后我再遇到估計(jì)做對的把握不大．

筆者:第(2)問的結(jié)果老師沒有呈現(xiàn),你們算出來了嗎?

學(xué)生(眾人):我也不知道對不對,老師說配方,我用的是公式法.

筆者:第(3)問老師不是已經(jīng)完整地展示了解題過程嗎?怎么還會(huì)有疑問呢?

學(xué)生3:我首先想到的是運(yùn)用不等式的知識(shí)來解決問題,至于后面老師為什么要畫圖象,怎么會(huì)想到畫圖象,圖象畫出來怎么用,我還是比較費(fèi)解的.

筆者:你覺得老師設(shè)置的這幾個(gè)問題,關(guān)聯(lián)性與層次性是否明顯?

學(xué)生4:我覺得這三個(gè)問題有一定的關(guān)聯(lián)性,但層次不明顯,之間的跨度有點(diǎn)大,結(jié)構(gòu)不是太合理.

2.3 測試情況及統(tǒng)計(jì)分析

是否如老師所言,對于類似的問題學(xué)生能夠熟練求解?如果給出類似的習(xí)題,學(xué)生還能解決嗎?為此,筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題用以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,問題如下:

(1)如圖2,已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)與一次函數(shù)y2=kx+m(k≠0)的圖象相交于點(diǎn)A(-2,4)和B(8,2),則能使y1>y2成立的x的取值范圍為______.

圖2

(2)(2016·揚(yáng)州)某電商銷售一款夏季時(shí)裝,進(jìn)價(jià)40元/件,售價(jià)110元/件,每天銷售20件,每銷售一件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用a元(a>0)．未來30天,這款時(shí)裝將開展“每天降價(jià)1元”的促銷活動(dòng),即從第1天起每天的單價(jià)均比前一天降1元．通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),該時(shí)裝單價(jià)每降1元,每天銷量增加4件．在這30天內(nèi),要使每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后的利潤隨天數(shù)t(t為正整數(shù))的增大而增大,a的取值范圍應(yīng)為______.

兩道檢測題的統(tǒng)計(jì)分析見表2.

表2

雖然是鄉(xiāng)村薄弱學(xué)校,但是通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn),學(xué)生檢測的結(jié)果也太差了,班級36人參加測試,兩題全對的只有1人．由此說明,通過這個(gè)例題的教學(xué),學(xué)生并沒有真正領(lǐng)悟到如何看圖象,遇到實(shí)際問題還不能夠借助函數(shù)圖象靈活解決問題．

3 教學(xué)思考

(1)關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn),讓學(xué)生在問題中感悟?qū)W習(xí)

學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ),當(dāng)我們遵循這樣的本質(zhì)規(guī)律,那么新知識(shí)的生長點(diǎn)也就具備了,學(xué)生就會(huì)在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,通過教師有效的問題對后續(xù)的學(xué)習(xí)有所感悟.在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)抓住這一本質(zhì),搭建新舊知識(shí)之間的橋梁,借助開啟學(xué)生思維的問題,幫助學(xué)生復(fù)習(xí)已有知識(shí),鋪墊好新學(xué)知識(shí).

(2)關(guān)注學(xué)生的能力,讓學(xué)生在問題中探究學(xué)習(xí)

問題是開啟學(xué)生思維的鑰匙,在關(guān)注學(xué)生能力的同時(shí),教師要設(shè)置有層次性、遞進(jìn)性的問題,由淺入深,由表及里,層層深入,引導(dǎo)學(xué)生抽絲剝繭,使得他們的思維在探究中步步深入,體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣.

(3)關(guān)注課堂的輻射,讓學(xué)生在問題中創(chuàng)新學(xué)習(xí)

一節(jié)課給學(xué)生留下的不僅是知識(shí),更重要的是思想方法.數(shù)學(xué)課堂上,教師要通過數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模,提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng).在實(shí)際操作中訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,讓數(shù)學(xué)即生活的價(jià)值在腦海中自然流淌.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:會(huì)用坐標(biāo)表達(dá)圖形的變化、簡單圖形的性質(zhì),感悟通過幾何建立直觀、通過代數(shù)得到數(shù)學(xué)表達(dá)的過程.在這樣的過程中,感悟數(shù)形結(jié)合思想,會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題.可見,感悟數(shù)形結(jié)合思想,會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題是新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求.為此,教師要通過具體現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從幾何的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,進(jìn)而學(xué)會(huì)用幾何直觀和邏輯推理思想去解決問題,切實(shí)實(shí)現(xiàn)利用問題驅(qū)動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生深度參與課堂,進(jìn)而提升核心素養(yǎng)的培養(yǎng).