數形結合思想在反比例函數解題中的應用

? 江蘇省太倉市高新區中學 周 怡

實踐表明,利用數形結合思想解答反比例函數習題可使學生透過現象看本質,避免在解題中走彎路.因此,在反比例函數解題教學中,應將數學思想尤其數形結合思想納入教學的重點,并有效穿插至數學知識的傳授中.同時,明確運用數形結合思想解答反比例函數習題的相關細節,尤其需要注意的是,運用數形結合思想解題的關鍵在于合理構造圖形,靈活應用所構造圖形、反比例函數圖象的相關性質,厘清坐標與線段、線段與角度之間的邏輯關系,通過謹慎的計算得出結果.

1 解答反比例函數與直線問題

圖1

A.-6 B.-5 C.5 D.6

解：由A(a,1),B(-2,b)均在函數y=x+5的圖象上,得a+5=1,-2+5=b,解得a=-4,b=3,則A(-4,1),B(-2,3).

故選答案:B.

點評：該題能很好地考查學生的抽象能力,增強學生運用數形結合思想解題的意識.解題時需根據函數圖象經過的已知點求出A,B兩點的具體坐標.通過觀察函數圖象,合理抽象出“數”與“形”的關系,構造出對應不等式,計算得出結果[1].

2 解答反比例函數與三角形問題

圖2

過點A,B分別向x軸作垂線,垂足分別為E,F,如圖3.

圖3

于是∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°,

∠FBO+∠BOF=90°,

∠AOE+∠BOF=90°.

所以∠FBO=∠AOE.

因此,△BFO∽△OEA,則有

點評：該題考查的知識點較多,難度中等.破題的關鍵在于構造出直角三角形,借助數形結合思想,明確對應角度的相等關系,以證明三角形相似.利用三角形相似時面積與線段的關系,構建已知與未知參數之間的關系.同時,從圖形視角分析反比例函數中的k值和對應三角形面積的內在聯系,構建“數”與“形”之間的內在邏輯關系,便可達到順利解題的目的[2].

3 解答反比例函數與圓相關的問題

圖4

解：如圖5,作△ABD的外接圓J,和OC交于點P,連接AP,PB.由圓的性質,可得∠APB=∠ADB.

圖5

由OC⊥AB,且AC=BC,可得直線OC垂直平分線段AB.

由反比例函數圖象的對稱性可知,直線OC的表達式為y=x,易得A(1,3),C(2,2).

由CD垂直于x軸,可知D(2,0).

又AD2=(1-2)2+(3-0)2=10,AB2=(3-1)2+(1-3)2=8,BD2=(3-2)2+(1-0)2=2,所以AB2+BD2=AD2.

所以△ABD為直角三角形,且∠ABD=90°.

點評：該題綜合性較強,難度較大,考查的知識有反比例函數、等腰三角形、圓、勾股定理的逆定理以及分類討論等數學思想方法.解答該題不僅需熟練應用所學知識,更要在數形結合思想的指引下,結合對題干條件的深入分析構造正確的圖形,畫出輔助線.其中,充分挖掘隱含條件畫出對應的“圓”,更好地揭示圖形中角度、參數關系是有效破題的關鍵.需要注意的是,運用數形結合思想解題時,考慮應全面,避免遺漏滿足題設條件的情境[3].

4 總結

以數形結合思想為指引解答反比例函數習題可達到事半功倍的效果.為提高運用數形結合思想解答反比例函數的意識與能力,教學時應展示數形結合在解題中的常見形式,包括根據題干中給出的“數”“角度”等畫出對應圖形、圖象,實現“數”與“形”的轉化.將給出的圖象、圖形放置在坐標系中,借助坐標將“形”轉化為“數”.與此同時,結合重點習題講解、專題訓練等多種授課活動,使學生親身感受數形結合思想在解題中的應用過程,體會數形結合思想的重要價值,積累更多的應用技巧,使學生解答反比例函數習題的能力和水平均能得到很好的提升.