淺析高中數學幾何證明中的“偽證”思想

呂銀堂

【摘 要】“偽證”思想是由波普爾在歸納主義批判的基礎上提出的一種思想。在高中數學的幾何證明學習中，“偽證”思想就是一種不按照正常邏輯分析的虛假證明，它可以幫助學生正確理解數學概念，提高學生的邏輯推理能力，鍛煉學生解決問題的能力，引導學生進行思維創新。在高中數學的幾何證明學習中，經常用“偽證”思想去推理命題，證明命題，由此可見“偽證”思想在高中數學幾何證明中十分重要，通過簡要分析其“偽證”思想，以加深學生對“偽證”思想的認識，加強對“偽證”思想的應用。

【關鍵詞】高中數學 幾何證明 “偽證”思想

波普爾在“偽證”思想中強調了三點：第一，科學并不是從觀察事物開始，而是根據事物的問題開始；第二，科學的一些假設是試圖解決各種不同的問題，因此需要“偽證”思想來證明科學的這些假設；第三，將不同的問題進行創新發展才能推動科學的進步。在“偽證”思想中有兩個明顯的特點，一個特點是“偽證”思想可以利用經驗來證明。在科學理念的表達過程中必須要求準確的概念，因此一般情況下用全稱判斷，而一些經驗中就有明顯的答案，卻不能用來證明這些科學理念，但是“偽證”思想卻可以用經驗來證明。另一個特點是“偽證”思想可以證明出一個理論是否正確。在可以發現一些經驗與理論不同的時候，為了使理論符合經驗，經常對理論進行范圍的限定，但這樣的方法缺乏科學性，而在科學理念中可以運用“偽證”思想來證明，“偽證”思想可以證明假設一切理論是正確的，從而發現其間真正正確的理論。“偽證”思想通過大膽的假設來證明事例是正確亦或是錯誤，來解決實際中的難題。

一、高中數學幾何證明中的“偽證”思想的重要性分析

在高中數學幾何證明中，“偽證”思想經常出現，特別是在一些幾何概念證明與幾何定理推理中會經常用到“偽證”思想。而幾何證明僅僅是一種對幾何的一種探究與假設，在探究與假設過程中解決幾何問題，因此需要“偽證”思想來證明幾何問題。在高中數學幾何證明中的“偽證”思想其實就是一種假設思想，在幾何證明過程中，先假設其中的假設結論是正確的，那么可以根據這個正確的結論與其他條件進行推導證明，如果推導是正確的，那么可以證明這個假設結論是正確的。但是，根據“偽證”思想來證明幾何是由一定難度的方法，這要求學生能夠正確理解數學概念，并有較強的邏輯分析能力，不會被“偽證”思想所誤導而得出真正的“偽證”。

在高中數學幾何證明中，“偽證”思想的應用模式通常采取“三段式”，即假設問題結論成立，根據問題結論推導問題，得出結論。但是，在高中數學幾何證明中，并不是所有的幾何問題都可以根據“偽證”思想來得出答案，不能所有的數學幾何證明都能夠被“偽證”思想所證明。“偽證”思想是借用問題結論本身的錯誤，根據這個錯誤來對整個問題進行證明，在證明過程中，通過出現的矛盾來證實問題結論的錯誤，從而否定問題結論，重新求證問題結論。

二、高中數學幾何證明中的“偽證”思想的方法分析

在高中數學幾何證明中，“偽證”思想就是為了發現問題的錯誤，一般情況下通過檢驗問題結果、審查問題的解決過程、考慮問題存在的科學性三個方面來進行“偽證”。在高中數學幾何證明中，“偽證”思想的常用方法主要要三種。

1.反例法

在高中數學幾何證明中，通過對問題的證明做出相反的舉例，以此證明該問題的正確性。如問題一：假設鈍角三角形的三條邊分別是X，X+1，X+2，求X的取值范圍。按照一般的解法，可以假設最大邊為X+2，其對角為A，則A肯定是鈍角。根據余弦定理可以得出cosA=[X2+（X+1）2+（X+2）2]/[2X（X+1）]=（X-3）/2X﹤0，最后得出0﹤X﹤3。但是這種解法是錯誤的，應該從題目入手，假設X=1，則X+1=2，X+2=3，，但是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，而題目沒有滿足這個條件，因此此題無解。

2.舉例法

在問題解答中，通過問題本身的科學性，以反證舉例來證明其錯誤存在。如問題二：假設X1，X2是方程X2-（sin（π/5））X+cos（π/5）=0的根，求arctgx1 +arctgx2的值。

按照一般的解法，通過tg（arctgx1+arctgx2）=（X1+X2）/（1-X1X2）= tg（2π）/5。由X1+X2=sinπ/5，X1X2=cosπ/5，可以得出X1﹥0，X2﹥0.所以0﹤arctgx1﹤π/2，0﹤arctgx2﹤π/2，arctgx1+arctgx2=（2π）/5。但是這沒有考慮問題本身的科學性。事實上，根據△=（sin（π/5））2-4cos（π/5）=-（cos（π/5）+2）2+5﹤0，可以了解到此方程無實根，也即是說X1，X2是虛數，從而得出arctgx1 +arctgx2無意義，此題無解。

3.反證法

如果一個問題的解答或證明是偽解或偽證，那么解題的某些環節或問題本身必定有錯誤存在，因而也就有某種矛盾存在.用反證法揭示這樣的矛盾就等于揭露了錯誤，實現了證偽。如問題三：假設A、B都是銳角，而且2/cosB=1/cos（B+A）+1/cos（B-A），求證cos B= cosA/2。在一般解法中，先對2/cosB=1/cos（B+A）+1/cos（B-A）變形，從而得到（1一cosA）cos2B）=1-cos2A，因為A、B都是銳角，所以1一cosA≠0，從而得出cos2 B=1+cosA，也就是cos2B=2 cos2（A/2），所以cos B= cosA/2。從問題的本身入手，用反證法啦證明結論之一cos B= cosA/2不成立。事實上，如果cos B= cosA/2成立，那么cos2 B=1+cosA一定會成立，由于A、B都是銳角，所以cos2 B﹤1，而1+cosA﹥1，所以cos2 B=1+cosA不成立。這說明cos B= cosA/2不成立是因為題目中A、B都是銳角，而且2/cosB=1/cos（B+A）+1/cos（B-A），這是錯誤的，是偽證。

在高中數學幾何證明中，“偽證”思想可以激發學生的創新思想，加強學生對數學幾何概念的認知。“偽證”思想加強學生對學習的理解，使學生加深對數學概念的認識，同樣在證明其他問題時，不能夠存在假性理解的現象，而必須要利用偽證思想來得出準確認知，避免出現認知偏差，影響學習結果。

參考文獻

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