淺談函數的對稱性和周期性

劉飛

函數是高中數學的一個重要板塊，也是高中數學的一個難點。很多同學在高一上學期接觸函數時就感覺非常抽象、難以理解，對函數的一些性質模糊不清，更別說熟練應用了。其中函數的對稱性和周期性在很多同學心中不好識別、不好分辨，對它們的區別與聯系還不能掌握的很清楚，今天我們就重點研究下函數的對稱性和周期性，看看它們兩者之間到底有什么樣的區別與聯系，幫同學們走出迷茫。

我們先看看函數周期性的概念：對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的每一個值時，都有，那么函數就叫做周期函數，非零常數叫做這個函數的周期。函數的周期性常用的結論有如下幾條：

函數的對稱性包含軸對稱和中心對稱兩個方面，在高中數學中的應用也非常廣泛，常常也是高考的一個熱點。其常用的結論有如下幾條：

咋一看，上面的對稱性和周期性的部分結論非常相似，那我們以后拿到一個等式后該如何識別到底是對稱性還是周期性呢？如果是周期性，周期又等于多少呢？如果是對稱性，那到底是軸對稱還是中心對稱呢？對稱軸、對稱中心又該怎么求呢？

其實我們認真分析、對比上面的這一些等式，可以發現一些規律。如果前面的符號相同就是周期性，前面的符號不同就是對稱性;如果是周期性就再看“”前面的符號，相同的話周期就等于括號之差的絕對值，不同的話周期就等于括號之差的絕對值的兩倍;如果是對稱性就再看“”前面的符號，相同的話就是軸對稱，不同的話就是中心對稱，對稱軸的值剛好等于括號之和的一半，對稱中心的橫坐標等于括號之和的一半，縱坐標等于兩個“”之和的一半。

函數的對稱性和周期性按照上面的方法可以輕松識別，快速的算出周期、對稱軸或者對稱中心。其實它們兩者之間也有聯系

上面三個結論闡述了對稱性和周期性之間的聯系，這三個結論我們可以借助三角函數中的正弦曲線來幫忙記憶。

通過這篇文章希望能幫助更多的同學走出函數性質的困惑，能夠對函數的對稱性和周期性了解的更深刻更透徹，并能夠熟練的運用到練習和考試中。