線性代數中的矩陣應用案例分析

鄭婷

摘 要：伴隨著信息技術水平的提高，網絡技術的進步，矩陣的應用也更加深入。同時，文章作者認為有必要更加重視數學線性代數的研究和學習，因其不僅能夠簡化研究，使研究更加合理，而且還有助于拓展思維，增強科學智能，促進數學核心素養的發展。文章重點分析了線性代數中的矩陣應用案例。

關鍵詞：線性代數；矩陣；應用案例

一、線性代數的基本認識

線性代數（Linear Algebra）是數學的一個分支，它的研究對象是向量、向量空間（或稱線性空間）、線性變換和有限維的線性方程組。在高中數學學習中，求解線性方程是重要的知識點，向量則是線性代數中一個最基本的概念。當前，線性代數在數學、物理學和技術學科中都發揮著重要的作用，可見線性代數對于強化知識技能，增益科學智能方面是非常有利的。矩陣是在線性代數中比較具有研究價值且被研究次數最多的一種，矩陣能表現出一種規律，一種利用代數理論知識來表現的數表變化規律，并且經常利用數表來分析得到結論[1]。

二、線性代數中的矩陣應用案例

1.線性方程組與向量

首先，向量是解決線性方程組的一個有力武器。向量是一個在解析幾何和物理中都有的概念，但是在解析幾何和物理中，向量的概念是不一樣的，但利用向量處理線性方程組是非常有用的[2]。線性代數中的向量有兩個要素，一個是大小，另一個是方向。所以兩個向量只要大小和方向一致，那么這兩個向量就是相等的，向量中只有重合沒有平行，不存在相反方向但是相等的向量。因此，向量最基本的運算就是加法和減法兩種。比如，α-β=α+β這個向量的加法，就是將它們的各個分量分別相加。另外，由于向量的加法符合平行四邊形的運算法則。所以運算的時候，可以把向量α 和向量β假設為一個平行四邊形的兩條邊，這樣向量α+β的計算就是那個平行四邊形的對角線，平行四邊形的對角線向量就是α+β所對應的向量。雖然平行四邊形很好進行計算，但是更多的時候我們更習慣于利用三角形來進行計算，利用三角形的計算會更加簡單直觀，而且更加適合于多個向量的計算。利用三角形計算的時候，只需要將各個向量之間首尾連接，第一個向量的開始和最后一個向量的結尾進行連接就是結果。

2.矩陣在解線性方程組中的應用

可以利用矩陣的特點來進行高中線性方程組的求解計算，而且還可以將這個特點進一步應用到方程組中。假設線性方程組生成矩陣形式Ax=b，并根據系數矩陣和增廣矩陣來判斷方程組是否有解。我們需要借助矩陣對方程組進行相應的簡化，這樣能夠降低整個方程組求解的難度。比如，Ax=b的矩陣方程求解時，就需要先判斷系數矩陣和常數矩陣是否有相同的秩，如果相同則可以進一步求解，這個時候也分為兩種情況：當系數矩陣的秩為n，線性方程組會有唯一的解；但是當秩小于n時，那么這個方程組就會有無窮多的解。如果不相同，那么這組方程組就沒有方程解，無法進行解答。

例如，下面這組線性方程組的求解中，方程組的形式為：

X1 -X2 - 3X3 + X4 = 1

X1 - X2 + 2X3 - X4 = 3

4X1 - 4X2 + 3X3 - 2X4 = 6

2X1 - 2X2 - 11X3 + 4X4 = 0

因此，我們可以通過對方程組進行分析，利用矩陣做一個簡單的等量變換處理，進而得到方程組相應的解。但是需要注意的是，有一個特殊情況是如果系數矩陣和增廣矩陣兩者的秩是不相等的，那么這個方程組無解。所以要先弄清楚矩陣行列式，然后將矩陣和線性方程組直接對應起來，再進行推算工作，而且要在推算的時候保證這個推算是正確的，這樣才能得出一個正確的對應關系，才能將復雜的線性方程簡化為一個矩陣向量，然后降低整個方程組的解決難度，順利解決方程組的問題。

綜上所述，近年來，隨著信息科技的不斷發展，社會經濟發展速度越來越快，線性代數也開始在各個學科中被廣泛應用，其中矩陣的應用領域也逐漸變得廣泛。線性代數一直以來都是數學學科學習中的重點和難點，而高中階段的數學學習、線性代數的學習還很簡單。本文主要是對矩陣在線性代數中的應用案例進行探討，以供參考。

參考文獻：

[1]江 蓉，王守中.分塊矩陣在線性代數中的應用及其教學方法探討[J].西南師范大學學報（自然科學版），2017（6）：167-171.

[2]程 茜.線性代數中的矩陣表示[J].高等數學研究，2013（4）：117-119.