非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)輸出跟蹤控制綜述

劉蕾，劉羽千，韓存武

（北方工業(yè)大學(xué)現(xiàn)場(chǎng)總線技術(shù)及自動(dòng)化北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100144）

奇異攝動(dòng)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于航空航天、電力、機(jī)械、流程工業(yè)、剛性機(jī)器人等許多實(shí)際工程領(lǐng)域。該系統(tǒng)的特點(diǎn)是在系統(tǒng)中某些狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)上乘以一個(gè)非常小的攝動(dòng)參數(shù)ε（0＜ε＜＜1），因其同一系統(tǒng)含有多個(gè)（兩個(gè)或兩個(gè)以上）不同數(shù)量級(jí)的時(shí)間尺度，使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化差異太大，以至于按照慢動(dòng)態(tài)的時(shí)間尺度看，快動(dòng)態(tài)的變化幾乎是沒(méi)有任何過(guò)渡過(guò)程的直接跳躍，而按照快動(dòng)態(tài)的時(shí)間尺度看，慢動(dòng)態(tài)幾乎就是一個(gè)恒定不變的過(guò)程，猶如從人類(lèi)社會(huì)的日常時(shí)間尺度去看天空中星座的幾何形狀變遷過(guò)程。這種跨尺度性，決定了所涉及的各類(lèi)控制是一種跨尺度控制，而由此所引出的一些基礎(chǔ)研究問(wèn)題，如建模、優(yōu)化、穩(wěn)定性、魯棒性、方程求解、干擾抑制等，都必須在跨尺度框架下研究。奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的研究是一個(gè)經(jīng)典的課題。近年來(lái)，由于航空航天領(lǐng)域中天空對(duì)接過(guò)程中的姿態(tài)與位置跨尺度特征顯著，以及由于人工智能的興起而引起的智能機(jī)器人的研究熱潮，該問(wèn)題被重新得到重視，學(xué)者們不斷提出新的研究方法，獲得新的研究成果。然而，到目前為止，奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的研究主要集中在穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定和最優(yōu)控制、魯棒控制等方面，而關(guān)于奇異攝動(dòng)系統(tǒng)尤其是非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制研究還很少見(jiàn)。

輸出跟蹤控制就是使系統(tǒng)的輸出通過(guò)控制器盡可能的跟蹤給定參考輸出。常規(guī)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制已經(jīng)有了許多重要成果，并已被廣泛用于機(jī)器人控制、飛行器控制和電機(jī)控制中。但由于奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中存在的快慢跨尺度特性的影響，這些成果不能直接推廣到奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，必須探討一種新的奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制理論和方法。

1 奇異攝動(dòng)系統(tǒng)定義

1972年Wilde和Kokotovic首先提出了奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的相關(guān)概念[1]，并創(chuàng)立了奇異攝動(dòng)系統(tǒng)理論[2]，在國(guó)內(nèi)，許可康于1986年出版了專(zhuān)著詳細(xì)論述了奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的一些基礎(chǔ)理論[3]，1987年Khorasani 等人將研究對(duì)象從線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)推廣到非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)[4]，之后，奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的研究吸引了控制領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者的極大興趣，并取得了大量的研究成果[5-7]。

1.1 線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)

線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

其中，x(t)為狀態(tài)變量，u(t)為輸入變量，y(t)為輸出變量，w(t)為擾動(dòng)；為系統(tǒng)矩陣，B1為輸入矩陣，C為輸出矩陣，為前饋矩陣，D1、D2分別為擾動(dòng)信號(hào)對(duì)狀態(tài)變量及輸出的作用矩陣；為攝動(dòng)矩陣，其定義如下：

對(duì)于系統(tǒng)（1），討論 取值對(duì)系統(tǒng)型別影響如下：

1.2 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)

非線性連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

其中，x(t)為慢狀態(tài)變量，Z(t)為快狀態(tài)變量，U(t)為輸入變量，Y(t)為輸出變量，均為非線性函數(shù)；為攝動(dòng)參數(shù)，

2 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制

由于實(shí)際控制系統(tǒng)都是非線性的，而相對(duì)于線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的研究更加困難，也更加有意義，所以，到目前為止，跟蹤控制一般被廣泛應(yīng)用于電機(jī)中[8]，奇異攝動(dòng)系統(tǒng)輸出跟蹤控制的大部分研究都是針對(duì)非線性系統(tǒng)的。下面對(duì)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述。

2.1 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)輸出跟蹤控制

ALI等針對(duì)遠(yuǎn)程操作的系統(tǒng)，提出了一種基于奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)輸出跟蹤控制方法，該方法考慮了由于遠(yuǎn)程操作引起的系統(tǒng)時(shí)滯，首先應(yīng)用一階的泰勒展開(kāi)來(lái)近似系統(tǒng)中的時(shí)滯，然后應(yīng)用快慢子系統(tǒng)分解的方法，把輸出跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的最優(yōu)控制問(wèn)題[9]；WANG等[10]應(yīng)用逆穩(wěn)定性理論，在假設(shè)系統(tǒng)充分可逆的條件下，提出了一種非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制方法。然而，上述最優(yōu)輸出跟蹤控制方法不能控制存在不確定性的系統(tǒng)。

2.2 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒輸出跟蹤控制

PRISCOLI等[11]提出了一種針對(duì)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中快動(dòng)態(tài)的魯棒跟蹤控制方法，文中假設(shè)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)滿(mǎn)足對(duì)快動(dòng)態(tài)是線性的條件，并且沒(méi)有考慮系統(tǒng)中的不確定性；為了處理系統(tǒng)中的不確定性，CHRISTOFIDES等[12]在假設(shè)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中的快子系統(tǒng)可鎮(zhèn)定而慢子系統(tǒng)可輸入/輸出線性化、并且不確定參數(shù)上界已知的條件下，提出了一種有效的魯棒輸出跟蹤控制方法，該方法只能處理滿(mǎn)足匹配條件的不確定性；DAROOGHEH等[13]基于狀態(tài)估計(jì)，提出了一種非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒輸出跟蹤控制方法；XU等[14]利用動(dòng)態(tài)逆和變參數(shù)方法，提出了一種非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒輸出跟蹤控制方法；HU等[15]提出了一種非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的多目標(biāo)魯棒輸出跟蹤控制方法。然而，上述魯棒輸出跟蹤控制方法只能控制小范圍的不確定性并且不確定性上界已知的系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)中的不確定性與其上界之間的誤差較大時(shí)，上述魯棒輸出跟蹤控制方法具有很大的保守性。

2.3 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的自適應(yīng)輸出跟蹤控制

為了控制具有大范圍不確定性的系統(tǒng)，LIU等[16]提出了一種非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)輸出跟蹤控制方法，并基于奇異攝動(dòng)解耦，將該方法應(yīng)用到了柔性機(jī)械臂的控制。

2.4 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的滑模輸出跟蹤控制

上述的魯棒和自適應(yīng)控制方法雖然都能控制具有不確定性的奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，但要求系統(tǒng)中的不確定性滿(mǎn)足匹配條件。針對(duì)不滿(mǎn)足匹配條件的不確定性，ADHAMI-MIRHOSSEINI等[17]提出了一種基于滑模控制和反推設(shè)計(jì)的魯棒輸出跟蹤方法，在每一個(gè)步驟，設(shè)計(jì)滑模控制器作為下一步的虛擬控制律，然后利用這個(gè)虛擬控制律來(lái)定義下一步的滑模面，因此，該方法可以將非匹配的不確定性看成在虛擬控制律下的匹配不確定性；ZHANG等[18]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制的奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制，并將其應(yīng)用到了柔性裝置的控制；GIL等[19]則將滑模輸出跟蹤控制應(yīng)用到了電機(jī)控制中。

2.5 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的智能輸出跟蹤控制

上述非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制方法都依賴(lài)于系統(tǒng)的模型。當(dāng)系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確或難以建立系統(tǒng)模型時(shí)，可以用智能控制的方法，如：模糊輸出跟蹤控制方法[20-24]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出跟蹤控制方法[25-26]，基于迭代學(xué)習(xí)的輸出跟蹤控制方法[27]。

2.6 非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)輸出跟蹤控制的應(yīng)用

到目前為止，非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制已被成功應(yīng)用于機(jī)器人控制[16,18,20,28-29]，電機(jī)控制[19,26,30-31]和飛行器控制[15,32]中。

3 目前研究存在的問(wèn)題

綜上所述，雖然非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制已經(jīng)取得了一些研究成果，但仍存在如下問(wèn)題：

（1）已有研究大都采用快慢子系統(tǒng)分解或極限理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化近似處理，而沒(méi)有真正從全局的角度深入討論單一/多個(gè)攝動(dòng)參數(shù)下，跨尺度因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

（2）已有研究大都沒(méi)有考慮時(shí)滯的影響，尤其是時(shí)變時(shí)滯的影響。而時(shí)滯廣泛存在于控制系統(tǒng)中，它將降低控制系統(tǒng)的性能，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，所以必須考慮。

（3）多目標(biāo)控制問(wèn)題還幾乎沒(méi)有研究。實(shí)際上，大多數(shù)控制系統(tǒng)都存在多目標(biāo)控制問(wèn)題，尤其是系統(tǒng)中的多個(gè)目標(biāo)相互沖突的時(shí)候，必須找到一種優(yōu)化的方法。

4 未來(lái)的可能研究方向

通過(guò)上述國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析，針對(duì)目前研究存在的問(wèn)題，未來(lái)將從以下幾個(gè)方面進(jìn)行深入研究。

（1）采用一體化設(shè)計(jì)思路而不進(jìn)行快慢子系統(tǒng)分解，研究非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問(wèn)題；

（2）研究具有時(shí)變時(shí)滯的非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問(wèn)題；

（3）研究非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的多目標(biāo)輸出跟蹤控制問(wèn)題。

5 結(jié)論

針對(duì)非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，本文對(duì)近幾年的輸出跟蹤控制方法進(jìn)行了綜述，分析了已有方法的原理、優(yōu)勢(shì)和存在問(wèn)題，并指出了未來(lái)可能的研究方向。本文將對(duì)從事該領(lǐng)域的研究人員具有一定的導(dǎo)向與引領(lǐng)作用。