有限元法的變分原理及其在土石壩設計中的應用

鄒戰軍 楊望

【摘要】有限元法是采用直接法計算變分問題的重要方法，在土木工程計算領域的分析軟件如ANSYS、Workbench、Autobank等均以變分法為理論基礎。本文將就有限元法的變分原理作一簡單梳理，并采用Autobank軟件建模分析某土石壩的滲流場及應力變形，計算結果表明大壩應力變形符合工程實際，計算分析對大壩設計工作起到了指導作用。

【關鍵詞】有限元；變分法；Autobank；土石壩設計；應力變形分析

引言

隨著壩工技術的發展，土石壩建設高度越來越高，其應力和變形計算越來越關系到大壩安全。因此，結構計算分析將會在土石壩的設計和科學研究中發揮越來越重要的作用。

有限元法的理論基礎為變分法，變分法歷史悠久，是近代發展起來的一門重要數學分支，在工程技術及科學研究中有著廣泛的應用。變分法起源于泛函的極值問題，其關鍵定理是歐拉-拉格朗日方程。

Autobank軟件應力變形分析模塊是以變分法為理論基礎開發的一款有限元分析軟件，提供線彈性模型、非線性模型（如鄧肯E-B、E-μ模型）等，在水利工程設計中有著廣泛的應用。

1、有限元法簡介

目前在水利工程結構分析領域常用的數值計算方法有：有限差分法FDM、有限元法FEM、邊界元法BEM、離散元法DEM等，其中有限元法是應用最廣泛的方法。

有限元法是以變分原理為基礎發展起來的，是一種高效的數值計算方法。工程計算和科學研究領域，常常需要求解各類常微分方程（組）、偏微分方程（組），而許多微分方程（組）的解析解很難得到，甚至無法求出。使用有限元法將微分方程離散化后，編制計算機程序輔助求解，是一種可行且高效的方法。

2、有限元法的變分原理

2.1 泛函及其極值

設有泛函的極值問題：

研究泛函在某函數類中的極值問題即變分問題，例如最小曲面問題、懸鏈線問題、邊坡穩定最小安全系數的滑弧問題、重力壩的最優斷面問題等。研究泛函極值的方法即變分法。直接法是求解泛函極值的近似方法，對于無法求解解析解的變分問題及工程計算，有著及其重要的作用。

2.2 變分方法

2.2.1、 Rits法

Rits法是變分問題直接解法中最重要的一種，其求解過程為：

2.2.2、 伽遼金法

伽遼金法屬于加權余量法的一種，加權余量法求解微分方程的邊值問題并不需要求得問題對應的泛函，使得應用范圍得以擴大。其基本原理如下：

1）當選擇基函數，使un滿足邊界條件式（2.2-3）時，問題轉化為求解式（2.2-4），稱為內部法，對應的有限元法稱為內部元法。

2）當選擇基函數，使un滿足算子方程式（2.2-2）時，問題轉化為求解式（2.2-5），稱為邊界法，對應的有限元法稱為邊界元法。

3）當un既不滿足邊界條件式（2.2-3）時，也不滿足算子方程式（2.2-2）時，稱為混合法，對應的有限元法稱為混合元法。

在內部法中，當令權函數Wsi=時，即為伽遼金法。

2.2.3、 有限元法

設有邊值問題：

3、設計案例—土石壩應力變形分析

3.1 工程概況

龍王殿水庫位于杭州市臨安區，樞紐由擋水大壩、溢洪道、放水設施等組成。

水庫大壩為粘土心墻土石壩，壩頂長100m，壩頂高程200.70～200.90m，最大壩高25.50m。迎水面高程186.50m以上壩坡坡度為1：2，以下壩坡坡度為1：2.26；背水面壩坡坡度為1：2，在高程177.50m處設置排水棱體。大壩采用心墻加黏土套井防滲。

3.2 Autobank軟件簡介

Autobank是特別適用于土石壩及邊坡分析的一款軟件，包含：建模模塊、滲流分析模塊、穩定分析模塊、應力變形分析模塊等。

應力變形分析模塊采用有限元法計算土石壩、重力壩、邊坡及其他類型建筑物的應力、位移等物理量隨空間、時間的變化。

3.3 本構模型

目前土石壩工程上應用非線性模型，鄧肯-張（E-μ及E-B）模型是常用的非線性模型，本文采用E-B模型進行結構分析。E-B模型相對于E-μ模型，計算結果更接近于工程實際情況。

3.4 建模及網格劃分

本文采用Autobank分析軟件計算壩體的應力變形。采用相對高程，設壩體上游面建基面高程為0.00m。

在分析結果的影響因素中，網格劃分的影響是非常顯著的。選取適當的網格劃分方式及網格大小，既可以節省計算時間，又可以使計算精度在可接受范圍內。本文采用三角形網格劃分單元，自適應網格。壩體及壩基共劃分為4993個單元，2649個節點。網格劃分結果如下：

3.5 求解及后處理

網格劃分完成后應用滲流分析模塊求得單元的水頭、水壓、水力坡降等物理量。求得土石壩的浸潤線位置，作為應力變形分析的輸入。

應力變形成果在滲流場計算成果之后取得，從計算結果可以看到，x方向位移偏向下游，壩體應力變形符合規律。

本文的重點在于有限元分析的原理及土石壩應力變形分析的計算流程，有關設計參數的取得尚需試驗的進一步工作。

壩體應力變形計算結果如下：

4、成果分析

壩體的滲流計算成果作為應力變形分析的輸入，發揮著十分重要的作用，因此，上下游水位邊界條件的精度，影響著應力變形分析的結果。

從本文的計算結果可以看出，壩體材料參數對計算結果有著比較大的影響，材料參數的具體數值尚需進一步研究，以提高計算結果精度。

5、結語

隨著壩工技術的發展，土石壩高度越來越高，其應力和變形計算精度要求越來越高，越來越關系到大壩安全。傳統的分層總和法計算壩體沉降，適合于中小型土石壩的計算，對于高壩來說，采用有限元分析計算其應力和變形是十分必要的。

《碾壓式土石壩設計規范》規定：1、2級高壩及建于復雜和軟弱地基上的壩應采用有限元計算壩體及壩基或其他相銜接的建筑物在土體自重及其他外荷載作用下和各種不同工作條件下的應力變形。因此有限元計算分析將會在土石壩的設計和科學研究中發揮越來越重要的作用。

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