基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解方法研究

華北理工大學(xué) 王 猛

信號(hào)的分解質(zhì)量直接影響著信號(hào)的時(shí)頻分析，目前已有的信號(hào)分解方法都是按照信號(hào)頻率由高到低進(jìn)行分解。本文提出一種基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分層和提取方法，按照信號(hào)頻率由低到高，逐層實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。這種處理方法為自適應(yīng)分解方法提供了新的思路，對(duì)分解出的趨勢(shì)分量采用希爾伯特變換進(jìn)行相應(yīng)的時(shí)頻分析，求得瞬時(shí)頻率等參數(shù)，繪制信號(hào)的時(shí)頻譜圖，并對(duì)分解過(guò)程中的端點(diǎn)效應(yīng)進(jìn)行了分析，完善了分解過(guò)程。

1.前言

信號(hào)是信息的載體，現(xiàn)實(shí)物理世界中，我們所接觸到的信號(hào)的頻率和幅度每時(shí)每刻都在發(fā)生變化。通常情況下，在同一時(shí)刻,信號(hào)包含了多個(gè)頻率分量，這樣的信號(hào)被稱為多分量信號(hào),如光譜信號(hào)、生物電信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)等[1]。在對(duì)這樣的信號(hào)進(jìn)行分析處理時(shí)，頻率參數(shù)精準(zhǔn)方法的確定就顯得格外重要。

傅里葉變換（FourierTransform）是最早提出的信號(hào)變換域處理方法，它能夠反映信號(hào)在頻域中的特點(diǎn)。通過(guò)傅里葉變換，我們可以獲知信號(hào)的頻域信息[2,3]。然而，絕大部分信號(hào)的頻率都是隨時(shí)間變換的。傅里葉變換是一個(gè)全局變換，它反映信號(hào)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的頻域特征，并不具備信號(hào)局部分析能力，不能得到信號(hào)的時(shí)變信息。因此，傅里葉變換只適合于時(shí)不變信號(hào)。

時(shí)頻分析方法，可以直觀展示信號(hào)的瞬時(shí)幅度和瞬時(shí)頻率[4,5]。時(shí)頻分析法將時(shí)域中信號(hào)的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)變到時(shí)-頻平面上，可以對(duì)信號(hào)的時(shí)變特征進(jìn)行分析。在時(shí)頻分析中，采用瞬時(shí)頻率與傅里葉頻率相對(duì)應(yīng)，瞬時(shí)頻率是信號(hào)頻率在時(shí)間上的瞬時(shí)體現(xiàn)，是信號(hào)在該時(shí)刻下所具有的頻率值。

當(dāng)每一時(shí)刻的頻率值具有唯一單值時(shí)，信號(hào)被稱為單分量信號(hào)[6,7]。相比多分量信號(hào)，單分量信號(hào)不存在信號(hào)頻率的混合項(xiàng)，單分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率才有確定的意義。因此，在進(jìn)行信號(hào)的時(shí)頻分析時(shí)，基本方法是對(duì)待分析信號(hào)進(jìn)行分解，再對(duì)分解出來(lái)的子信號(hào)進(jìn)行分析。

如小波變換（Wavelet Transform），小波變換是分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)最成功的工具。Mallat所引入的小波多分辨率分析[8,9]可以按需要實(shí)現(xiàn)信號(hào)的子帶分解。目前，小波變換已在各個(gè)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用，但是，小波變換也有不足：小波分解同樣屬于一種局部的信號(hào)分解方法，通過(guò)設(shè)定窗口的不斷平移，達(dá)到分解的目的。在對(duì)信號(hào)實(shí)施小波變換前，小波變換的基函數(shù)需要預(yù)先指定。而基函數(shù)一旦指定，在對(duì)該信號(hào)分析的過(guò)程中間，基函數(shù)保持不變。也就是說(shuō)，基函數(shù)的選擇缺乏自適應(yīng)性。目前絕大部分信號(hào)分解的方法都不是自適應(yīng)的，其基本方法都是選擇一個(gè)基函數(shù)將信號(hào)分解為一系列的簡(jiǎn)單分量。

1998年，Hilbert-Huang變換的提出[10]為非線性信號(hào)的分析與處理開辟了一條新穎的途徑，Huang采用了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition）將一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)分解為一系列簡(jiǎn)單信號(hào)，先得到固有模態(tài)函數(shù)（IMF）[11]，然后對(duì)IMF分量進(jìn)行希爾伯特變換，求得瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，這個(gè)分解過(guò)程也不像小波變換或其他變換那樣預(yù)先選定基函數(shù)，而是取決于信號(hào)本身，因而它是自適應(yīng)的，且是高效的[12,13]。但是經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解過(guò)程中IMF分量之間的正交性是通過(guò)篩分迭代算法近似實(shí)現(xiàn)的，還沒(méi)有得到徹底的解決方案和完整的理論解釋，從而不可避免的導(dǎo)致能量的混疊和頻率的交疊。

同時(shí)現(xiàn)有的基于HHT思想的信號(hào)分解方法都是按照頻率從高到低[14,15]，依次將高頻信號(hào)分量分解出來(lái)。這種分解方式雖然適用性廣，理論成熟，但是在分解過(guò)程中，由于高頻分量的存在，容易對(duì)低頻分量造成影響，誤差大或分解不完全。故本文提出一種基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解的方法，對(duì)信號(hào)的趨勢(shì)進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述，按照頻率由低到高，依次實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解，具有很強(qiáng)的實(shí)用性，同時(shí)對(duì)分解過(guò)程中產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)采用周期延拓的方法進(jìn)行了有效的抑制，完善了整個(gè)分解過(guò)程。

2.基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解方法

2.1 信號(hào)的趨勢(shì)線函數(shù)

定義1：對(duì)于任意給定信號(hào)，由信號(hào)的全部極值點(diǎn)構(gòu)成的上、下包絡(luò)線，可得中心線A(t)，信號(hào)在時(shí)間域上變化的中心軸線即為趨勢(shì)線函數(shù)f(t)。即：

一般來(lái)說(shuō)，信號(hào)的趨勢(shì)線函數(shù)是一個(gè)相對(duì)的概念，一個(gè)信號(hào)的趨勢(shì)線函數(shù)往往不是一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)。

定義2：對(duì)于任意給定的信號(hào)f (t)，若其趨勢(shì)線函數(shù)A(t)在每個(gè)時(shí)刻的值都為零，則稱A(t)為零趨勢(shì)函數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，考慮運(yùn)算誤差，可設(shè)定任意小的一個(gè)正數(shù)，使每一時(shí)刻的，即：

則A(t)可視為零趨勢(shì)函數(shù)。例如常見(jiàn)的調(diào)幅信號(hào)與調(diào)頻信號(hào)，皆為零趨勢(shì)信號(hào)。

2.2 分解過(guò)程

基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解方法，通過(guò)不斷獲取當(dāng)前信號(hào)的極大值與極小值，進(jìn)行樣條插值，將信號(hào)恢復(fù)至原始長(zhǎng)度，并求其中心線，以獲得趨勢(shì)線函數(shù)，達(dá)到信號(hào)的逐層分解，當(dāng)分解出零趨勢(shì)線時(shí)，分解終止。對(duì)于任意給定長(zhǎng)度為N的非零趨勢(shì)信號(hào)x(t)，其分解具體過(guò)程如下：

（1）分別求得信號(hào)x(t)所有的全局極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，數(shù)量分別為N1與N2。

（2）采用三次樣條插值，對(duì)N1個(gè)極大值點(diǎn)與N2個(gè)極小值點(diǎn)進(jìn)行插值，獲得長(zhǎng)度為N的極大值包絡(luò)xmax(t)與極小值包絡(luò)xmin(t)。

（3）求極大值與極小值包絡(luò)的均值得到第一層信號(hào)分量，記為m(t)：

檢查m(t)是否為零趨勢(shì)函數(shù)，若滿足，即為第一個(gè)分量，若不滿足，繼續(xù)下述過(guò)程。

（4）取

重復(fù)（1）（2）（3），檢查n(t)是否滿足是零趨勢(shì)線，若滿足，即為第一個(gè)分量，若不滿足，使：

將n(t)當(dāng)作原始信號(hào)，重復(fù)步驟（1）（2）（3）（4）。至ni(t)是零趨勢(shì)線時(shí)，分解出第一個(gè)趨勢(shì)線函數(shù)。

（5）記

其中N為循環(huán)次數(shù)，則c1(t)為信號(hào)x(t)的第一個(gè)被分解出來(lái)的趨勢(shì)線分量，并且在x(t)所包含的分量中頻率最低。

（6）取信號(hào)

重復(fù)步驟（1）（2）（3）（4）（5），依次得到頻率由低到高的趨勢(shì)線分量c2(t)、c3(t)，…，ck(t)。

（7）當(dāng)

為零趨勢(shì)線時(shí)，分解終止。此時(shí)：

為最高頻信號(hào)。

3.仿真結(jié)果與討論

3.1 基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解

仿真實(shí)驗(yàn)一采用由三種不同頻率的正弦信號(hào)疊加成的混合信號(hào)作為輸入信號(hào)，時(shí)間區(qū)間設(shè)置為[0,1]，信號(hào)長(zhǎng)度N=4001，令sig=20sin(20πt)+10sin(200πt)+5sin(2*103πt)，其時(shí)域圖如圖1所示：

夾纻胎輕巧、牢固，成型后不易變形、開裂，留存時(shí)間長(zhǎng)。從工藝角度看，造型的自由度增加了，能夠制造更為豐富多樣的器型。夾纻器的出現(xiàn)是漆工藝的一次革命，也為漆器生產(chǎn)的興旺發(fā)達(dá)奠定了基礎(chǔ)。夾纻器最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，兩漢中期以后盛行起來(lái)，成為最常見(jiàn)的制胎方法。魏晉南北朝以來(lái)，常采用夾纻胎工藝制作佛像。塑造的佛像十分輕便，可以車載、人抬游行于街市，達(dá)到宗教宣傳的目的。遺憾的是，唐末武宗滅佛，大量夾纻造像遭到毀壞，也導(dǎo)致這項(xiàng)工藝的失傳。到了清代，福州沈紹安恢復(fù)了傳統(tǒng)的“纻胎”工藝，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造出著名的“脫胎漆器”。

圖1 實(shí)驗(yàn)一輸入信號(hào)

采用基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解方法，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行分解，得到的各趨勢(shì)線分量如圖2所示：

圖2 實(shí)驗(yàn)一趨勢(shì)分量

采用希爾伯特變換，求解趨勢(shì)線分量的瞬時(shí)頻率和振幅，繪制時(shí)頻譜圖，如圖3所示：

圖3 實(shí)驗(yàn)一時(shí)頻譜圖

通過(guò)時(shí)-頻譜圖，可以看出，仿真實(shí)驗(yàn)一中分解出的趨勢(shì)線分量時(shí)頻平面特征體現(xiàn)明顯，能夠清楚的獲知原信號(hào)分量數(shù)與頻率特征。

仿真二采用線性趨勢(shì)信號(hào)，時(shí)間區(qū)間設(shè)置為[0,1]，信號(hào)長(zhǎng)度N=4001，一次函數(shù)y=8000t+1000,正弦信號(hào)x=500*(200πt)，輸入信號(hào)sig=x+y,其時(shí)域圖如圖4所示：

圖4 實(shí)驗(yàn)二輸入信號(hào)

采用基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解方法， 對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行分解，得到的各趨勢(shì)線分量如圖5所示：

圖5 實(shí)驗(yàn)二趨勢(shì)分量

采用希爾伯特變換，求解趨勢(shì)線分量的瞬時(shí)頻率和振幅，繪制時(shí)頻譜圖，如圖6所示：

圖6 實(shí)驗(yàn)二時(shí)頻譜圖

通過(guò)時(shí)-頻譜圖，不難看出，仿真實(shí)驗(yàn)二中分解出的趨勢(shì)線分量時(shí)頻平面特征體現(xiàn)明顯，在任意t點(diǎn)處都有唯一的瞬時(shí)頻率值與其對(duì)應(yīng)，其瞬時(shí)頻率具有單一性。但是在趨勢(shì)線信號(hào)端點(diǎn)處瞬時(shí)頻率值發(fā)生了發(fā)散，出現(xiàn)了端點(diǎn)效應(yīng)。

3.2 分解過(guò)程中端點(diǎn)效應(yīng)的抑制

延拓的信號(hào)如圖7所示：

圖7 延拓后的信號(hào)

分解后的趨勢(shì)線分量如圖8所示：

圖8 延拓后的趨勢(shì)分量

依據(jù)希爾伯特變換，求取整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的瞬時(shí)頻率和振幅，截取[0,1]信號(hào)趨勢(shì)線分量，繪制時(shí)頻譜圖，如圖9所示：

圖9 抑制端點(diǎn)效應(yīng)后的時(shí)頻譜圖

通過(guò)信號(hào)的時(shí)頻譜圖可以看出，相對(duì)于仿真三中出現(xiàn)的端點(diǎn)處信號(hào)瞬時(shí)頻率值發(fā)散的情況，采用周期延拓的方法，可以有效地抑制。

4.分析與總結(jié)

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，基于信號(hào)趨勢(shì)的自適應(yīng)分解的方法能對(duì)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)的分解，通過(guò)分解出的趨勢(shì)分量求解瞬時(shí)頻率和振幅，繪制時(shí)頻譜圖，能夠很好地體現(xiàn)信號(hào)的參數(shù)特征。針對(duì)分解過(guò)程中出現(xiàn)的端點(diǎn)效應(yīng)，采用信號(hào)周期延拓的方法，可以很好地抑制。

現(xiàn)有信號(hào)分解或信號(hào)變換的基本思路是大多數(shù)將信號(hào)和一組函數(shù)作內(nèi)積，從而得到一組標(biāo)量，即信號(hào)離散表示的系數(shù)。由于正交基具有很多優(yōu)點(diǎn)，因此，在信號(hào)處理中正交基的應(yīng)用最為廣泛。如小波變換。但是由于針對(duì)不同信號(hào)，基的選擇明顯不同，故自適應(yīng)程度較低，分解成本較高。該方法為一種數(shù)學(xué)方法，相對(duì)于選擇不同的基，自適應(yīng)程度高。相對(duì)于使用廣泛的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與局部均值分解，其過(guò)程是按照信號(hào)頻率由高到低，逐層進(jìn)行分解，降低了高頻信號(hào)對(duì)低頻信號(hào)分量的影響，較好的保留的信號(hào)的固有趨勢(shì)，可行性與可操作性極高。