五種類型不定積分問(wèn)題的求解

唐夢(mèng)鑫，朱 華

（攀枝花學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

1 引言

微積分學(xué)的創(chuàng)立極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.過(guò)去很多用初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題,運(yùn)用微積分,問(wèn)題往往迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的非凡威力.不定積分在微積分中占有至關(guān)重要的地位,而不定積分的計(jì)算對(duì)于大多數(shù)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn),筆者結(jié)合自身所學(xué)和實(shí)際所遇到的問(wèn)題,將不定積分求解問(wèn)題歸為五種類型,并舉例加以說(shuō)明.

2 基本定義及性質(zhì)

2.1 若在某個(gè)區(qū)間I上,函數(shù)F（X）和f(x)滿足以下關(guān)系

則稱F(x)是f(x)在這個(gè)區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).

2.2 函數(shù)f(x)的原函數(shù)全體稱為這個(gè)函數(shù)的不定積分,記作

3 五種類型的不定積分

3.1 簡(jiǎn)單函數(shù)不定積分

直接用積分公式或者運(yùn)算性質(zhì)求解不定積分,或者將被積函數(shù)經(jīng)過(guò)恒等變形 (三角變形,代數(shù)變形),代換(三角代換,整體代換,倒代換)后再利用積分公式或者運(yùn)算性質(zhì)求解.

例1計(jì)算

解

3.2 有理函數(shù)不定積分

由代數(shù)學(xué)基本定理可知:每個(gè)次數(shù)≥1的有理系數(shù)多項(xiàng)式都能唯一的分解成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.在求復(fù)雜的有理函數(shù)不定積分時(shí),可將復(fù)雜的不定積分分解成簡(jiǎn)單的不定積分后再求解.

例2計(jì)算

解根據(jù)代數(shù)基本定理可將x2+3x-10分解成(x-2)(x+5)的形式.

解得:A=B=1.

3.3 無(wú)理函數(shù)不定積分

例3計(jì)算

解令,則有

由于

因此上述無(wú)理根式的不定積分也就轉(zhuǎn)化為以下三種類型之一:

當(dāng)分別令 u=ktant，u=ksect，u=ksint后, 它們都轉(zhuǎn)化為三角有理式的不定積分.

例4

解被積函數(shù)的存在域?yàn)?∞＜x＜+∞,因此,令x=atant,并限制.從而

代入得

3.4 三角函數(shù)不定積分

對(duì)于三角函數(shù)不定積分的求解,最通用的方法就是萬(wàn)能公式法,但由于萬(wàn)能公式過(guò)于復(fù)雜,所以除非萬(wàn)不得已一般不采用萬(wàn)能公式.最常用的方法就是將其通過(guò)誘導(dǎo)公式恒等變形,再利用換元法,積分法進(jìn)行求解.

例5計(jì)算

解

3.5 超越函數(shù)的不定積分

所謂的超越函數(shù)就是指:將三角函數(shù),反三角函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)中的一個(gè)或多個(gè)函數(shù)混合成一個(gè)函數(shù).在解超越函數(shù)不定積分時(shí)最基本的方法就是分部積分法,將一個(gè)超越函數(shù)不定積分分解成多個(gè)不定積分分別求解,再利用不定積分的線性性質(zhì)求和.

例6計(jì)算

解

4 總結(jié)

觀察對(duì)比以上五種類型的不定積分,我們可以發(fā)現(xiàn)它們都有共同點(diǎn):無(wú)論是何種類型的不定積分,做何種變換,其目的都是將繁瑣的不定積分等價(jià)轉(zhuǎn)化成最簡(jiǎn)單的不定積分,再套用公式求解.