g-方差，g-協方差與生成元g之間的關系

2018-10-18 07:16:00劉覽

赤峰學院學報·自然科學版 2018年9期

關鍵詞：性質定義

劉覽

（徐州工程學院數學與物理科學學院，江蘇徐州 221008）

1 引言

給定正常數 T∈(0,∞),設(Ω,F,P)是一個完備的概率空間,(Bt)t≥0是此空間上的d-維布朗運動,(Ft)t≥0是該布朗運動產生的自然σ域流,即有

其中N是以概率測度P為可略集組成的子集類.本文限定在概率空間(Ω,FT,P)中研究問題.令 L2(Ω,FT,P)表示 FT-可測且滿足：=E[|ξ|2]＜+∞ 的實值隨機變量 ξ全體.令 s2(0,T；R)表示循序可測且滿足

的連續實值隨機過程(Yt)t∈[0,T]全體.令M2(0,T;Rd)表示Rd-值,(Ft)-循序可測且滿足

的隨機過程(Zt)t∈[0,T]全體.

1990年,我國著名數學家彭實戈與法國著名數學家Pardoux提出了倒向隨機微分方程(簡寫為BSDE)的非線性形式(見文獻[1]).一維BSDE的一般形式如下:

其中終端時間T有限;終端條件ξ是FT-可測的;對任意的(y,z)∈R×Rd,生成元

是(Ft)-循序可測的.(g,T,ξ)稱為BSDE的參數.文獻[1]在生成元g關于y和z一致Lipschitz連續條件下得到了BSDE的唯一平方可積適應解,記為(Yt(g,T,ξ)，Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].如果對于任意的(t,y)∈[0,T)×R,生成元g還滿足g(t,y,0)≡0,文獻[2]將 Y0(g,T,ξ)定義為隨機變量 ξ的 g- 期望,記為 εg[ξ].g- 期望實際上是一種動態的非線性期望,它具有除了線性之外幾乎所有的經典數學期望所具有的性質.文獻[3]通過g-期望和條件g-期望誘導出一種風險度量和一種動態風險度量,將g-期望引入到風險度量領域.現在g-期望理論已經被許多學者所接受并被廣泛應用于經濟、金融、微分幾何等領域.在眾多學者的努力下,BSDE理論逐步完善,形成了g-概率,g-方差,g-鞅,g-估價等在內的一整套體系,并隨著研究的深入不斷發展.

很多學者為了完善g-期望的性質,研究了諸如H?lder不等式,Jensen不等式以及收斂性等性質,如[4],[5],[6],[7],[8],[9]和[10]等.文獻[11]另辟徑溪,從生成元 g 的角度出發,根據g的性質研究g-期望的性質,同時驗證了g-期望和生成元g之間存在一些等價關系,從而使得g-期望的應用更加廣泛.文獻[11]論證了生成元g和g-期望之間很多等價性質,如齊次性,次可加性,超可加性,平移不變性等,詳細研究了g-期望與風險度量之間的關系并利用g-期望量化金融頭寸的風險.目前,對g-方差的理論研究則剛起步不久,[12]基于經典期望的概念定義了g-方差,研究了g-方差的一些基本性質.之后[13]又定義了g-方協差的概念,并研究了相關性質.

受[11]和[12]的啟發,在本文中我們主要根據g-期望的基本性質研究g-方差和g-協方差之間的關系,以及二者和BSDE的生成元g之間的一些等價關系.由于g-期望不具有線性性,所以g-方差與g-協方差之間的關系并不像經典方差和經典協方差之間存在等式關系.此外,由[11]的結果可知生成元g的性質直接影響g-期望的性質,因此生成元g的性質也會影響到g-方差和g-協方差的性質.

本文結構如下:第2節主要介紹一些相關定義和引理；第3節主要研究g-方差與g-協方差之間的關系;第4節主要研究g-方差,g-協方差與BSDE生成元g之間的一些等價關系.

2 預備知識

對于BSDE(1)的生成元g(ω,t,y,z),考慮如下假設條件:

(A1)生成元g關于y和z滿足一致Lipschitz條件,即存在常數k≥0,使得dP×dt-a.s.,對于任意的 y1,y2∈R,z1,z2∈Rd,有|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤K(|y1-y2|+|z1-z2|)；

(A2)dP×dt-a.s.,對于任意的 y∈R,g(t,y,0)≡0；

根據[1]的結果,我們可以知道如果生成元g滿足假設(A1)和(A3),那么對于任意的 ξ∈L2(Ω,FT,P),BSDE(1)在空間S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)中存在唯一適應解(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].此時需注意,假設(A2)可以推出假設(A3).因此,如果生成元g滿足假設(A1)和(A2),對于任意的 ξ∈L2(Ω,FT,P),BSDE(1)在空間S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)中仍存在唯一解.

文獻[2]利用倒向隨機微分方程理論引出了g-期望的概念并詳細介紹了其相關性質,現歸納如下.

定義1設生成元g滿足假設(A1)與(A2),對于任意的ξ∈L2(Ω,FT,P),BSDE(1)在 S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)中有唯一解(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].定義 g- 期望 εg[·]L2(Ω,FT,P)→R 如下

下面我們介紹g-期望的相關性質.

定理2([2])g-期望有如下基本性質:

(ⅰ)(保常性):對于任意常數 c∈R,有 εg[c]:=c;

(ⅱ)(單調性):如果 X1,X2∈L2(Ω,FT,P),X1≥X2a.s.,則 εg[X1]≥εg[X2].

注3 根據g-期望的定義,我們可以得到,當生成元g≡0 時,εg[·]=E[·].

定理4(平移不變性,[11]) 設生成元g滿足假設(A1)和(A2),則如下敘述等價:

(ⅰ)不依賴 y;

(ⅱ)對于任意 X∈L2(Ω,FT,P),c∈R,有 εg(X+c)=εg(X)+c.

定理5(次(超)可加性,[11]) 設生成元g滿足假設(A1)和(A2),則如下敘述等價:

(ⅰ)g不依賴于y且g關于z是次(超)可加的;

(ⅱ)g- 期望 εg[·]是次(超)可加的.

定理6(齊次性,[11]) 設生成元g滿足假設(A1)和(A2),則如下敘述等價:

(ⅰ)關于(y,z)滿足齊次性(正齊次性);

(ⅱ)g- 期望 εg[·]滿足齊次性(正齊次性).

注7([7]) 如果g關于(y,z)滿足超(次)齊次性,g-期望εg[·]也滿足超(次)齊次性.

下面我們介紹[12]和[13]給出的g-方差和g-協方差的定義.

定義 8(g-方差) 對任意X∈L4(Ω,FT,P),如果εg[(X-εg(X)2]存在,則稱εg[(X-εg(X)2]為隨機變量X關于生成元g的g-方差,記為Varg(X).

定義 9(g-協方差) 對任意X,Y∈L4(Ω,FT,P),稱 εg[(X-εg(X)(Y-εg(Y)]為隨機變量X和Y關于生成元g的g-協方差,記為Covg(X,Y).

注10 由注3可知,如果生成元g=0,此時的g-方差就是經典方差,即Varg(·）＝Var（·）;g-協方差即為經典協方差.

3 g-方差與g-協方差之間的關系

在經典方差理論中,我們知道經典方差和經典協方差之間的關系如下,

那么對于由不滿足線性的g-期望誘導出來的g-方差是否有類似的等式

成立呢?如果不存在上述相等關系,那么g-方差和g-協方差之間到底存在何種關系呢?

由于g-期望不具有線性性,一般來說g-方差與g-協方差之間應該不具有類似的關系式,即一般來說,

下面我們著手研究g-方差與g-協方差之間的具體關系.

定理11設生成元g不依賴于y且關于z是正齊次和次可加的,則對于任意的X,Y∈L4(Ω,FT,P),有

證明由于生成元g不依賴于y且關于z是正齊次和次可加的,根據定理4,5和6,g-期望εg[·]滿足正齊次性,次可加性和平移不變性.根據g-方差的定義,有

由g-期望的正齊次性和次可加性可得,

由于g-期望具有次可加性,故

再根據g-方差,g-協方差的定義以及g-期望的正齊次性、平移不變性可得,

從而得出結論,

證畢.

注12 定理11中生成元g的條件可以改為,g不依賴于y且關于z是次可加和次齊次的,即對于任意的λ∈R,g(t,λz)≤λg(t,z)dP×dt-a.s.事實上,由g關于z是次可加和次齊次可以得到g關于z是正齊次的.

類似地,我們可以得到如下定理13.

定理13設生成元g不依賴于y且關于z是超齊次和超可加的,則對于任意的X,Y∈L4(Ω,FT,P),有

證明由于生成元g不依賴于y且關于z是超齊次和超可加的,根據定理4,5和注7,g-期望εg[·]滿足超齊次性,超可加性和平移不變性.根據(2)式和超可加性可得,

由于g-期望具有超齊次性和平移不變性,故

同理可得,

將上述兩個不等式代入(3),再根據g-方差,g-協方差的定義可得,

從而得出結論,

證畢.

4 g-方差,g-協方差與生成元g之間的關系

我們在研究g-方差的性質時,依賴于生成元g的性質,因為g的性質直接影響g-期望的性質,從而間接影響g-方差的性質.文獻[11]通過g的性質研究g-期望的性質時,得到了很多等價的性質,即生成元g不僅可以影響g-期望的性質,反過來,g-方差的性質應該也可以影響生成元g的性質,二者之間存在哪些具體關系呢?根據定理11,借助于g-協方差我們可以得到g-方差Varg(·)與生成元g之間的等價關系.

定理14設生成元g不依賴于y且關于z是正齊次和次可加的,有