混合指數(shù)分布的矩估計(jì)

王秋爽，徐圣楠

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

1 引言

混合指數(shù)分布是壽命分析中的重要統(tǒng)計(jì)模型.混合指數(shù)分布模型，廣泛應(yīng)用于生存分析、生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、故障診斷、金融、可靠性分析等領(lǐng)域，受到統(tǒng)計(jì)學(xué)家和實(shí)際工作者的廣泛研究.關(guān)于混合指數(shù)模型國(guó)內(nèi)外已有很多研究，如Mc-Clean針對(duì)分組數(shù)據(jù)的混合指數(shù)分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì).Jones等研究了截尾數(shù)據(jù)下混合指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì).朱利平等基于EM算法討論了完全數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)下混合指數(shù)模型的參數(shù)估計(jì).趙亞林對(duì)單參數(shù)混合指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了相關(guān)探討.田玉柱等基于EM算法，利用極大似然估計(jì)方法，對(duì)混合刪失樣本下的參數(shù)進(jìn)行估計(jì).韓靜針對(duì)利用EM算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的缺陷，提出了采用退火遺傳算法（SAGA）對(duì)雙參數(shù)混合指數(shù)分布模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化估計(jì).雷慶祝等利用貝葉斯（EB）估計(jì),研究強(qiáng)混合樣本下刻度指數(shù)分布族的參數(shù).經(jīng)過(guò)對(duì)上述文獻(xiàn)的研究，得出如下結(jié)論：EM算法雖然可以對(duì)混合分布在正常工作條件下的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，卻可能會(huì)收斂到局部最優(yōu)值.針對(duì)混合分布的參數(shù)估計(jì)，直接利用極大似然估計(jì)方法進(jìn)行研究，在求最大似然估計(jì)量時(shí)，往往要解一個(gè)似然方程（方程組），計(jì)算量較大，同時(shí)結(jié)果又不是很理想，有的時(shí)候比較難解，甚至根本就解不出有限形式的解.退火遺傳算法容易過(guò)早收斂，產(chǎn)生早熟現(xiàn)象.為了克服以上算法的不足之處，尋求一種新的估計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)混合指數(shù)分布模型參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)顯得尤為重要.

矩估計(jì)作為常見的參數(shù)估計(jì)方法，其思想是利用樣本矩去替換相應(yīng)的總體矩.只要總體相應(yīng)的矩存在，矩估計(jì)方法對(duì)任何總體都可以進(jìn)行估計(jì)，并且不需要知道總體具體分布的數(shù)學(xué)形式.部分文獻(xiàn)已經(jīng)開始嘗試?yán)镁毓烙?jì)法來(lái)估計(jì)混合分布的參數(shù)：如尹劍等研究了二元極值分布混合模型的矩估計(jì)及漸近方差，并將其與極大似然估計(jì)的漸近方差進(jìn)行比較,結(jié)果表明，矩估計(jì)是一個(gè)較好的估計(jì).李建麗等研究了混合幾何分布的矩估計(jì).矩估計(jì)作為重要的估計(jì)方法，利用矩估計(jì)來(lái)研究混合指數(shù)分布參數(shù)的文獻(xiàn)卻并不多見，鑒于此，本文基于矩估計(jì)方法，對(duì)混合指數(shù)分布進(jìn)行參數(shù)研究，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.

2 混合指數(shù)分布的矩

設(shè)隨機(jī)變量X服從如下概率密度函數(shù)

其中，λ1＞0，i=1,2 是未知參數(shù)，α∈(0,1)表示第 1 個(gè)成分在該混合分布中的比重，此概率密度函數(shù)是兩個(gè)指數(shù)分布的加權(quán)平均，本文即對(duì)該分布進(jìn)行研究.

定理1設(shè)X服從概率密度函數(shù)為式（1）的混合指數(shù)分布，則有：

證明設(shè)X～Exp(λ)，可知指數(shù)分布的期望、二階矩，E，根據(jù) Var(X)=E(X2)-(E(X))2，利用期望、方差的性質(zhì)10可得混合指數(shù)分布的期望、二階矩、方差為：

定理2設(shè)X服從參數(shù)為λ的混合指數(shù)分布，則X的k階矩為：

證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明11.

假設(shè)對(duì)于k-1(k≥2,k∈Z)定理成立，即

E(Xk-1)=，則：X的k階原點(diǎn)矩：

由此，可得混合指數(shù)分布的多階矩為：

3 混合分布的矩估計(jì)

3.1 具有一個(gè)未知參數(shù)

定理 3若 λ1和 λ2已知，α 的矩估計(jì)為且是α的無(wú)偏估計(jì).

證明用替換式（2）中的 E(X)，則有

定理 4若 α 和 λ1已知，λ2的矩估計(jì)為

定理5若 α 和 λ2已知，λ1的矩估計(jì)為

定理3和定理4的證明方法，同定理2，此處省略.

3.2 具有兩個(gè)未知參數(shù)

定理6如果λ1已知，參數(shù)α、λ2的矩估計(jì)分別為：

證明用分別替換（2）、（4）中的 E(X)、Var(X)，聯(lián)立方程組：

借助MATLAB軟件，求解該方程組，解得α、λ2的矩估計(jì)分別為：

定理7如果λ2已知，參數(shù)α、λ1的矩估計(jì)分別為：

證明過(guò)程同定理6，此處省略.

3.3 具有三個(gè)未知參數(shù)

當(dāng)α、λ1、λ2三個(gè)參數(shù)均未知時(shí)，可以將樣本均值、樣本方差、樣本多階矩分別替換定理1中對(duì)應(yīng)的期望、方差、二階矩，定理2中的多階矩來(lái)進(jìn)行估計(jì)，經(jīng)過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)，將聯(lián)立的方程進(jìn)行直接求解并不容易，很難得出可行解，建議在三個(gè)參數(shù)均未知時(shí)，多種方法結(jié)合求未知參數(shù).

4 總結(jié)

本文構(gòu)造了混合指數(shù)分布這一數(shù)學(xué)模型，利用矩估計(jì)法，首先對(duì)混合指數(shù)分布的均值、方差、多階矩進(jìn)行求解，再利用這些結(jié)果建立參數(shù)估計(jì)方程（方程組），在計(jì)算具有一個(gè)未知參數(shù)的混合指數(shù)模型時(shí)，利用概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，并針對(duì)估計(jì)出的參數(shù)進(jìn)行了無(wú)偏性檢驗(yàn)，驗(yàn)證了參數(shù)的有效性.在兩個(gè)參數(shù)未知的情況下，聯(lián)立方程組對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并借助MATLAB軟件求解，省去了繁瑣的求解過(guò)程.該方法既可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)優(yōu)化模型容易陷入局部最優(yōu)解的局限性，又可以改善退火遺傳算法容易早熟的不足之處.文章中提出的方法具有普遍的適用性，適用于各種儀器、電工電子元件的可靠性壽命分布的參數(shù)估計(jì).