異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的協(xié)同一致性追蹤

裴惠琴 陳世明 賴強 陳謙

群體系統(tǒng)是由大量具有動態(tài)演化特征的個體通過局部感知和相互作用形成的一類復(fù)雜開放的分布式系統(tǒng).一般而言,通過局部信息交互和控制器的設(shè)計實現(xiàn)群體系統(tǒng)整體層面上復(fù)雜而有序的協(xié)同行為.近年來,報道了關(guān)于群體系統(tǒng)分布式協(xié)同控制(例如一致性和一致性追蹤)方面的大量研究成果[1?9].這方面的研究已經(jīng)取得了一定的進展,歸因于各領(lǐng)域廣泛的應(yīng)用,例如自動高速公路系統(tǒng)的調(diào)度、無人航天器和無人水下機器人的協(xié)同控制[10?11]、衛(wèi)星編隊控制以及移動機器人的分布式最優(yōu)化控制[12?13]等.

根據(jù)個體性質(zhì)或功能的相同與否,群體系統(tǒng)可劃分為同質(zhì)群體系統(tǒng)和異質(zhì)群體系統(tǒng).同質(zhì)群體系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了大量研究成果,并且廣泛得以應(yīng)用.客觀地來說,自然界和工程系統(tǒng)中群體的異質(zhì)性廣泛存在,例如在人類社交群體中,每個個體具有不同的性別、職業(yè)、愛好、價值觀等;在軍演群體中,海、陸、空不同性能和類型軍事裝備協(xié)同作戰(zhàn).Johnson等[14]通過實驗和仿真研究了存在大量參數(shù)不匹配的驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)僅通過標量信號的耦合作用,就能使這兩個異質(zhì)的系統(tǒng)實現(xiàn)較為理想的同步效果.在此基礎(chǔ)上,針對具有不同動力學(xué)特性的異質(zhì)群體系統(tǒng),國內(nèi)外學(xué)者從多個角度展開了相關(guān)的研究工作[15?18].Zheng等[18]采用狀態(tài)變換法提出了一種新穎的協(xié)議實現(xiàn)異質(zhì)群體系統(tǒng)的群一致性.Liu等[19]構(gòu)建了兩種固定的一致性算法用于研究由一階智能體和二階智能體組成的離散時間異質(zhì)群體系統(tǒng)的一致性.基于線性二次型調(diào)節(jié)器理論,Ma等[20]研究了具有最優(yōu)拓撲的連續(xù)時間和離散時間群體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)–跟隨者一致性.Hu等[21]針對合作–競爭網(wǎng)絡(luò)中異質(zhì)群體的二階一致性問題,提出了一種混雜自適應(yīng)的牽制控制策略.Liu等[22]提出了一種新穎的一致性算法能夠保證具有有向拓撲的異質(zhì)群體系統(tǒng)一致性的實現(xiàn).Sun等[23]基于智能體的輸出反饋信息,利用一種分布式自適應(yīng)一致性追蹤協(xié)議研究了具有有向拓撲結(jié)構(gòu)和未知動力學(xué)的異質(zhì)群體系統(tǒng)的一致性.Yang等[24]研究了具有切換有向拓撲的一類異質(zhì)群體系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)輸出一致性控制.Wen等[25]為了實現(xiàn)異質(zhì)群體系統(tǒng)的群一致性,提出了一類分布式群一致性協(xié)議,并給出了相關(guān)定理的證明分析.Zhou等[26]利用高階有限時間一致性協(xié)議研究了異質(zhì)群體的一致性.Feng等[27]研究了有向通信圖中,一階智能體和二階智能體的一致性.Zhu等[28]提出了一種新穎的連續(xù)非線性分布式一致性協(xié)議用于實現(xiàn)異質(zhì)群體系統(tǒng)的有限時間一致性.

從上述討論分析可知,目前大部分研究工作主要是初步地關(guān)注異質(zhì)群體系統(tǒng)的一致性.異質(zhì)群體系統(tǒng)一致追蹤方面的研究工作尚未完全展開,這方面的研究成果相對較少.Rahimi等[10]研究了由無人機群和地面無人車輛組成的異質(zhì)系統(tǒng)的時變隊形控制問題,設(shè)計了一種基于李雅普諾夫理論的分布式控制器,驅(qū)動群體實現(xiàn)蜂擁的同時可以進行實時隊形控制.但是忽略了無人機系統(tǒng)與無人車輛系統(tǒng)之間的演化協(xié)同關(guān)系.對于異質(zhì)群體系統(tǒng)而言,子群體都是以一種或者多種方式相互依存的,它們之間存在相依性,而且這種相依性對于整個群體系統(tǒng)控制效率有重要影響.一般而言,異質(zhì)群體系統(tǒng)中不同個體之間的相依方式可分為一對一、一對多和多對多的方式,相依關(guān)系既是一種契機,也是導(dǎo)致系統(tǒng)脆弱性并影響系統(tǒng)結(jié)構(gòu)魯棒性的關(guān)鍵所在[29].本文通過上述已有研究工作分析的啟發(fā),研究帶有固定通信拓撲的異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致性追蹤問題,該群體系統(tǒng)由一階子群體和二階子群體組成.本文的主要貢獻是:1)從個體性質(zhì)不同或子群體拓撲結(jié)構(gòu)不同的角度出發(fā),構(gòu)建異質(zhì)群體系統(tǒng)的相依模型;2)對于不同的子群體,分別提出相應(yīng)的分布式一致性追蹤控制協(xié)議,同時給出保證一致性追蹤實現(xiàn)的充分條件;3)定義了衡量子群體間相依程度的相依比例值參數(shù).

本文結(jié)構(gòu)如下:第1節(jié)是異質(zhì)相依群體系統(tǒng)協(xié)同一致性的問題描述;第2節(jié)是主要研究結(jié)果的具體闡述,包括異質(zhì)群體系統(tǒng)的相依模型,提出了一類分布式一致性追蹤控制協(xié)議,給出了定理和相關(guān)的證明以及相依比例參數(shù);第3節(jié)通過仿真實例分析進一步評價理論結(jié)果的有效性和可行性;第4節(jié)對本文內(nèi)容進行總結(jié).

1 問題描述

群體系統(tǒng)中,個體之間的信息交換描述為交互圖G=(V,E,A),其中V=(v1,v2,···,vn)是非空頂點集;E?V×V是邊集;A=[aij]∈Rn×n是具有元素aij的加權(quán)矩陣,如果(vi,vj)/∈E,那么aij=0,否則aij＞0.邊eij=(vi,vj)∈E表示點vj可以接收來自點vi的信息.若aij=aji,該圖稱為無向圖,反之稱為有向圖.對角度矩陣D∈Rn×n定義為D=diagg0gggggg,其中. 拉普拉斯矩陣定義為,即L=D,其中,并且.

引理1[30].假設(shè), 且xi∈R.于是系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)漸近一致性的條件是當且僅當圖Gn有一棵有向生成樹,其中Gn是n個智能體的通信拓撲結(jié)構(gòu)圖,并且Ln是圖Gn的Laplacian矩陣.對于?t≥0,e?Lnt是具有正對角線元素的隨機矩陣.Gn具有有向生成樹的充分必要條件是rank(Ln)=n?1.這種情況下,存在非負的列向量γ ∈Rn,使得當t→∞時,,其中,并且.

假設(shè)異質(zhì)群體系統(tǒng)由b≥2個子群體組成,整個群體系統(tǒng)可描述為{P,E},其中P={P1,···,Pi,···,Pb},E={E1,1,···,Ei,j,···,Eb,b}. 其中,Pi表示子群體i的個體集合,Ei,i表示子群體i的邊集合,即子群體的內(nèi)部連接.當i?=j時,Ei,j表示子群體i和子群體j之間的邊集合,即子群體的外部連接.不失一般性,考慮具有兩個子群體的異質(zhì)群體系統(tǒng),由m個二階動力學(xué)個體和n?m個一階動力學(xué)個體組成.二階個體的動力學(xué)方程如下:

其中,xi,vi∈RN分別表示個體i的位置狀態(tài)和速度狀態(tài),ui∈RN是控制輸入,p(t)是自身動態(tài)函數(shù).一階個體的動力學(xué)方程如下:

其中,xi,ui∈RN分別表示個體i的位置狀態(tài)和控制輸入,f(t)是自身動態(tài)函數(shù).此外,目標個體的動力學(xué)方程為

其中,x0,v0∈RN分別表示個體i的位置狀態(tài)和速度狀態(tài),p(t)是自身動態(tài)函數(shù).為了便于分析,假設(shè)群體系統(tǒng)中所有個體是在一維空間中,即xi,vi,ui∈R.但是,通過Kronecker積,本文研究所得結(jié)果都可以擴展應(yīng)用到N維空間之中.

對應(yīng)于整個群體的二階動力學(xué)個體和一階動力學(xué)個體的劃分,鄰接矩陣A為

其中,Af∈R(n?m)×(n?m),As∈Rm×m. 二階個體的Laplacian矩陣定義為Ls=Ds?As,Ds是僅考慮二階個體的入度對角矩陣.類似地,Lf=Df?Af是一階個體的Laplacian矩陣.對于個體i,Ni,s定義為它的具有二階動力學(xué)的鄰居個體集合,Ni,f定義為它的具有一階動力學(xué)的鄰居個體集合.根據(jù)這些構(gòu)造和定義,整個群體拓撲圖的Laplacian矩陣可描述為

其中,

定義1.對于任意初始狀態(tài)xi(0),x0(0)和vi(0),v0(0),異質(zhì)相依群體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)一致性追蹤.若

2 主要研究結(jié)果

2.1 相依模型與參數(shù)

定義2.考慮外部連接(s,z)∈Ei,j,其中s∈Pi,z∈Pj,且,s稱為z的相依個體,反之亦然.在子群體i中,將沒有任何相依個體的個體稱為獨立個體.

定義3.異質(zhì)群體中相依個體之間存在一種關(guān)系,彼此相互依賴、互相產(chǎn)生作用,并且個體可以獨立的發(fā)揮它自身的功能并存在,這種關(guān)系稱為相依性.

定義4.由若干個具有不同動力學(xué)性質(zhì)以及拓撲結(jié)構(gòu)不同的子群體構(gòu)成異質(zhì)群體網(wǎng)絡(luò)拓撲圖,并且子群體之間存在相依性,這種拓撲圖稱為異質(zhì)群體的相依模型.

如圖1(a)和1(b)所示,展示了兩種異質(zhì)群體系統(tǒng)的相依模型,這些群體系統(tǒng)是由不同性質(zhì)和不同拓撲結(jié)構(gòu)的子群體所構(gòu)成.異質(zhì)群體的相依模型可以清楚地描述子群體之間的相依性,圖中平面內(nèi)實線代表子群體的內(nèi)部連接線,即子群體中個體之間的通信關(guān)系,虛線代表子群體的外部連接線,即子群體之間的相依關(guān)系.在本文中,我們考慮由兩個子群體構(gòu)成的異質(zhì)群體系統(tǒng)的模型,如圖1(a)所示.

圖1 異質(zhì)群體系統(tǒng)的相依模型示意圖Fig.1 Interdependent models of heterogeneous group systems

為了研究異質(zhì)群體系統(tǒng)一致性追蹤中不同相依程度對其影響,引入?yún)?shù)Pr表示相依比例.Pr包括Pri和Prj,其中Pri代表子群體i中相依個體數(shù)占子群體i所有個體數(shù)的比例值,Prj代表子群體j中相依個體數(shù)占子群體j所有個體數(shù)的比例值.

其中,#{U}表示U集合的基數(shù),Numi和Numj分別表示子群體i和子群體j的個體總數(shù)目.

2.2 異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致性追蹤

基于第2.1節(jié)異質(zhì)群體系統(tǒng)相依模型的構(gòu)建,討論由一階動力學(xué)個體和二階動力學(xué)個體組成的異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致追蹤.考慮異質(zhì)相依群體系統(tǒng)(1)和(2),提出一類分布式追蹤一致性控制協(xié)議,其描述為

且

其中,k1＞0,k2＞0分別是位置和速度的耦合系數(shù),k3＞0,k4＞0是反饋控制系數(shù).aij是鄰接矩陣A∈Rn×n的第(i,j)個元素,di是局部度矩陣B∈Rm×m的第(i,i)個元素.于是,異質(zhì)相依群體系統(tǒng)可以描述為

令ξi(t)=xi(t)?x0(t),i=1,2,···,n,ηi(t)=vi(t)?v0(t),i=1,2,···,m,且ξ1=[ξ1,ξ2,...,ξm]T,η=[η1,η2,...,ηm]T,ξ2=[ξm+1,ξm+2,...,ξn]T.

由式(6)可知

上述誤差系統(tǒng)可改寫為

其中,

根據(jù)定義1,當t→∞時,有

表明異質(zhì)相依群體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)一致追蹤.

定理1.假設(shè)固定通信拓撲圖G包含一棵有向生成樹,即群體系統(tǒng)中任意個體至少能夠通過某一鄰居個體獲得通信信息,那么固定通信拓撲情況下,異質(zhì)群體系統(tǒng)(1)和(2)通過分布式控制協(xié)議式(4)和(5)能夠?qū)崿F(xiàn)群體一致性追蹤的充分條件是

其中,k1＞0是位置耦合系數(shù),k2＞0是速度耦合系數(shù),k3＞0是反饋控制系數(shù).

證明.誤差系統(tǒng)(8)可改寫為

式中,

為了便于分析,給出下面的轉(zhuǎn)換式

令y=[y1,y2,···,ym]T,誤差系統(tǒng)(9)改寫為

其中,

將式(11)中第1行元素的?k2/k1[(k1/k2?k3)B+k2Dsf]倍加到第2行,并且第1行元素的(k2k4)/k1Afs倍加到第3行,有

將式(12)第1～3行分別乘以k2/k1,1/k2,1/k4,可得

3 仿真實例分析

前面我們建立了異質(zhì)群體系統(tǒng)的相依模型,并設(shè)計了一類分布式一致性追蹤控制協(xié)議以實現(xiàn)異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致性追蹤,給出了相關(guān)定理和分析證明以及相依比例參數(shù).本節(jié)中,提供仿真實例進一步說明理論結(jié)果的有效性和可行性.

實例1.考慮由二階個體1,2,3和一階個體4,5,6構(gòu)成的異質(zhì)相依群體系統(tǒng),該系統(tǒng)的通信拓撲圖具有一棵生成樹,如圖2所示.從圖2可知,整個群體系統(tǒng)由子群體GI和子群體GII組成,并且P1={1,2,3},P2={4,5,6},其中個體1,3,4,5是相依個體,個體2,6是獨立個體,并且E14,E35是子群體的兩條外部連接邊.子群體GI和子群體GII的相依比例值分別為PrI=2/3,PrII=2/3.

圖2 異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的固定無向拓撲圖Fig.2 Fixed undirected topology of the heterogeneous interdependent group system

目標個體的加速度為p(t)=0.1t2sin(8t),且f(t)=∫p(t)dt.對于如圖2所示的群體拓撲圖,相應(yīng)Laplacian矩陣和局部度矩陣分別為

任取參數(shù)k1,k2,k3,使其滿足定理1的充分條件,即

這里,取參數(shù)k1=1,k2=1,k3=9,k4=1,所有個體的初始狀態(tài)取值為

從仿真結(jié)果圖3可知,通過控制協(xié)議式(4)和式(5),異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致性追蹤能夠漸近地實現(xiàn).圖3(a)是目標個體的速度信號曲線.由圖3(b)和3(d)可知,二階個體1,2,3的速度經(jīng)過一段時間之后逐漸地趨近于相同的數(shù)值,并且完全跟蹤上了目標個體的速度信號.從圖3(c)結(jié)果分析,當時間t=11.5s時,所有個體的位置狀態(tài)與目標個體的位置狀態(tài)之間絕對誤差基本為零,換句話而言,無論是一階個體還是二階個體最終追蹤到目標個體,并且聚合在一起繼續(xù)往前運動.

當子群體增加一條外部連接邊E26,相依個體比例值Pr增大,也就是子群體之間相依程度更為緊密.此時,群體拓撲圖對應(yīng)的Laplacian矩陣和局部度矩陣分別為

圖3 個體的位置狀態(tài)追蹤誤差和速度示意圖Fig.3 Position state tracking errors and velocities of individuals

子群體的相依比例值分別為PrI=1,PrII=1.從圖4(a)和4(b)結(jié)果分析可知,經(jīng)過一定時間(t=8.8s),所有個體的位置狀態(tài)與目標個體位置狀態(tài)絕對誤差趨于零值,并且二階個體的速度狀態(tài)逐漸趨于相同的值與目標個體的速度狀態(tài)變化趨勢保持一致.與圖3(c)和3(d)對比發(fā)現(xiàn),增加連接邊之后,目標個體一致性追蹤的時間明顯地縮短了.

實例2.考慮一個異質(zhì)相依群體系統(tǒng),該系統(tǒng)對應(yīng)的圖是有向通信拓撲圖,并且含有一棵有向生成樹,如圖5所示.整個群體仍然由二階個體組成的子群體GI和一階個體組成的子群體GII所構(gòu)成,也就是P1={1,2,3},P2={4,5,6}.這里,有向拓撲圖對應(yīng)的Laplacian矩陣和局部度矩陣為

類似地,取參數(shù)k1=1,k2=1,k3=9,k4=1,滿足條件

所有個體和目標的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)取值如下:

從圖6可以看出,通過控制協(xié)議式(4)和式(5),異質(zhì)相依群體系統(tǒng)逐漸地實現(xiàn)了一致性追蹤.由仿真圖6(a)結(jié)果分析,經(jīng)過一定時間,所有個體的位置狀態(tài)和目標個體的位置狀態(tài)的絕對誤差值基本趨于零值.由仿真圖6(b)結(jié)果分析,二階個體的速度經(jīng)過一段時間之后趨于一致,并且能夠完全跟蹤上目標個體的速度信號狀態(tài).

圖4 個體的位置狀態(tài)追蹤誤差和速度示意圖Fig.4 Position state tracking errors and velocities of individuals

圖5 異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的固定有向拓撲圖Fig.5 Fixed directed topology of the heterogeneous interdependent group system

4 結(jié)論

本文研究了帶有固定通信拓撲的異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致性追蹤問題,從個體性質(zhì)不同和子群體間拓撲結(jié)構(gòu)不同的角度,建立異質(zhì)群體系統(tǒng)的相依模型.為了實現(xiàn)異質(zhì)相依群體系統(tǒng)的一致性追蹤,設(shè)計了一類分布式一致追蹤控制協(xié)議.同時,給出了實現(xiàn)整個異質(zhì)群體一致性追蹤的充分條件.定義了衡量相依程度的相依比例參數(shù)Pr,分析了其對協(xié)同一致性追蹤的影響.隨后,通過仿真實例驗證了理論結(jié)果的有效性.

圖6 個體的位置狀態(tài)追蹤誤差和速度示意圖Fig.6 Position state tracking errors and velocities of individuals