德拜媒質微波加熱過程的H∞保性能溫度跟蹤控制

鐘佳岐 梁山 熊慶宇

過去20年,微波加熱已經廣泛應用于食品加工[1]、化工合成[2]、物料干燥[3]以及陶瓷燒結[4]等各個領域并取得了長足的發展.作為一種典型的體積加熱模式,相比于傳統的加熱方法,微波能極大地提升介電媒質的全局溫升速率.但是,電磁場的傳播特性以及時變介電特性必然會導致在加熱過程中熱點的產生,若缺乏合理的功率調節策略,將有可能導致燃燒爆炸等一系列危險性事故[5].針對該問題,不少學者已經從不同觀點出發,研究抑制熱失控的方法[6?8],但由于電磁場環境中的在線溫度檢測技術極不成熟,導致難以完全依賴輸入輸出信息,設計合理的調控策略.因此,需要基于微波加熱機理模型,提出一種全新的溫度跟蹤控制策略,實現熱失控的抑制,保證微波能應用的安全性、高效性以及可靠性.

由于多物理場自身演化與相互耦合的特征,使得微波加熱過程常用一組具有時空耦合特性的模型[9]進行描述,其主要包含偏微分方程(Partial differential equation,PDE),非齊次Neumann邊界條件以及初始條件.就PDE方程來說,它不僅能描述媒質內部熱傳導特性,還能利用非齊次項耦合“熱–電磁”的瞬態演化過程.然而,對于德拜媒質[10],隨溫度變化的介電常數將會導致電磁分布也呈現出極強時變性.雖然Akkari等[8]和Damour等[11]學者基于微波加熱的PDE模型開展了多變量跟蹤及溫度預測等大量的工作,但仍然沒有討論隨溫度變化的介電特性以及輸入功率的約束對微波加熱整體性能的影響.近年來,盡管Yin等[12]已經在數學層面上證明了在空間中存在一個最優電場,能夠使德拜媒質具有期望的溫升速率,但在控制器的實現上仍然存在一定的不足.其原因是:缺乏適合微波加熱控制器設計的簡化模型.受此啟發,Zhong等[13?14]改進譜迦遼金法,將微波加熱PDE模型轉化成有限維常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)模型,提高多參量預測的速率并減小系統分析的難度,為溫度控制器設計與實現奠定基礎.

過去幾年,輸入受限的受擾系統鎮定問題得到了廣泛關注,諸如模型預測[15?16]、抗飽和設計[17?18]等控制方法如雨后春筍般涌現而出.對于受擾線性系統的對稱輸入飽和問題,Chen等[19]已經進行了充分研究,將H∞增益、耗散不等式以及不變集理論進行融合,有效地處理了較高性能需求與飽和約束間的關系.然而,單一的H∞性能指標僅能保證系統穩定性與抗干擾性能,并不能完全滿足多目標性能優化的要求.受此啟發,很多學者近年來針對H∞增益與保性能函數相融合情形下控制器的設計問題[20?21]進行研究,使閉環系統鎮定的同時,達到抗干擾與保性能的需求.但在德拜媒質微波加熱過程中,非齊次Neumann邊界條件的擾動以及介電常數隨溫度變化的特性使得微波加熱模型呈現出極強的時變特性.因此,圍繞微波加熱模型所具有的輸入飽和、外部擾動以及內部不確定性等本質屬性,需進一步將多目標性能函數(例如H∞范數[22]、二次型函數[23]等)融入到溫度調控過程中.然而,針對具有輸入飽和的不確定系統多目標控制器的設計仍缺乏足夠的研究.倘若將上述控制方法用于德拜媒質微波加熱過程中的熱失控抑制,不僅會影響閉環動態性能,更難以保證溫度調控過程中的穩定性和魯棒性.

德拜媒質微波加熱過程中的熱失控抑制問題本質上是同時具有輸入飽和、內部不確定性以及外部擾動特征系統的輸出跟蹤問題.因此,本文充分考慮以上提及的各項影響系統動態性能的因素,將輸出跟蹤問題轉化為誤差鎮定問題,結合線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)技術與滾動優化原理,提出滾動時域H∞保性能跟蹤控制策略.本文提出的方法能夠在線權衡系統性能需求與輸入約束間的矛盾,在德拜媒質微波加熱控制過程中可跟蹤最高溫度監測區域并抑制熱失控的發生.

1 預備知識

眾所周知,在微波加熱過程中,全局瞬態溫度分布受電磁場與熱動力學場間的相互耦合作用而產生顯著的變化.為了簡化上述復雜的數學建模過程,本文針對非磁性德拜媒質中的主要特征,并給出如下三項假設:

假設1.被加熱媒質的材質均勻且各向同性;

假設2.媒質的體積變化和質傳可被忽略;

假設3.媒質的熱力學特性不隨溫度變化但介電特性隨溫度變化.

基于熱力學第一定律,在一維方向上的德拜媒質微波加熱過程的數學模型可由下述偏微分方程模型進行描述.

邊界條件

初始條件

其中,T=T(z,t)表示在t時刻及z位置的溫度;ρ,Cp和κ分別表示媒質的密度、比熱容及熱導率;hL和hR表示在媒質邊界的傳熱系數;T∞為環境溫度,Qabs是內熱源項.在微波加熱領域,內熱源項Qabs也被稱為耗散功率.通常情況下,耗散功率同時受微波頻率f、相對介電損耗∈′′(T)以及局部電場E的影響,可表示為

其中,∈0=8.854×10?14rad/cm 是真空中的電導率;E?是局部電場的共軛復數;根據德拜方程,隨溫度變化的復介電常數∈(T)可由下述一階方程進行描述[24].

其中,∈′(T)是相對介電常數;∈∞為無限頻率相對介電常數;∈s是靜態相對介電常數;τ表示當電場消失后,原子回返原來狀態的時間,通常將其稱為弛豫時間;j為虛部符號.

從模型(1)～(4)可以看出:由于非齊次Neumann邊界條件和無限維特性的約束,很難基于原始的PDE模型進行控制器設計.針對此問題,Zhong等[13]應用改進型譜迦遼金法,將原始的PDE模型進行時空分離與迦遼金截斷.為了更明確地表達所提出的模型,可將入射電場強度E0從耗散功率(5)中剝離,并定義下述符號:u=|E0|2,a=hL(T(0,t)?T∞),b=?hR(T(L,t)?T∞),h(z)=(b?a)/(2L)×z2+az,k1=κ/(ρCp),k2=1/(ρCp),λi=?(iπ/L)2和φi(z)=cos(iπz/L),i=0,1,···,n,可得到時空分離的有限維ODE模型

其中,

2 滾動時域H∞溫度跟蹤控制

為了將跟蹤問題轉化為鎮定問題,首先考慮有限維微波加熱ODE模型(7)和模型(8)的離散時間模型

很明顯,本文的控制目標是在式(11)約束下,設計H∞保性能控制器,使得監測點的最高溫度能跟蹤上期望溫升曲線Tref(k),并且其誤差可表示為

顯然,可結合不同時刻離散型的狀態方程、輸出方程以及跟蹤目標構造輸出增廣系統.但由于隨溫度變化的介電特性,必然導致耗散功率在相鄰時刻內產生細微的變化.但從控制的角度來看,時變的介電特性必然會導致模型的不確定性.若k?1時刻的狀態方程為

其中,?Bsd表示相鄰時刻輸入矩陣的細微差別.利用式(9),(10),(12)和(14),可構造相應的增廣系統

其中,

注1.上述推導過程將溫度輸出跟蹤問題轉變為增廣系統的鎮定問題.但需注意的是,增廣系統的輸出ytorr(k)主要體現跟蹤性能的優劣程度.當然,它不僅與相鄰時刻溫度譜誤差相關,而且取決于溫度跟蹤誤差.在增廣系統的輸出方程中,C1為待定系數矩陣,其解析化地體現出所設計控制器對輸出溫度“完美”跟蹤的期望程度.一般來說,C1越大,說明模型所能容忍的跟蹤誤差就越小,所需控制器輸入幅值的震蕩程度也可能會進一步增大.因此,選擇合理的待定系數矩陣對閉環跟蹤系統的動態性能顯得尤為重要.

注2.由于原始的有限維微波加熱模型受非對稱的飽和特性所約束,也就是u∈[0,umax].同樣的,所推導出的誤差增廣模型也受非對稱飽和特性的約束,根據前后時刻輸入約束的線性關系,不難得出誤差輸入的非對稱飽和約束范圍

接下來,將針對具有非對稱約束(17)的增廣模型(15)和模型(16)設計滾動時域H∞保性能控制器.換句話說,所構造的閉環增廣系統不僅需要滿足H∞增益,而且需要滿足多目標優化函數.因此,需要基于當前時刻的誤差溫度譜和誤差增益提出相應的保性能評價函數

其中,Q和R均是已知的對稱正定矩陣.

定義1.考慮不確定增廣系統(15)和系統(16),若存在一個正常數γ和一個正定矩陣P,使得[25]

定義2.考慮不確定增廣系統(15)和系統(16),如果存在一個誤差增益?u?(k)和一個正實數J?,使得對于所有允許的不確定性,閉環增廣系統是穩定的且閉環的二次評價函數(18)滿足J≤J?.那么,對于不確定增廣系統(15)和系統(16)來說,J?被稱為保性能指標而?u?(k)則被稱為保性能誤差控制律[26].

其中,Dd和Ed是具有相應維數的已知實常數矩陣;F(k)是一個具有Lebesgue可測元素的未知矩陣函數,其滿足下述關系:

秉持由簡單到復雜的思路,利用LMI多目標優化的框架,需要圍繞增廣系統(15)和系統(16)構建不受輸入飽和約束的H∞保性能控制器,并在此基礎上推導出處理飽和特性所需的橢球體.但在給出定理之前,需要引入以下引理.

引理1.假設具有適當維數的實矩陣Ψ1和Ψ2,對于任意非零向量x∈Rn以及所有的F(k)滿足式(21),使得下式成立[27]:

引理2.假設具有適當維數的對稱矩陣Ψ3≥0,Ψ4≥0以及Ψ5＜0,對于任意非零向量x∈Rn,滿足下述關系[28]:

則存在相應的正實數ε,使得下述不等式成立:

引理3(Schur補引理)[29].假設一個對稱矩陣S能劃分為以下四個部分:

其中,S11=ST11,S22=ST22以及ST21=S12.那么,下述性質成立:

定理1.考慮不確定型增廣系統(15)和系統(16)以及二次評價函數(18),如果存在對稱的正定矩陣P,兩個正常數γ和ε以及滿足約束(21)的不確定性矩陣F(k),使得下述矩陣不等式成立:

證明.首先構建一個既滿足H∞增益,又滿足保性能約束的矩陣不等式條件

很明顯,根據定義1,矩陣不等式(27)能夠使不確定增廣系統滿足H∞性能指標.若將其分別左乘和右乘非零向量,可推導出下述耗散不等式:

若將式(28)從k?1時刻累加到k時刻,能獲得當前時刻評價函數的極大值

結合定義2,可明顯地看出,矩陣不等式(27)同樣也能滿足相應的保性能評價函數(18).接下來,為了保證計算的可行性,未知矩陣函數F(k)將會被進一步消除.依次利用引理1、引理2和引理3,可將式(27)轉化為

再次使用引理3,可獲矩陣不等式(26). □

為了處理輸入飽和約束的限制,需要構造同時滿足H∞增益和保性能函數(18)下的橢球集.根據耗散不等式(28),可以得出

定理2.若在矩陣不等式(26)的約束下,同時存在一個正常數ρ?,使得下述矩陣不等式成立:

那么,H∞保性能控制器滿足對稱飽和約束,即?u∈[?uopduopd].

證明.橢球體可圍繞過去某時刻k?1與當前時刻k的關系進行構造,利用引理3,很容易得出等價于矩陣不等式(33).利用Cauchy-Schwarz不等式,對稱輸入飽和與橢球體的關系可獲得

再次利用引理3,可將式(35)轉化為矩陣不等式(34). □

然而,上述討論推導出的是一組雙線性矩陣不等式(Bilinear matrix inequalities,BMIs).眾所周知,BMI是非凸的,并不適用于求取全局最優解.因此,需要采取一種等價變換的方法將BMI轉化為線性矩陣不等式(LMI),以進一步分析相應的控制器設計的最優問題.

定理3.如果下述優化問題

滿足約束條件

存在最優解(X,Y,γ,ε).那么,對于具有滾動時域H∞保性能誤差控制器的不確定閉環增廣系統(15)和系統(16)存在下述性質:

性質1.對所有容許的不確定性,其內部是漸近穩定的;

性質2.其誤差控制器?u滿足對稱約束[?uopd,uopd];

性質3.有界外部擾動w(k)到不確定增廣系統的輸出ytorr(k)的H∞范數最小,其值為γ2;

性質4.保性能函數具有上界J?,且在每一時刻,二次評價函數(18)均滿足J≤J?.

證明.為了將BMI轉化為LMI,首先將矩陣不等式(26)的左側分別左乘和右乘對稱矩陣diag{P?1,I,P?1,I,εI,I,I,I},再令X=P?1和Y=KP?1,其等價的LMI形式(37)可獲得.若令α=γ2wmax+ρ?,式(33)可等價變換成

利用Schur補引理,式(38)能夠獲得.采用相同的方法,式(34)亦可轉化成

利用引理3并將矩陣不等式(41)的左邊分別左乘和右乘對稱矩陣diag{I,P?1},從而能獲得式(39).根據定理1和定理2的相關內容,可得出閉環增廣系統(15)和系統(16)滿足性質1～4. □

注3.定理1和定理2是在LMI多目標優化的框架下,討論同時存在輸入飽和、外部擾動以及內部不確定性約束的H∞保性能控制器設計問題,其目的是保證閉環增廣系統(15)和系統(16)在任意時刻的穩定性以及魯棒性能.但由于在德拜媒質微波加熱過程中,離線的增益難以保證輸出跟蹤的精準性.為解決該問題,融合滾動優化的原理,利用每一采樣時刻的模型和狀態更新LMI優化問題并在線求解.因此,定理3摒棄傳統方法的保守性,充分利用受飽和輸入約束的控制性能,實現H∞性能指標γ的在線最小化,使得閉環系統的跟蹤性能在滾動時間域中達到最優.

從注3可以看出,將滾動時域的思想融入到H∞保性能控制器實現的關鍵則是合理選取采樣周期并在線更新模型參量以及增廣狀態.值得指出的是,LMI條件(39)中的常實數uopd并不能充分利用有限的控制量,難以主動提高系統性能指標并實現非對稱飽和約束.因此,下面給出滾動時域H∞保性能跟蹤算法的具體步驟:

步驟1.選擇合適的評價函數矩陣Q和R,并初始化LMIs條件(37)～(39),其中給定輸入約束邊界uopd=umax,初始跟蹤位置^z并獲取初始增廣誤差狀態變量sd(0).

步驟2.在初始時刻k=0,選擇合適的輸入增益u=u0,并將其代入到離散形式的有限維微波加熱ODE模型(9)和模型(10)中,然后k=k+1.

步驟3.在每一時刻k＞0,更新輸入矩陣Bsd、不確定輸入矩陣?Bsd、跟蹤位置、狀態變量?1),并定義輸入約束,接著再求解LMIs優化問題(36),獲取可行集(X1,Y1,γ1,ε1).

步驟4.判定是否滿足非對稱約束[0,umax];若滿足,將其代入到模型(9)和模型(10)中,并使k=k+1,轉到步驟3;若不滿足,更新約束邊界uopd=|u(k?1)|2.

步驟5.重新求解LMIs優化問題(36),獲取可行集,將控制器輸入代入到模型(9)和模型(10)中,并使k=k+1,轉到步驟3.

3 仿真實例

在本節中,上述提出的滾動時域H∞保性能跟蹤控制策略將會應用于一維微波加熱波導仿真模型以驗證其有效性,其原理如圖1所示.

圖1 微波加熱德拜媒質的詳細原理圖Fig.1 Detailed schematic diagram for microwave heating Debye medium

正如前面所述,本次仿真將會耦合無網格化熱動力學場與網格化電磁場.就熱動力學場來說,媒質內部的溫度升高不僅會加劇媒質內部的熱傳導,而且在邊界處與外部環境產生向外的熱對流.該類型的熱對流在上述推導過程中也被稱為非齊次的Neumann邊界條件.相應的熱動力學參數與邊界條件如表1所示.

表1 熱力學參數和非齊次Neumann邊界條件Table 1 Thermodynamic parameters and nonhomogeneous Neumann boundary condition

對于電磁場來說,首先假設均勻的TEM 波從媒質左側垂直入射,并且在右側邊界處發生透射及反射.由于介電特性隨溫度變化的特性,很難獲得一個明確的耗散功率表達式.為了解決該問題,可將空間坐標均勻分成m等份,再利用時域有限差分(Finite difference time domain,FDTD) 法求解下述已簡化的Helmholtz方程

圖2 相對介電常數∈′(T)和相對介電損耗∈′′(T)Fig.2 Relative dielectric constant∈′(T)and relative dielectric loss∈′′(T)

接下來,結合局部電場和介電常數,局部耗散功率Qabs(zi,t),i=1,2,···,m也能獲得.并利用線性擬合的思路,任意時刻的全局耗散功率Qabs(z,t)也能獲得.此外,通過前面的分析與計算,能容易地獲得在線輸入矩陣Bs.相反,所提出的有限維ODE模型能夠獲得全局的溫度分布以此來更新局部耗散功率.因此,所提出的電磁場和熱力學場耦合模型能夠用于描述圖1所述的微波加熱德拜媒質模型.

對于微波加熱長波導模型,其熱點必定會出現在離微波饋入口較近的區域.因此,可以假設6個傳感器分別置于0cm,0.25cm,0.5cm,1.0cm,2.0cm和3.0cm處,旨在為在線跟蹤選取合理的位置.進一步,假設模型的初始溫度為20?C,臨界溫度為100?C以及期望溫升曲線為

系統的輸入變量u(k)(即入射電場強度E20)需滿足如下飽和約束

為達到理想的跟蹤效果,取C1=1,α=250,u0=100V2/cm2,Q=5×10?4I,R=1×10?4I.并將本文提出的滾動時域H∞保性能溫度跟蹤算法作用于運用五階迦遼金截斷的微波加熱離散ODE模型,實現對監測點的最高溫度進行跟蹤,其結果如圖3所示.從圖3可以看出,所提出的跟蹤控制算法能夠有效地抑制有界的外部擾動和輸入的不確定性.但由于該類模型自身的特點,備選跟蹤位置的溫度能夠快速上升,并且能跟蹤上期望溫度.但是在恒溫階段,邊界的熱對流與內部的熱傳導效應必然會引起整體溫度的下降,因此,入射電場將會始終為正,并保持跟蹤位置的期望溫度,如圖4所示.結合圖3和圖4可以看出,在控制器時域硬約束的情況下,所提出的控制算法只能以犧牲動態性能為代價,以保證入射電場幅度不超過非對稱飽和的臨界值.進一步,同樣探究了加熱過程中媒質內部的全局溫度分布以及保性能函數,其結果如圖5和圖6所示.

圖3 監測點最高溫度與期望溫升曲線Fig.3 Maximum temperature rise curve in monitoring positions and reference temperature rise curve

圖4 入射電場強度Fig.4 Incident electric field intensity

圖5 全局溫度分布Fig.5 Global temperature distribution

圖6 保性能函數J的實際軌跡Fig.6 Actual trajectory for guaranteed cost functionJ

從圖5中可以看出,在1000s以內的加熱過程中,離微波饋入口越近的位置,電場強度較高,溫升速率必然更快,而離微波饋入口越遠的位置,溫升速率則更慢.因此,通過利用最高在線溫度跟蹤的方法能夠有效地抑制失控.此外,如圖6所示,在前20s的加熱過程中,需要快速地跟蹤上期望溫度,其入射電場增量及狀態變量的波動幅度較大,從而導致保性能函數也有較大幅度的波動.而在溫升過程中,雖然入射電場增量變動不大,但溫度譜及溫度誤差仍然有所增大,也會導致保性能函數逐步增加.但到恒溫階段,由于各類誤差逐步縮小,其保性能函數同樣也逐步趨于0.綜上所述,仿真的結果能進一步表明:所提出的H∞保性能跟蹤控制器能夠有效地解決微波加熱德拜媒質時最高溫度的跟蹤問題.

4 結論

本文主要針對德拜媒質微波加熱過程中熱失控抑制問題,研究了基于時空耦合機理模型的輸入受限魯棒跟蹤控制器的設計方法.以H∞增益和保性能函數為性能指標,在LMI多目標優化框架下,推導出滿足輸入受限H∞保性能跟蹤控制器存在的充分條件,并給出了滾動時域跟蹤控制的實現算法.通過德拜媒質微波加熱短波導仿真模型驗證了設計方法的有效性與可行性.