利用幾何畫板探究圓內外旋輪線的性質

趙雪嬌 宗法永 四川民族學院

現代多媒體教學技術的應用越來越廣泛，以黑板和粉筆為主的傳統教學模式也因計算機輔助教學軟件的運用變得越來越豐富。一個方便學生觀察、探索、實驗且操作簡單、功能強大、小巧便捷的數學軟件——幾何畫板，在幾何教學中起到很大的輔助作用。幾何畫板把傳統教學方法與現代教學輔助軟件結合起來，動態地表現相關對象之間的幾何關系，能將點的軌跡的形成直觀地展現出來。

點的運動軌跡是解析幾何學習中的重點和難點，對于抽象能力較差的學生，很難從已知條件中發現點的運動規律，更難進一步探索點的運動軌跡。解析幾何中“數”和“形”的運動規律和內在關系通過幾何畫板的各種功能完美地呈現在屏幕上，讓學生在點的軌跡的動態探索中培養抽象思維。本文利用幾何畫板動態作圖功能，探究不同半徑比值下圓內外旋輪線的性質。

1 圓內外旋輪線的動態作圖

（1）圓內旋輪線作法：

1）利用<數據/新建參數>選項，建立參數R=3.60厘米；r=1.20厘米；

2）利用<數據/計算>選項，計算R-r的值，將標簽修改為c；

4）任取一點O，以點O為圓心，R，c為半徑作同心圓c1，c2；

5）在圓c2上構造點A，以點A為圓心，r為半徑作圓c3（此時圓c3外切于圓c1）；

6）在圓c3上構造點P，選中點P、點A，利用<編輯/操作類按鈕/動畫>，構造動畫按鈕，在彈出的操作類按鈕動畫點對話框中修改動畫，點A以慢速逆時針方向環繞圓2，點P以慢速順時針方向環繞圓3，點擊確定；

7）選中點P，單擊<顯示/追蹤點>；

8）隱藏圓c2；

9）點擊動畫點按鈕，得到圖1。

圖1 R=3r時的圓內旋輪線

圖2 R=3r時的圓外旋輪線

（2）圓外旋輪線作法：

1）利用<數據/新建參數>選項，建立參數R=2.40厘米；r=0.80厘米；

2）利用<數據/計算>，計算R+r的值，將標簽修改為b；

4）任取一點O，以點O為圓心，R，b為半徑作同心圓c1，c2；

5）在圓c2上構造點A，以點A為圓心，r為半徑作圓c3（此時圓c3外切于圓c1）；

6）在圓c3上構造點P，選中點P和點A，利用<編輯/操作類按鈕/動畫>，構造動畫按鈕，在彈出的操作類按鈕動畫點對話框中修改動畫，點A以慢速逆時針方向環繞圓2，使點P以慢速逆時針方向環繞圓3，點擊確定；

7）選中點P，單擊<顯示/追蹤點>；

8）隱藏圓c2；

9）點擊動畫點按鈕，得到圖2。

2 圓內外輪線性質的探究

修改定圓半徑和動圓半徑時，圓內（外）旋輪線的分支數及動點的返回位置有所不同。

圖3 R=r時的圓外旋輪線

圖4 R=2r時的圓內旋輪線

圖5 R=2r時的圓外旋輪線

圖6時的圓內旋輪線

（4）m為無理數時，外旋輪線有無窮多個分支，動點運動后不返回起始點（如圖8）；

圖7時的圓外旋輪線

圖8時的圓外旋輪線

繼續探索不同大圓半徑R和小圓半徑r的比值，可得如下結論：

（2）當 時，圓內旋輪線為定圓半徑；圓外旋輪線有2個分支，每個分支和定圓交點與圓心O所成的夾角為180.°，動點P動點運動2圈后返回起始點；

金大定九年，王重陽云游至掖縣，掖縣武官人劉長生聞訊前來迎接。早在此年春，劉長生就在鄰家墻壁間，人所不及的隱秘處，看到二頌，其中寫道：“武官養性真仙地，須有長生不死人。”大字筆力雄勁，墨跡尚新。劉長生看后，心下頗感奇怪。此時與王重陽師徒相遇。重陽祖師相顧而笑，問道：“壁間墨痕，汝知之乎？”劉長生這才恍然大悟。于是提出拜師請求，重陽祖師仍取壁間語意，以長生為之號，處玄為之諱，通妙為之字。時劉長生年21歲，至此，邱、譚、馬、劉四大士始得相聚 。

至此世稱為“全真七子”的王重陽的七個弟子全部聚齊。

金世宗大定十年，王重陽去逝，享年58歲。馬鈺等將師父靈柩送回終南山，葬于劉蔣村茅庵，守墓三年乃去。全真七子四方傳道，并且各立支派，即：馬鈺遇仙派、丘處機龍門派、譚處端南無派、劉處玄隨山派、郝大通華山派、王處一全真派、孫不二清靜派。其中，又以丘處機及其龍門派影響最大。雖各創一派，但宗教思想和修煉方式大致相似，在他們的努力下使王重陽開創的全真道盛極一時。

全真道中所謂“全真”，就是全其本真，就是保全作為人性命之根本的精氣神三要素，使其不受染污。人的真心真性本來清靜無染，但世人皆被后天的物欲所迷惑，不能識得自心本性，因而流轉生死苦海，不得解脫。修行者若能在心地上做功夫，澄心靜慮，一念回光，識得自身真性，保持不亂，便可證得無形無相的法身，使精神超越生死之外。