基于最優脈沖的面內機動規避策略

蘇飛,劉靜,張耀,楊旭

(中國科學院國家天文臺,北京100012)

1 引言

隨著空間技術及商業小衛星的發展,空間碎片數量急劇增加、空間環境迅速惡化,根據最新資料顯示,目前在軌10cm以上空間碎片數量達到2萬個[1-3]。密集的空間碎片對航天器的在軌運行產生巨大威脅,急需制定策略應對航天器的危險交會,航天器軌道機動規避在躲避碎片碰撞時直接有效,受到航天機構及衛星運行商的廣泛關注[4-5]。航天器進行規避機動時,一方面需要考慮風險的消除程度,另一方面則需要分析機動對航天器運行的影響。

國內外學者對航天器機動規避的動力學與控制問題進行了廣泛的研究,同時根據不同的優化目標、優化算法提出多種機動規避策略,并對部分研究成果進行了飛行驗證。Chan[6-7]研究了一般推力得到碰撞概率和推力的解析表達,結合航天器軌道控制研究規避機動;Kim等[8]分析了基于遺傳算法的燃料消耗和機動時長,采用多目標優化求解碰撞規避機動策略;Bombardelli等[9-10]根據軌道機動規避動力學模型,推導了機動脈沖與碰撞概率的解析關系,通過拉格朗日乘子法得到固定脈沖的最優方向;Patera等[11-13]基于一維碰撞概率積分方法推導速度增量的最優解,采用兩體軌道積分代替高精度軌道積分研究碰撞規避機動策略;Kelly等[14]利用非線性規劃算法求解最小速度增量,得到最優的碰撞規避機動策略;Peterson[15]對近圓軌道提出了可以快速得到推力三維解的解析方法,利用梯度搜索算法找到最優解;王華等[16]基于碰撞概率分步求解機動方向和機動大小,在碰撞概率降低到安全值的前提下得到最優的避撞機動沖量;Gavin[17]利用根數長期項分析了初始軌道根數與危險交會點的關系,研究了衛星沖量對交會點的影響;Alfano等[18-19]研究了執行機動導致的額外風險和燃料消耗對航天器任務的影響。

目前多數已有研究成果在研究航天器機動規避時,主要基于數值法窮舉尋優,未關注計算效率問題,事實上危險交會往往具有突發性,對時效性要求較高。為了快速得到優化的規避脈沖,首先通過小偏差線性化等處理將高斯方程解析化,得到解析的軌道規避機動動力學模型,直接分析機動脈沖與航天器相對運動的線性關系。通過航天器位置協方差信息及交會平面的相對位置信息得到航天器危險交會的碰撞概率和交會距離,并采用固定脈沖的方式,快速得到最優機動方向,獲取不同時機下的最優脈沖。

2 規避動力學模型

2.1 建模假設

在空間物體碰撞預警過程中,如果危險交會的瞬時碰撞概率或交會距離大于安全閾值,經檢測確認為危險交會后,航天器需要進行機動來規避風險,保證運行安全。在執行規避時,很多空間環境的影響相對于機動量可以忽略不計,所以建模過程做如下假設:一是地球為質地均勻的球體,并忽略大氣阻力、太陽光壓等所有攝動力;二是機動脈沖為小量,機動后航天器到達危險交會點的速度大小及方向不變;三是交會物體位置誤差橢球固定,不隨機動變化;四是交會為短期交會,交會時航天器視為勻速直線運動,且不考慮姿態。

2.2 坐標系定義

相關動力學建模參照坐標系如圖1所示,其中OXYZ偏心率矢量坐標系,其原點O位于地球質心,X軸與航天器偏心率矢量eo重合,Z軸垂直于航天器軌道平面,且與航天器角速度方向相同,Y軸由右手螺旋法則確定;sxyz為航天器軌道坐標系,其原點s位于航天器質心,x軸由地心指向航天器質心,z軸與Z軸平行且指向相同,y軸由右手螺旋法則確定,三軸單位矢量分別為ex、ey、ez。

圖1 建模參照坐標系Fig.1 Reference coordinate system for modeling

2.3 機動動力學模型

如圖1所示,航天器在偏心率矢量坐標系的狀態矢量表示為

式中,eX和eY為偏心率矢量坐標系對應坐標軸的單位矢量;a為航天器軌道半長軸;E為航天器對應真近點角處的偏近點角;e為航天器軌道偏心率;r為航天器地心距;μ為萬有引力常數。

令E=Em,取慣性系內航天器機動點即真近點角為θm處的狀態rm、vm代入式 (1),求解方程式得

式 (2)中符號‖‖表示對矢量求模,將式(2)代入式 (1)得偏近點角為E處航天器的位置矢量r表示為

結合高斯方程,沖量使航天器軌道產生的瞬時變化為

式中,Δvx、Δvy、Δvz分別為沖量在航天器軌道坐標系三軸上的分量,h、p分別為航天器變軌前的軌道角動量和軌道半通徑,表示為

將航天器的狀態量代入式 (3),則航天器在機動點θm處機動前和機動后,運行到危險交會點的位置矢量r(Ec)、r′(Ec)分別表示為

式中,Δrx、Δry分別為航天器在軌道系中相應坐標軸的位置變化,由于航天器機動后,其偏心率矢量坐標系繞Z軸轉動Δω,將式 (6)、式(7)表示到機動前的偏心率矢量坐標系,則

其中

為了推導方便同時減小因量級的巨大差異引起的仿真失真,進行歸一化處理,定義

將式 (10)～式 (14)代入式 (9)并泰勒展開,由于脈沖大小遠遠小于航天器速度,省略高階項,推導過程不再贅述,這里直接給出表達式,得徑向距離的變化和沿跡方向的距離變為分別為[10]

式中

從動力學模型可以看出,在機動脈沖為小量時,航天器機動導致的距離變化可以簡化為航天器軌道參數的解析表達,與外推模型相比可以大大節省計算時間,并能得到機動大小與距離變化的等式關系,有利于模型的物理分析和控制參數選取。

3 航天器危險交會分析

航天器危險交會過程中通常采用交會距離判定法或碰撞概率判定法來判斷發生碰撞的可能性。碰撞概率判定法適用于兩星的定位誤差較大且有累積效應時,交會距離判定法則適用于能實時測量兩星相對狀態。

3.1 交會距離

航天器運行時,設s(t)為t時刻航天器s-1與s-2的相對位置矢量,則任意時刻t+Δt兩個目標的相對位置矢量為

其中vr=v1-v2,若t時刻兩目標間的距離最小,則有

根據式 (21)得兩目標距離最小時,其相對位置矢量和相對速度矢量互相垂直。定義交會坐標系,其三軸單位矢量分別為

航天器相對運動方向平行于x軸,交會平面(b平面)定義為y-z平面,則航天器危險交會關系描述為兩航天器在b平面的交會距離,航天器軌道坐標系到交會坐標系的轉換矩陣為

式中,α為危險交會點處s-2速度矢量v2在s-1軌道面投影與s-1速度矢量v1的夾角 (-π<α<π),且v2×v1·eZ>0時為正;β為v2在航天器s-1軌道面投影與v2的夾角 (-π/2<β<π/2),且v2·eZ>0時為正;B為v1與相對速度v1-v2的夾角 (0

交會距離為

3.2 碰撞概率

航天器在運行過程中位置誤差服從3維正態分布,并可以通過分布中心和位置誤差協方差矩陣描述。此時航天器間交會的碰撞概率均可表示為

式中,V為以一個航天器為圓心,兩個航天器包絡半徑之和ssum為半徑的球體;f(x,y,z)為高斯概率密度函數 (PDF),表示為

式中,se=(xbm,0,zbm)為b平面內兩航天器交會距離最小時的相對位置矢量;為相對位置s誤差協方差矩陣C的行列式值,假設航天器交會時為勻速直線運動,則積分球變為圓柱,在誤差協方差矩陣中選取與相對位置信息有關的部分得

此時碰撞概率表示為圓域內的積分

文獻 [7]提出一種不等方差PDF在圓域內積分問題的解決方法。通過將不等方差的等概率密度橢圓用與其面積相等的等概率密度圓代替,并用無窮級數表示二重積分,對式 (30)簡化得到碰撞概率的解析表示

其中u和v均為無量綱變量,表示為

4 最優規避分析

通過求碰撞概率/交會距離對于機動方向的梯度確定機動速度方向。

(1)交會距離最優問題描述為

機動方向可以通過梯度矢量D得到

式中,D表示為

由于碰撞概率/交會距離的梯度與機動脈沖大小不相關,對軌道面內的脈沖做如下變形

式中,為歸一化的機動脈沖大小,視為固定值;φ為脈沖矢量與軌道系x的夾角。此時交會距離的平方表示為

當確定交會目標的Ec、Em、e,最優交會距離值所需要的機動脈沖速度方向即為下式的解

(2)同理,碰撞概率最優問題描述為

機動方向可以通過梯度矢量D′得到

式中,D′表示為

此時碰撞概率相關系數描述為

當確定交會目標的Ec、Em、e,最優碰撞概率所需要的機動脈沖速度方向即為下式的解

5 仿真分析及校驗

根據上述理論建模與分析的結果,建立航天器規避機動數值仿真模型和航天器危險交會分析模型。為了驗證所設計的規避機動策略的有效性,本節利用美俄衛星碰撞事件為例進行仿真。Cosmos-2251和Iridium-33中,前者為俄羅斯的廢棄衛星沒有任何機動能力,后者為美國的在用通信衛星可以執行規避機動,選擇兩顆衛星碰撞前的各自最新的一組TLE根數,利用SGP4軌道預報模型,可知兩顆衛星TCA的參數如表1所示

表1 美俄衛星碰撞交會幾何參數Tab.1 Collision rendezvous geometry parameters of the US and Russian satellites

根據Cosmos-2251和Iridium-33的預報數據,相對位置s誤差協方差矩陣假設為對角協方差矩陣,其標準差在航天器相對運動切線方向為1km,在b平面內的兩個正交方向上為100m,此時在誤差協方差矩陣中與相對位置信息有關的部分為[9]

航天器機動規避過程需要考慮軌道維持要求,Iridium-33屬于低軌道衛星,受空間環境因素影響較大,在軌運行期間軌道衰減與星下點漂移現象明顯,需要定期進行軌道維持,以保證星下點相鄰軌跡的無縫搭接。圖2為航天器星下點軌跡保持環,即地面軌跡保持范圍及半長軸變化過程構成一個封閉的環。

圖3是航天器機動規避時不同機動提前量下的最優交會距離,從圖可得在提前量不是整數周期或不靠近整數周期時,提前機動時間越大,得到的最優交會距離越大;提前量為整數周期提或在其附近時,最優交會距離回落,稍有減小。

航天器執行機動規避時,通常需要考慮軌道維持,即需要在避碰的同時完成軌道抬高,所以在仿真過程中,取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖4是最優交會距離約束下航天器機動規避時不同機動提前量下的最優脈沖方向,從圖得航天器規避提前量在0到0.2周期時,最優脈沖方向收斂至180o(0o),提前量超過約0.2周期后,最優脈沖方向收斂至90o附近。

圖2 航天器星下點軌跡保持環Fig.2 Spacecraft ground track keeping ring

圖3 不同機動提前量時的最大交會距離Fig.3 Maximal rendezvous distances with different maneuver leads

圖5是航天器機動規避時不同機動提前量下的最優碰撞概率,與最優交會距離分析類似,從圖可得在提前量不是整數周期或不靠近整數周期時,提前機動時間越大,得到的最優碰撞概率越小;提前量為整數周期提或在其附近時,最優碰撞概率振蕩且稍有增大。

圖4 不同機動提前量時的最優脈沖方向Fig.4 Optimal pulse directions with different maneuver leads

圖5 不同機動提前量時的最優配置概率Fig.5 Optimal configuration probabilities with different maneuver leads

圖6 不同機動提前量時的最優脈沖方向Fig.6 Optimal pulse directions with different maneuver leads

取脈沖方向與軌道系x軸夾角為0≤φ≤π,圖6是最優碰撞概率約束下航天器機動規避時不同機動提前量下的最優脈沖方向,從圖得航天器規避提前量在0到0.25周期時,最優脈沖方向收斂至180o(0o),提前量超過約0.25周期后,最優脈沖方向收斂至90o附近。

6 結論

研究了航天器面內機動規避最優問題。針對高斯方程,利用小偏差線性化及泰勒展開得到軌道規避機動動力學模型,基于面內機動約束,在保證碰撞概率降低到最小值或交會距離提高到最大值的前提下得到最優的機動脈沖。為機動規避的工程問題提供支持。