基于Nuttall窗三譜線插值的介損角測量方法*

李媛，王海云

(新疆大學 電氣工程學院，烏魯木齊 830047)

0 引 言

在電力系統(tǒng)中，絕緣狀況關系到電力設備的安全運行[1]，尤其對于高壓設備，大多損壞都是由絕緣損壞造成的[2]。介質損耗(簡稱介損)是衡量電容型設備絕緣狀況的一個重要指標[3]，對介質損失角進行精確監(jiān)測與計算，為電氣設備故障診斷提供可靠依據，準確監(jiān)測電容設備絕緣情況為電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行提供重要保障。

對于介損角測量，目前主要有硬件法和數字測量，硬件法容易受外界條件干擾，容易造成誤差。數字測量應用最廣泛的是諧波分析方法。通過諧波分析方法得到電壓和電流基波相位值，計算出電壓電流兩者的基波相位差的余角即為介損角。基于FFT分析的諧波方法因其方便性得到廣泛應用。因為電網頻率具有波動，容易造成非同步采樣，產生頻譜效應和柵欄效應會給電壓電流參數的分析結果帶來誤差，從而影響介損角測量精度。通過加窗插值能夠抑制頻譜泄露和減少柵欄效應，從而提高介損分析精度。文獻[4]提出基于Hanning窗FFT介損測量方法。與直接采用FFT比較，介損測量結果精度有數量級的提高。文獻[5]提出基于Blackman窗介損測量方法。文獻[6]提出基于Kaiser窗雙譜線插值介損測量方法。文獻[7]提出基于Rife-vicent窗雙譜線插值介損測量方法。這些方法都在一定程度上提高了介損測量精度，且窗函數旁瓣性能越好，測量精度越高。為改善窗函數性能，一系列基于卷積窗函數介損測量方法被相繼提出。如Hanning卷積窗[8]，三角形自卷積窗[9]，和Blackman自卷積窗[10]。這些算法提高介損測量精度，但卷積窗的頻譜校正公式計算繁瑣。Nuttall窗具有良好的旁瓣特性，在諧波分析中計算各參數有較高的計算精度。文獻[11]將基于Nuttall窗雙譜線插值法用于介損分析，測量誤差為1.8e-4。文獻[12]提出加Nuttall窗五點變換法，較雙譜線插值法計算精度有所提高，但是需要進行離散頻譜重組，計算繁瑣。文獻[13]將基于Nuttall窗三譜線插值法應用諧波參數分析，比基于雙譜線插值法具有更高精度,三譜線插值法具有更高的精度。

為進一步提高介損測量精度，提出基于Nuttall窗三譜線插值介損測量方法。在頻率波動、諧波比例變化情況下，在MATLAB中進行仿真實驗。對比分析所提方法、加Nuttall窗結合雙譜線插值法和加三角形自卷積窗插值法這3種介質損失角計算方法的計算結果。同時分析在白噪音存在和采樣點數變化情況下所提算法測量介損時的誤差情況。

1 介損測量原理

電介損質原理圖如圖1所示。

圖1 電介質RC并聯(lián)聯(lián)/串聯(lián)等值電路

電介質等效電路可以由RC并聯(lián)模式和RC串聯(lián)模式兩種來等效[14]，圖1(a)為并聯(lián)等效電路和向量圖，圖1(b)為電介質等值電路變換串聯(lián)模型與向量圖。對于并聯(lián)模式，其中θ為通過電介質的電流與所加電壓間的相位角，即電路的功率因數角，δ為φ的余角，稱之為介質損耗角。如圖1(a)所示，由向量圖可得介損計算公式：

(1)

同理推導出對于串聯(lián)模式：

(2)

2 基于Nuttall窗三譜線插值法介損測量

2.1 Nuttall窗函數

Nuttall窗是一種余弦組合窗，它的時域表達式為：

(3)

式中M為窗函數的項數；n=1，2，3…N-1;am為系數且滿足約束條件：

(4)

根據am的不同，Nuttall窗函數具有不同的特性，表1列出幾種不同類型的Nuttall窗函數系數。

表1 Nuttall窗系數

Nuttall窗函數頻譜圖如圖2所示。

圖2 Nuttall窗的幅頻響應對比圖

由幅頻特性圖可知，四項三階的最大旁瓣峰值為-82.6 dB，旁瓣衰減速率為30 dB/oct。頻譜特性最為理想，因此選用四項三階Nuttall窗函數。

2.2 基于Nuttall窗的三譜線插值法

以單個信號為例x(t)以采樣頻率fs均勻采樣得到離散時間信號如公式(5)所示：

(5)

所加余弦窗函數的表達式：

(6)

xw(n)=x(n)·w(n)

(7)

進行離散傅里葉變換為：

(8)

式中Δf=fs/N。

(9)

W(k)為窗函數DFT表達式：

(10)

所以x(n)的DFT表達式為：

(11)

如果是同步采樣，k=f1/Δf為整數，因為電網的波動性，k往往不是一個整數，為了提高準確度，采用文獻[15]所提出的三譜線插值法來修正。該插值法利用諧波頻點附近的三根離散譜線幅值來確定諧波譜線的準確位置，充分利用了頻譜信息。較單譜線插值法和雙譜線插值法能得到更準確的諧波譜線位置，提高諧波分析精度。具體過程如下，選用峰值頻點附近三根信息量大的譜線y1，y2，y3用于修正，ε表示偏差。

y1=X(kα-1),y2=X(kα),y3=X(ka+1)

(12)

(13)

由多項式擬合得到與δ的關系式，由δ=α-1(ε)求得δ，由此可以得到幅值、頻率和相位的修正公式：

f=kΔf=(kα+ε)Δf

(14)

(15)

φ=arg[X(ka)]+π/2-επ

(16)

式(14)可以寫成A=N-1(y1+2y2+y3)ν(ε)形式。將4項三階Nuttall窗系數帶入式(10)，將所得表達式代入式(13)，通過多項式擬合可以推導出：

α=1.014 677 93β-0.085 167 55β3+

0.014 834 90β5-0.002 888 39β7

(17)

β=1.724 338 592+0.430 782 702α2+

0.057 559 982α4+0.005 698 372α6

(18)

2.3 基于Nuttall窗介損測量方法

對電壓電流信號加窗處理進行FFT分析，得到頻譜附近三根離散譜線，由公式(16)可以求得電壓基波相位φu0和電流基波相位φi0。則可以得到介損角δ的計算公式：

(19)

基于Nuttall窗的三譜線插值介損角測量過程如圖3所示。

圖3 介損角測量流程圖

3 MATLAB仿真分析

采用文獻[10]中的仿真電路和文獻 [16]中的電壓模型。本節(jié)采用串聯(lián)等效電路等效容性設備，電壓信號表達式為：

u(t)=220[sin(2πf0t+π/3)+

1.088%×sin(2π×3f0t+π/4)+

0.611%×sin(2π×5f0t+π/6)]

(20)

其中C=519.02 pF，R=22.67 kΩ。f0=50 Hz時，δ=0.004 209。為驗證該算法的準確性和有效性，在基波頻率波動，諧波含量變化，白噪音存在和采樣點數變化情況下分析介損角的測量誤差。

3.1 頻率波動對介損測量的影響

頻率在49.8 Hz～50.2 Hz之間波動，將基于Nuttll的雙譜線法，基于Nuttall窗三譜線法以及文獻[16]所提的基于三角形自卷積窗插值法用于測量δ，并將計算結果進行對比，采樣頻率為3 200 Hz，采樣點數為512。絕對誤差如圖4所示。

圖4 頻率波動對介損測量影響圖

由圖4可以看出，在相同條件下，所提算法誤差都小于3.58×10-8，與基于Nuttall窗雙譜線插值介損測量算法精度要高3個數量級，比三角形插值法要高1個數量級。且隨著頻率波動，對測量精度變化不大。說明在頻率波動的情況下，所提算法能克服頻率波動影響，具有有較高的精確度。

3.2 諧波分量對介損測量的影響

電壓、電流諧波信號中三次諧波占比重大，三次諧波與基波的比值在0～8%之間變化，基波頻率為50.2 Hz，測量的誤差如圖5所示。

圖5 3次諧波含量變化對介損測量影響

由圖4可知，當三次諧波含量變化時，所提算法均測量誤差小于4.8×10-8，與雙譜線相比提高3個數量級。比三角形自卷積窗精度高2個數量級。在諧波變化情況下，所提算法仍然具有較高的精確度。

3.3 白噪音對介損角測量影響

在實際電網中，噪音是不可忽視的，噪音會對諧波分析產生影響，從而影響δ的測量準確度。在信號加上信躁比不同的白噪音，分析在白噪音存在的情況下該算法對δ測量準確度。噪音具有隨機性，通過100次測量取平均值來降低測量誤差，誤差結果如圖6所示。

圖6 白噪音下介損角測量誤差圖

由圖6可知，信噪比不同情況下，介損角的測量精度不同。信噪比小，噪音強度大，測量誤差大。當信噪比大于60 dB時，均值誤差小于4.6×10-3。同時，由圖6可知多次測量取平均值能降低介損測量誤差。白噪音的存在，會降低測量精度，因此采取一定的去噪措施能提高介損角的測量精度。

3.4 采樣點數對介損角測量的影響

固定頻率為3 200 Hz，采樣點數分別取為256，512，1 024，2 048。測量介損角，誤差分析如圖7所示。

圖7 采樣點數對介損角測量的影響

采樣點數對介損測量誤差都小于1.57e-7,在點數增加，精度變化不大，采樣點數在512時，測量絕對誤差為3.06×10-8，已經具有較高精確度。當頻率一定時，選擇合適的點數即可得到較高的計算精度，同時能減少計算量。

由以上所有分析結果可知，所提算法測量介損角時，在非同步采樣情況下均有較高的精度。頻率波動，諧波含量變化，采樣點數變化測量精度均比較穩(wěn)定。在白噪音存在的情況下誤差稍有增大，因此，需要采取措施減少白噪音對測量的干擾。

4 結束語

研究了Nuttall窗的頻譜特性。結合三譜線插值法，將基于Nuttall窗三譜線插值法應用于介質損失角測量。在頻率波動，諧波含量變化，白噪音存在，采樣點數變化的況下分析介質損耗角的測量準確度。

仿真實驗結果表明：Nuttall窗具有良好旁瓣性，能減少頻譜泄露給介損測量的影響，三譜線插值法較雙譜線具有更高的計算精度。該算法能克服頻率波動和諧波含量帶來的影響。在白噪音存在的情況下能仍有較高的計算精度。且該算法易編程實現(xiàn)，可滿足電容型設備介損角在線監(jiān)測的要求。