基于一階徑向畸變算法的雙目攝像機多位姿標定方法

楊尚昆，王巖松，郭 輝，王孝蘭，劉寧寧

(上海工程技術大學 汽車工程學院，上海 201620)

0 引言

三維測量技術是機器視覺重要研究領域之一。三維測量過程中，攝像機標定精度直接影響被測量物體的測量精度[1]?；跇硕ㄎ锏臉硕ǚ椒硕蚀_度高且算法簡單而得以廣泛應用[2]。

基于標定物的標定方法主要有線性法[3]、非線性法和兩步法。線性法不考慮攝像機鏡頭畸變，用線性方法求解透視變換矩陣中的未知數。該方法計算速度快，但忽略了鏡頭非線性畸變，標定精度受到一定影響[4]。Weng等[5]提出的非線性標定方法考慮了攝像機的各種畸變模型，該方法標定精度高，但計算量大，且標定結果易受初始值選取的影響。另外，Zhang等[6]提出的標定方法也涉及到非線性優化問題的求解。Tsai等[7]在上述方法的基礎上提出了兩步法。該方法將線性法和非線性法相結合，能快速準確地計算出攝像機內、外參數[8]，但該方法只考慮了攝像機徑向畸變，且只能用于單目攝像機的標定。

為獲取被測量物體的深度信息，本文將側傾角ψ、旋轉角Ф、俯仰角θ引入兩步標定法，并由此推導出一種基于一階徑向畸變(Radial Alignment Constraint, RAC) 標定法的雙目攝像機標定公式，為不同位姿下的雙目攝像機標定提供了一個新思路。通過誤差分析和三維重構實驗，表明該種標定方法不但簡單快速，且標定精度較高，可以滿足雙目攝像機標定需求。

1 攝像機模型

攝像機模型是光學成像幾何關系的簡化，可分為線性模型和非線性模型。當計算精度要求較高時,線性模型并不能準確地描述其光學成像關系。尤其是在遠離圖像中心處會出現較大的徑向畸變、切向畸變和偏心畸變[9]。其中，徑向畸變是影響機器視覺標定與測量精度的主要因素?？紤]RAC的攝像機模型是對針孔攝像機模型的修正[10]，其核心是利用一階徑向排列約束來求解攝像機的外參數，然后再求解其他參數?；赗AC的攝像機標定法所使用方程大部分是線性的，降低了參數求解的復雜性。RAC攝像機模型如圖1。

圖1 RAC攝像機模型

假設存在投影點P的物理空間坐標為(Xw,Yw,Zw)，P在攝像機坐標系中的三維坐標為(X,Y,Z)，矢量L1、L2的方向相同，Oi是圖像中心。(X,Y)是中心Oi點且平行于X、Y軸的圖像坐標系，(Xu,Yu)是在理想小孔攝像機模型下投影P點的圖像坐標,(Xd,Yd)是由透鏡變形引起的偏離(Xu,Yu)的實際圖像坐標。物理空間坐標與攝像機空間坐標變換關系如式(1)所示：

(1)

其中：T為3×1的平移矢量矩陣，R為3×3的正交變換矩陣。

小孔攝像機模型下的理想投影變換關系[11]如式(2)所示：

(2)

用二階多項式近似表示徑向透鏡畸變方法[12]如式(3)所示：

(3)

從實際圖像坐標系到計算機圖像坐標系變換方法如式(4)所示：

(4)

其中：(Xc,Yc)為圖像中心坐標，(Nx,Ny)為圖像平面上單位距離上的像素點數。

2 雙目攝像機多位姿標定

雙目攝像機標定目的是獲取攝像的內外參數。內參數主要包括透視變換A、徑向畸變K，外參數由和旋轉矩陣R和平移矩陣T構成。

2.1 選取參數

旋轉矩陣R、平移矩陣T表示方法如式(5)和式(6)：

(5)

(6)

由式(1)、式(5)和式(6)可得式(7)：

(8)

RAC條件意味著存在式(9)所示方法：

(9)

式(9)移項后兩邊同除以Ty，如式(10)所示：

(10)

將式(10)表示為矢量形式，如式(11)所示：

(11)

即選取7個點使系數矩陣滿秩，就可解出列向量中的7個分量。

旋轉矩陣R共有9個參數，但其正交性規定了R僅有3個自由度,即僅有3個變量是獨立的。式(11)可解出r1、r2、r4、r5共4個獨立變量,而正交陣加上一個比例(1/Ty)也有4個獨立變量。故當方程數大于4時，可確定旋轉矩陣R以及平移分量Tx、Ty。

2.2 雙目攝像機多位姿標定實驗

2.2.1 采集標定模板圖像

雙目攝像機的標定需要一個標定參照物,并由此計算攝像機的內外參數[13]。標定模板采用角點數為12×13的棋盤，棋盤格大小為30 mm×30 mm，角點拾取窗大小為5×5。為確保實驗的精度,每個攝像頭捕捉25張圖像來進行標定工作，如圖2。

圖2 標定板圖像采集

2.2.2 提取標定模板角點

拾取標定模板角點，根據提取到的角點位置，計算各棋盤格中心位置，如圖3。

通過標定模板角點提取可得到每個棋盤格特征點的圖像坐標(Xfi,Yfi)(i=1，2，…，N)。設特征點對應世界坐標為(Xwi,Ywi)，由式(4)可得到由透鏡變形而引起偏離理論位置的實際圖像坐標[14]，如式(12)所示。

(12)

聯立式(11)、式(12)可得式(13):

(13)

利用最小二乘法求解這個超定方程組(N>4)可得如下變量r1′=r1/Ty，r2′=r2/Ty，Tx′=Tx/Ty，r4′=r4/Ty，r5′=r5/Ty。

(r1r5-r2r4)2=cos2θcos2φ

(14)

故有式(15):

(15)

以及式(16)

(16)

利用正交性和右手系特征[15]可計算R為：

(17)

其中：S=-sgn(r1r4+r2r5),r7、r8、r9可根據矩陣的正交性由前兩行數值解得。

圖3 角點提取

2.2.3 求解參數

在標定過程中，攝像機的內部參數是不變的，即無論攝像機從何種角度獲取棋盤格標定板圖像，其標定出的攝像機內部參數皆為常數。而攝像機的外部參數會隨著標定板的空間位置發生相應的改變，其值表示了攝像機坐標系相對于圖像坐標系的空間位置及姿態。實驗所用雙目攝像機存在一定的傾斜角和旋轉角，實驗所用標定板在相機坐標系及世界坐標系下的相對位置關系如圖4。

圖4 攝像機與標定板位置還原圖

通過獲得標定板在攝像機坐標系下的相對位置關系及世界坐標系下的相對位置關系，可分別計算出左右攝像機的外參數[16]，以此建立攝像機坐標系、圖像坐標系以及世界坐標系之間的關系。

對每個特征點Pi計算其Yi和Zi值，存在式(18)：

(18)

若設Qi=r7Xwi+r8Ywi，則有式(19)：

Yui/f=yi/zi

(19)

展開得Yfi-YuiTz=YuiQi

而Yui=(Yfi-Yc)/Ny，則可得式(20)：

(20)

將上式用矩陣表示為式(21)：

(21)

其中i=1,2,…,N。由式(21)可分別求出有效焦距f和平移分量Tz,然后將所得值代入非線性方程組式(22):

(22)

由式(22)可計算得出f、Tz、k的精確值。至此，多位姿雙目攝像機的內外參數皆可確定。

采用基于RAC的雙目攝像機多位姿標定方法進行標定，分別求出左右攝像機外部參數。

左攝像機旋轉矩陣：

左攝像機平移矩陣：

右攝像機旋轉矩陣：

右攝像機平移矩陣：

確定外參數后，將所求的外參數值代入推導出的多位姿攝像機標定線性求解公式，即式(21)和式(22)中，可求得左右相機內部參數。

左攝像機有效焦距：

左攝像機光學中心：

左攝像機垂直徑變：

kl=-0.095 63

右攝像機有效焦距：

左攝像機光學中心：

左攝像機垂直徑變：

kr=-0.095 47

2.3 標定誤差分析

求取雙目攝像機內外參數值之后，可通過標定結果重投影誤差分析[17]驗證基于RAC算法的雙目攝像機多位姿標定效果。利用基于RAC算法的雙目攝像機多位姿標定方法所得標定結果再投影誤差如圖5。

圖5 再投影誤差

從再投影誤差圖看出，所得誤差點分布范圍在[-0.3,0.3]，誤差點分布較為集中，這說明利用基于RAC算法的雙目攝像機多位姿標定線性求解公式所得標定結果較為理想。個別投影誤差點數值較大，考慮是由于可定誤差所引起的，屬于雙目攝像機標定過程中的正?，F象[18]。

3 三維重構實驗

為了進一步驗證標定效果，對多張連續采集的人耳圖像進行動態識別和立體匹配，得出三維重建結果，并對三維重建后的測量結果進行分析。某一時刻左、右相機檢測的人耳圖像中心坐標如圖6。

圖6 人耳區域提取結果

從左、右相機人耳檢測圖可以得出左、右相機人耳圖像的中心坐標。利用雙目相機標定結果求出視差圖，最終求得乘員耳側空間坐標定位結果?；谧鴺俗R別結果，繪制乘員耳側坐標動態識別軌跡與實際運動軌跡，如圖7。

圖7 乘員耳側運動軌跡

由圖7可以看出，動態識別結果與實際運行軌跡趨勢相同，測量誤差在1 mm以內，軌跡重合率為96%。再次驗證了基于RAC算法的雙目攝像機多位姿標定方法對提高標定精度以及后續測量精準度具有積極性影響。

4 結語

針對傳統兩步標定法只考慮徑向畸變，且不能用于三維測量的現狀，本文對RAC多位姿雙目攝像機標定方法進行了研究。首先，根據雙目立體視覺實際測量需求，選擇了系統所需的雙目攝像機的內參數和外參數；其次，在徑向排列約束兩步標定方法的基礎上，將側傾角、旋轉角以及俯仰角引入RAC標定法中，并由此推導出基于RAC算法的雙目攝像機多位姿標定方法的線性求解公式；最后，利用此線性求解公式求出了雙目攝像機內外參數，完成了對雙目立體視覺系統的標定工作。通過對標定結果的重投影誤差分析和三維重構實驗測量誤差分析，對此次標定精度進行驗證。重投影誤差結果和三維測量實驗結果表明，改進后的基于RAC算法的雙目攝像機多位姿標定方法標定精度較高，能夠滿足雙目攝像機標定與三維測量時的實際精度需求。