電磁軸承支承下軸系轉子模態及振動響應分析

任正義，周元偉，黃同，祝傳鈺，劉子晗

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電磁軸承支承下軸系轉子模態及振動響應分析

任正義1，周元偉2，黃同2，祝傳鈺2，劉子晗2

（1.哈爾濱工程大學 工程訓練國家級實驗教學示范中心，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

為得到電磁軸承支撐下軸系轉子的模態頻率分布位置及不平衡振動響應規律，以600 Wh飛輪儲能系統為研究對象，采用控制變量法分析磁軸承剛度與阻尼隨控制參數的變化規律，進而確定電磁軸承支承的邊界條件。以此建立軸系轉子的有限元模型，利用ANSYS軟件縮減阻尼法求取軸系固有頻率點及振型；而后以轉子不平衡量為體載荷，通過諧響應分析方法得到軸系的穩態不平衡響應曲線，分析其規律。最后進行系統充電實驗。研究表明：軸系的固有頻率分布在工作轉速區域之外；在質量不平衡作用下軸系的位移響應隨激振頻了升高而降低；實驗結果與前述分析基本一致，說明研究方法有效可行。

軸系轉子；模態分析；諧響應分析；充電實驗

人類社會的高速發展帶來了全球性的能源緊張問題，儲能飛輪系統因其儲能性能良好、能量轉換率高以及對環境友好無污染等眾多優勢逐漸成為國內外工程學術界的研究熱點，其已逐步應用于改善太陽能、風能的存儲，航空航天器材的能量供應，區域電力質量的優化與電網峰谷調節，新能源油電混動汽車，不間斷電源（UPS）等多個能源有效利用方面[1]。

飛輪儲能系統是一種采用繞定軸旋轉的飛輪裝置把輸入的外網電能轉變成機械能形式儲存并能再次還原成電能用以輸出的裝置[2]。其中有關軸系固有頻率分布及振動響應問題是開展研究的基礎同時也是問題的核心。飛輪轉子為適應儲能量的要求通常體積較大、轉速較高，若不能對其運行狀態下的力學特性做全面的掌握則通常會帶來一系列安全隱患。

歐美等發達國家于二十世紀五十年代附近開始有關飛輪儲能領域的研究，而國內方面則是在二十世紀末開始相關探索。在本文所討論的軸系固有頻率求解以及相關振動響應方面，學術界普遍采用傳遞矩陣、有限元等經典算法，同時應用其相關改進算法。其中利用ANSYS進行軸系轉子的模態以及諧響應分析是一種能夠在充分考慮復雜轉子模型的同時又具有較高計算精度的方法。

王永亮等提出轉子系統的相似準則，并利用ANSYS分別對單盤、多盤轉子進行有關臨界轉速的相似性論證[3]。李松生分析了主動磁軸承線性支撐剛度；并依據有限元法進行了有關電動機軸系固有頻率分布的求解[4]。繆紅燕等利用有限元方法依托Jeffcott轉子模型進行不平衡響應相關研究[5]。李聰等對剛性離心機轉子進行響應分析，得出動平衡依據[6]。甕雷考慮陀螺效應對經典轉子模型進行模態及響應求解，得到不平衡力大小的影響關系[7]。

然而以上這些研究大多停留在對經典模型的理論分析上面，其研究對象大多為Jeffcott經典轉子或是長軸轉子實驗平臺，缺乏對真實的具有復雜結構轉子的特性分析；對于轉子的振動響應分析也大多集中在研究不同激勵大小時系統響應的變化規律上面，并沒有探究激勵力的來源及其具體真實的影響。縱觀整個發展過程，國內研究仍相對落后，研究模型相對簡單而理論研究也缺乏數據支撐。基于此，以600Wh飛輪儲能系統樣機為研究對象，考慮實際轉子的復雜結構及裝配條進行實體有限元建模，對軸系轉子進行模態求解以及諧響應分析，并通過樣機實驗現象對分析結果作出驗證。

1 系統結構組成

課題組自行研制的600Wh飛輪儲能裝置的典型結構包含軸系飛輪轉子、磁懸浮支承系統、電動/發電一體機設備、控制回路系統、基座支撐部分等幾大模塊[8]。二維剖面如圖1所示。

圖1 儲能飛輪整體結構布局圖

工作時，系統通過電機驅動器與電網相連，電發一體機帶動軸系轉子旋轉升速，降速時則被其帶動，以此實現能量的轉化過程。整個軸系轉子在主動電磁軸承支撐條件下實現無接觸懸浮。采用電磁軸承形式是系統實現高轉速、主動控制以及減小能量耗損的關鍵。磁軸承支承參數對轉子的動力學特性有至關重要的影響，因此為建立軸系轉子的有限元模型，必須要明確其支承特性條件，這是求解轉子固有頻率分布及振動響應問題的前提基礎。

2 系統動力學模型及相關分析理論

2.1 電磁軸承支撐邊界條件明確及模型建立

樣機電磁軸承本體結構形式如圖2所示。采用八磁極形式，兩個相互構成一對。軸承工作時可在被控轉子、氣隙以及軸承定子之間形成閉合磁路，繼而產生電磁力控制轉子行為。

考慮控制回路參數與系統振動方程，可得電磁軸承系統等效剛度與阻尼的表達式為：

式中：k＝-1.44×106N/mm，為位移剛度系數；k＝174 N/A，為電流剛度系數；K＝0.01 A/V，為功放增益；K＝2.2 V/mm，為渦流傳感器增益；K＝0.001，為積分系數；K＝0.002，為微分系數；K＝0.006，為比例系數；T＝10-4s，為控制器之后時間常數。

依據式（1）關系，圖3給出采用控制變量法得到的磁軸承等效剛度與阻尼隨控制參數變化的規律曲線。

在最大工作轉速一定的條件下，樣機電磁軸承支承特性與控制參數有關并在一定范圍內可實現主動調節，具體邊界區間為剛度0～1.7×107N/m、阻尼0～2.2×104Ns/m，如圖3。

圖2 磁軸承本體設計

圖3 不同控制參數引起的剛度和阻尼特性變化曲線

分析圖3還可得到控制參數對等效剛度和阻尼影響規律：等效剛度隨K、K的增大而增大；等效阻尼隨K增大而減小、隨K的增大而增大；而K對剛度和阻尼的影響并不明顯[9]。

建立空間五自由度軸系轉子動力學模型如圖4所示，軸系轉子的幾何中心點也是坐標原點。

式中：為質心，m；F、F為徑向電磁力，N，其中1x、1x代表上軸承，2x、2x表示下軸承；M、M為平面、平面上的力矩，N·m；1、2為上、下軸承與的距離，m；1、2為上、下軸承等效剛度，N·m；1、2為上、下軸承等效阻尼，N·s/m；J為極轉動慣量，kg·m2；J為赤道轉動慣量，kg·m2。

圖4 剛性轉子的模型

2.2 模態求解及諧響應分析理論

模態分析是一種可在研究對象自由振動條件下分析其線性振動特性的技術，其分析結果包括結構的各階模態特有的振動頻率以及相應振型[10]。系統振動模態是結構的固有特性，采用模態分析方法計算軸系轉子固有頻率分布情況即是對其進行模態提取過程。其分析原理是對無阻尼系統進行特征值求解，結構自由振動方程為：

可得：

式中：為固有頻率，其平方項是式(4)的特征值，特征向量為其所對應的振型。

諧響應分析是一種針對于可線性化結構在承受隨時間變量呈簡諧規律變化的體載荷時的振動響應研究的分析方法。通過計算研究對象在多重頻率下的響應值來繪制頻率－響應曲線，以此預估系統結構的持續動力性能。可驗證系統結構疲勞、共振及相關振動情況。諧響應分析以簡諧載荷為輸入，其形式包含力、位移及加速度多種，輸出響應位移及其相關值。諧響應計算分析忽略結構中的非線性部分以及施加載荷瞬間的響應[11]。其本質是對結構受迫振動方程的求解。物體受迫振動方程為：

式中：為阻尼矩陣；()為力矢量陣；0為力載荷幅值。

3 軸系模態分析

應用ANSYS WorkBench對軸系轉子系統的模態求解過程，可分為模型建立、分析類型與參數設立、施加載荷與邊界條件并求解及結果評價分析四個過程。首先在SolidWorks中完成軸系轉子三維實體模型建立（圖5），并對各部件按相互關系完成裝配，利用WorkBench聯合仿真接口導入完成模型建立工作。

圖5 軸系轉子三維模型

完成軸系各部件的物理參數設置，進行軸系轉子網格劃分，如圖6所示。并添加邊界條件，以Body-Ground選項卡中Spring彈簧單元模擬電磁軸承支承條件。根據控制系統參數設定彈簧單元的剛度為1 MN/m、阻尼系數為1 kNs/m。求取模態數目為10，在轉子動力學控制選項中打開科里奧利效應，設置8階速度節點，繪制系統的Campbell圖，如圖7所示。

圖6 轉子模型網格劃分

圖7 軸系轉子Campbell圖

圖7中曲線為轉子渦動頻率隨轉速的變化曲線，過原點且斜率為1直線與其他曲線交點為臨界轉速點，即容易發生共振的不穩定轉速。

運行求解程序得到軸系轉子的前四階固有頻率為：29.473 Hz、55.982 Hz、456.81 Hz和625.89 Hz。系統設計工作轉速區間為5000～15000 r/min，處于軸系轉子二、三階固有頻率之間且距兩端均有一定距離，滿足設計要求，能有效規避共振風險。各階振型云圖及坎貝爾圖形如圖8所示。

分析振型云圖可知系統一階振型表現為圓盤轉子處的振動幅值高，其振幅沿主軸方向隨距離中心飛輪的距離增加而減小。即總體表現為軸系中部飛輪處的振動幅值大而兩端幅值小，這稱為轉子的一階平動振型。

轉子二階固有頻率振型表現為兩端的振動幅值較大而飛輪處的振動幅值較小，且飛輪轉子各部位變形差距較大，此時對應系統的二階錐動振型。對于本立式結構軸系轉子，此時轉子形態表現為主軸傾斜、質心位置發生偏移。由于轉速更高，不平衡產生的離心力也更大，轉子的擺動更加強烈。因此升速過程中，轉子能否安全穩定地越過系統第二階固有頻率區域是軸系結構以及控制系統設計的關鍵考量。

圖8 軸系轉子的前四階振型云圖

軸系前兩階振型圖中轉子并未出現大規模彎曲，仍能近似保持剛性轉子的特性，而系統的第三、第四階振型表明系統會因剛性不足發生彎曲，此時的振型為彎曲振型，軸系結構已經破壞，無法完成既定工作。通過前述計算分析可知系統三階固有頻率為456.81 Hz，已遠遠超出了系統的設計工作轉速范圍，故三、四階固有頻率對軸系的影響可忽略，此處不做研究。

4 軸系諧響應分析

4.1 軸系不平衡量計算

以ANSYS諧響應分析來計算軸系轉子的不平衡響應，首先必須明確載荷的具體形式，即不平衡量的大小及分布。然而真實的軸系轉子結構較為復雜、存在多種工藝誤差，這就造成其質量分布規律未知且難以測量。因此為研究開展，此處在軸系有限元模型上添加偏心質量模擬軸系不平衡，以動平衡精度為依據計算不平衡量的許用值及偏心距。并以此為載荷進行諧響應分析。

根據動平衡精度理論，有：

式中：為軸系總質量；m為允許不平衡量；為動平衡精度；為軸系校正半徑；為轉子轉速。

代入600 Wh儲能飛輪軸系轉子設計參數：動平衡精度2.5、設計最高工作轉速15000 r/min、軸系轉子總質量為54 kg、校正半徑180 mm，可得轉子的最大剩余不平衡質量為0.24 g，偏心距為1.59 μm。

軸系轉子因質量偏心所產生的力為：

式中：為不平衡質量；為偏心距。

離心力在轉子軸截面兩相互垂直的方向、上的投影分別為：

式（8）表明軸系轉子因質量不平衡產生的激振干擾力可近似為作用在其某一軸截面上兩垂直方向的簡諧力F和F的合成，二者幅值相等，相位相差90°。因此可利用諧響應分析方法來計算分析軸系轉子的質量不平衡響應，以兩個呈簡諧規律變化的分載荷來表示不平衡質量所產生的離心力。以此得到軸系振幅－頻率響應曲線。考慮最大工作轉速15000 r/min，于是載荷幅值為0.001 N可依此施加載荷F、F求得軸系轉子的諧響應。

4.2 軸系轉子諧響應分析

利用WorkBench模態疊加法進行諧響應求解分析的主要流程為：創立諧響應分析模塊并建立有限元模型、獲取模態解及其振型、加載諧響應載荷、模態疊加諧響應分析求解以及查看結果與后處理[12]。設定頻率求解范圍為0～250 Hz，運算次數為“500”，即每次求解間隔0.5 Hz。在軸系飛輪轉子軸截面中的兩個垂直方向上添加簡諧激振力，其幅值為0.001 N，相位分別為0°和90°。

分別取飛輪、上、下軸承處為響應面，以位移響應的最大值為縱坐標、以激振頻率為橫坐標，得到諧響應仿真曲線如圖9所示。

分析位移響應－頻率曲線可發現：軸系轉子響應曲線在激振力頻率29.5 Hz和56.5 Hz處明顯出現兩個波峰，剛好對應系統前兩階固有頻率分布位置。此時系統發生共振，響應幅值驟增。這符合系統的動力學特性，證明對系統固有頻率計算的準確性。由于此時不平衡振動響應劇烈，系統面臨安全隱患，應避免工作轉速接近這一區域，而在升速充電過程中則應快速通過這一振動帶。

激振在軸系轉子三個重要位置處引起的響應基本一致，飛輪處略大，在29.5 Hz時達到峰值0.25 μm。系統在第一階固有頻率附近的響應幅值要大于第二階固有頻率附近，說明在激振力幅值大小相同的條件下，轉子運行于一階固有頻率區間時振動響應較大。諧響應曲線在越過前兩階固有頻率后表現出隨激振力頻率的提升而下降的趨勢，即由不平衡力引起的干擾振動隨頻率的提升而衰減。此時進入系統工作轉速區間，其穩定性裕度也逐步提高。由于因質量不平衡而引起的激振力的頻率與轉子轉速成正比，所以圖9也可定性地表明系統在升速過程中的振動響應趨勢。

上述分析以在動平衡精度2.5條件下的算得的最大許用不平衡量處于最大工作轉速運轉時產生的不平衡力為載荷，響應曲線表明在其作用下軸系轉子的位移響應幅值為10-7m數量級，極其微小，說明軸系的運行穩定性良好，軸承轉子與定子之間不會發生碰撞。研究所采用的載荷為因質量不平衡引起的峰值，實際運行過程中轉子該不平衡離心力為轉速的函數，時刻小于峰值。這確保了轉子的不平衡響應在允許范圍內，說明所設計系統結構具有良好的穩定性裕度。

5 實驗分析驗證

為驗證前文得出的軸系轉子的固有頻率分布位置及振動響應規律，進行600Wh飛輪儲能系統充電升速實驗。通過布置在軸系轉子周圍的位移傳感器來實時監控軸系振動的變化情況。實驗方案及實體圖如圖10、圖11所示。

圖9 諧響應曲線

圖10 實驗方案原理圖

圖11 實驗樣機實體圖

如圖12所示，實時觀測示波器上振動信號波形發現：靜態懸浮時，軸系轉子無徑向的振動位移，波形保持為一條直線。啟動加速后，波形開始顯現簡諧規律。當轉速在1900 r/min以及3500 r/min附近時波形急劇變化，出現波動紊亂、振動加劇表現，說明該轉速可能為軸系固有頻率分布位置。系統通過相關區域后波形明顯回穩并再無加劇趨勢，轉速達到8000 r/min以上時波形已幾乎接近直線，這說明轉子達到了相對的穩定狀態。振動波形的整體變化趨勢與振動諧響應分析相吻合，工作區域內轉子的運行穩定性隨轉速提升而增加。實驗結果證明了前文模態求解及諧響應分析方法的有效性與合理性。

6 結論

本文以確定電磁軸承的支撐條件為前提，運用聯合仿真建立了600Wh飛輪儲能系統軸系轉子有限元模型，進而求解了軸系轉子的模態頻率及振型，分析其在諧載荷作用下的振動響應規律，同時進行了系統升速實驗。得到以下分析結論：

（1）軸系轉子的電磁軸承支承特性隨控制參數改變，等效剛度特性隨K、K的增大而增加；阻尼特性隨K的增大而減小、隨K的增大而增大；K對二者影響不明顯；且等效剛度與阻尼在固定范圍內可實現主動調節，其邊界條件分別是0～107N/m、0～104Ns/m。

（2）600Wh樣機軸系轉子的模態頻率分別為29.473 Hz、55.982 Hz、456.81 Hz和625.89 Hz，工作轉速不在固有頻率區間內，可有效避免系統發生共振。

（3）在軸系轉子不平衡量作用下，當激振頻率達到29.5 Hz及56.5 Hz時軸系會發生共振，位移響應幅值達到0.25 μm。當激振頻率超過前兩階固有頻率并處于工作轉速區間時，整體位移響應曲線將表現為快速衰減趨勢，此時激振頻率越高，響應幅值越小，系統具有良好的動態特性。

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Analysis of Rotor Modal and Vibration Response of Shaft System Supported by Electromagnetic Bearings

REN Zhengyi1，ZHOU Yuanwei2，HUANG Tong2，ZHU Chuanxi2，LIU Zixi2

( 1.Engineering Training Center, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2.College of Mechanical and Electrical, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China )

In order to obtain the modal frequency distribution and unbalanced vibration response of the shaft rotor supported by electromagnetic bearing, take the 600Wh flywheel energy storage system as the research object, using the control variable method to analyze the variation law of the stiffness and damping of the magnetic bearing with the control parameters. Then determine the boundary conditions of electromagnetic bearing support. In this paper, the finite element model of the shaft rotor is established, and the natural frequency point and vibration mode of the shaft are obtained by ANSYS software. The static imbalance response curve of the shaft system is obtained by the harmonic response analysis method. Finally, the system charge experimentis carried out. The research indicates that the natural frequency of shaft is located outside the working speed area. and the displacement response of the shafting system under the unbalance of mass is decreased with the increase of excitation frequency. The experimental results are consistent with the previous analysis, which shows that the research method is feasible.

rotor shaft；modal analysis；harmonic response analysis；charging experiment

TH133.3；O313.7

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.09.004

1006－0316 (2018) 09－0020－09

2018－04－12

國家高科技發展計劃（863計劃）資助項目（2013AA050802）

任正義（1962－），男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，教授、博士生導師，主要研究方向為艦船聲隱身技術和飛輪儲能技術集成研究。

通訊作者：周元偉（1989－），男，山東日照人，碩士研究生，主要研究方向為飛輪慣性儲能關鍵技術。