基于遺傳算法的FSC賽車轉向梯形設計及優化

章文忠，李健，徐生明，陳飚，張眾華

(四川交通職業技術學院機電工程系，四川成都 611130)

0 引言

中國大學生方程式汽車大賽(簡稱“中國FSC，Formula Student China”)是一項由中國汽車工程學會組織國內汽車相關專業在校學生參加的汽車設計與制造競賽，是培養中國汽車工程師的搖籃。經過八年的賽事積累，中國大學生方程式賽車的綜合性能不斷增強，提升賽車動態性能逐漸成為賽車底盤開發設計中的重點、難點。傳統的阿克曼轉向幾何理想模型中假定輪胎為剛體，從運動學的角度近似地保證了車輛在曲線行駛過程中4個車輪圍繞同一瞬心進行純滾動，可有效減少輪胎磨損并保證輪胎磨損的一致性，提高車輛輪胎的使用壽命[1-2]。但方程式賽車為了提高輪胎和賽道之間的黏著系數，廣泛使用較軟的光頭輪胎，其側偏剛度小于傳統車輛，因此在賽車阿克曼轉向幾何的設計中應當考慮輪胎側偏角的影響，而各參賽車隊在轉向梯形的設計和優化中很少考慮輪胎側偏角。本文作者立足于提升賽車動態性能和降低輪胎磨損，以賽車動力學理論為基礎進行賽車轉向運動學設計，分別推導了基于剛體輪胎和考慮輪胎側偏角的阿克曼轉向理想模型，并以此為目標函數，建立了基于遺傳算法的轉向梯形斷開點優化模型，最后在ADAMS/Car中建立了賽車虛擬樣機，并對兩種優化后的轉向梯形模型進行了仿真與分析。

1 阿克曼轉向理想模型

1.1 基于剛體輪胎的阿克曼轉向模型

傳統的阿克曼轉向模型假定賽車轉向時速度很慢，一般在5 km/h以下，其側向加速度很小，可忽略輪胎側偏角，因此在阿克曼轉向模型中將輪胎視為剛體。如圖1所示，在賽車轉向過程中，為了使各個車輪都處于純滾動狀態，則要求所有輪胎都繞同一個瞬時轉向中心作圓周運動，在忽略輪胎側偏角的情況下，輪胎的速度方向與輪胎平面平行，因此轉向瞬心就是賽車后軸的延長線與前軸輪胎旋轉中心線的延長線的交點O。結合賽車基本參數，可得賽車前軸內、外車輪轉角與車輛軸距、輪距之間的理想關系，如式(1)所示。目前這種阿克曼轉向理想模型被各參賽車隊普遍采用， 并用于優化轉向梯形的硬點位置參數。

(1)

式中：L為賽車軸距；A、B分別為主銷中心線的延長線與地面的交點，K為A、B之間的距離。

圖1 基于剛體輪胎的阿克曼轉向幾何示意圖

1.2 考慮輪胎側偏角的阿克曼轉向模型

賽車輪胎普遍采用半熱熔的光頭胎，胎地黏著性能好，附著系數高，在專用賽道上一般可達到2.0左右，輪胎的側偏剛度比乘用車小，在相同側向加速度條件下，輪胎側偏角大于傳統車輛。在比賽過程中，耐久賽、高速避障賽和燃油經濟性賽的合計總分占據比賽總成績的60%，是大學生方程式競賽的關鍵賽項，同時賽道具有彎道段多、直道段少以及繞樁頻繁等特點。為了獲得最佳的動態成績，縮短賽車過彎時間是贏得比賽的關鍵，因此賽車常行駛在較高側向加速度下，輪胎的側偏角不可忽略。

如圖2所示，在賽車轉向行駛時，各個輪胎都產生了側偏角，使得各個輪胎中心的瞬時速度方向都偏離了輪胎的對稱線，輪胎產生了速度偏角β，此時各個輪胎的瞬時轉動中心仍然在與其速度矢量相垂直的直線上，相交于O′。可見，由于輪胎側偏角的影響，賽車的瞬時轉向中心相對后軸軸線向前偏移了一個距離ΔL。

圖2 考慮輪胎側偏角的阿克曼轉向幾何示意圖

根據車輪轉向角與輪胎速度偏角和輪胎側偏角之間的關系[3],可得式(2)。

αj=δj-βj

(2)

式中：αj(j=fl、fr、rl、rr)表示各個輪胎的側偏角，此處不考慮輪胎側偏角的正負符號。

由賽車結構參數和阿克曼轉向幾何關系可得式(3)、式(4)，即為考慮輪胎側偏角條件下的阿克曼轉向理想模型。

(3)

(4)

考慮到賽車在專用賽道中競技行駛，且彎道多直道少，輪胎側偏角在3°～6°范圍內時側向力達到極限狀態，文中取αfl=αfr=αrl=αrr=3.5°。

1.3 前軸內外輪轉角關系

為了使賽車獲得良好的操控穩定性和空間布置，廣泛采用雙橫臂獨立懸架和斷開式轉向梯形設計[5]，前軸內、外輪轉角關系如圖3所示。

圖3 內外側車輪轉角關系圖

其中：l1、l2分別表示轉向節臂和橫拉桿的長度；γ為梯形底角；h為齒條中心至前軸距離；B、C為橫拉桿斷開點；E為斷開點之間的距離。圖3所示為賽車向左轉彎行駛，齒條向右側移動以推動左、右車輪偏轉，轉向梯形OABCDP即決定了左右車輪的轉角關系。

當齒條向右移動距離為d時，通過轉向橫拉桿拉動左梯形臂，左側車輪轉角為θi，轉向節臂和橫拉桿由實線位置將運動至虛線位置，運用平面運動分析法可得轉角θi與齒條位移d的關系如式(5)所示。

(5)

同理，右側車輪偏轉角度為θO，右側轉向節臂和橫拉桿由實線位置移動至虛線位置[4]，通過平面幾何關系可建立式(6)—(8)。

(6)

(7)

θO=ψ+φ-γ

(8)

因此結合式(5)—(8)，即可得到左、右車輪在齒條運動下的轉角關系。

2 基于遺傳算法的轉向模型優化

遺傳算法是一種模擬自然選擇和群體遺傳機制的優化方法，通過應用編碼技術來模擬生物染色體結構。在轉向梯形斷開點優化中，將“優勝劣汰，適者生存”的生物進化原理引入待優化的編碼群體，通過計算機的迭代計算，找到滿足判定條件的目標參數。

(1)確定決策變量和約束條件

將梯形底角γ、轉向節臂長度l1、齒條中心線至前軸距離h以及橫拉桿長度l2作為優化轉向梯形的決策變量，以同阿克曼轉向理想模型確定的轉角關系曲線的差值平方和最小為目標，即簡化為求解多變量單目標的優化問題。

約束條件確定了優化過程中各決策變量的取值范圍，只要能囊括決策變量的最優值即可，可通過賽車轉向梯形的總體布置設計來進行估算。各決策變量的值域范圍如表1所示。

表1 各決策變量的值域范圍

(2)建立優化模型

由式(5)—(8)確定的左、右車輪在齒條運動下的轉角關系為優化模型，其中包含了所有的決策變量。采用MATLAB編寫優化程序，進行迭代計算，直到計算出最優的決策變量值。

(3)編碼決策變量

選用長度為10位的二進制編碼串分別表示4個決策變量γ、l1、h、l2，10位二進制編碼串可以表示0～1 023之間的1 024個不同的數，即將γ、l1、h、l2分別離散成為1 024個不同的離散點。從取值范圍的最小值到最大值，讓它們依次對應0000000000(0)～1111111111(1 023)之間的二進制編碼串。

(4)解碼決策變量

解碼是需要將長度為40位長的二進制編碼串分成4個10位長的二進制編碼串，然后分別將它們轉換為對應的10進制整數數值，分別標記為γc、lc1、hc、lc2。根據個體編碼方法和值域離散化方法，按照式(9)將代碼變量轉換為實數變量γ、l1、h、l2。

(9)

(5)個體適應度評價

在優化計算中，將左側車輪的轉角取值離散化，將右側車輪轉角與理想的阿克曼轉向模型確定的右側轉角之間的誤差平方和作為目標函數，即遺傳算法中每個體的環境適應度值，其數值越小，決策變量越接近最優值，證明個體適應性越強，目標函數如式(10)所示。

(10)

(6)確定基本參數

基本參數如表2所示。

表2 基本參數

(7)優化結果

決定阿克曼轉向幾何的4個決策變量的優化結果如表3、表4所示。

表3 基于剛體輪胎阿克曼轉向理想模型優化結果

表4 考慮輪胎側偏角的阿克曼轉向理想模型優化結果

基于剛體輪胎假設和考慮輪胎側偏角影響的阿克曼轉向理想模型與優化后的轉向梯形決定的內外輪轉角關系的對比曲線如圖4所示。

圖4 兩種理想模型優化前后對比圖

優化后的內外輪轉角關系曲線與理想模型符合度均較高，證明轉向梯形的設計和基于遺傳算法的優化模型是有效的；此外，可以看出：考慮側偏角影響的轉向梯形使外側車輪獲得更大的轉角，在賽車方向盤大轉角輸入時尤為明顯，使賽車具備更小轉彎半徑的行駛能力，可提高賽車轉向靈活性，同時更好地減小了輪胎的磨損量。

圖5所示為個體適應度值與進化代數之間變化曲線，適應度值越小，即證明轉向梯形決定的內外輪轉角關系與阿克曼轉向理想模型之間的符合程度越高，可以看出在進化的初期，適應度值快速減小，逐漸放緩并收斂于某個適應度值，由此證明文中設計的基于遺傳優化算法的優化模型具有較好的適應性和優化效果，并具有一定的應用價值和現實意義。

圖5 個體適應度隨進化代數的變化曲線

3 虛擬仿真試驗

為了進一步驗證考慮輪胎側偏角對賽車轉向梯形優化設計的影響，在ADAMS/Car中建立了賽車整車動力學模型，分別將兩種優化后的賽車轉向梯形模型應用于賽車虛擬樣機中[6]，在方向盤角階躍工況下進行仿真計算。如圖6所示，在穩態轉向行駛時，采用考慮輪胎側偏角的轉向梯形模型使賽車軌跡半徑減小；賽車縱向速度曲線如圖7所示；各個輪胎側偏角變化曲線如圖8所示，可以看出考慮輪胎側偏角的轉向梯形使賽車的外側車輪的側偏角在穩態轉向行駛工況下更大，分析其原因是由更大的偏轉角響應引起的。

圖6 軌跡曲線

圖7 賽車縱向速度曲線

圖8 輪胎側偏角變化曲線

4 結論

考慮輪胎側偏角的阿克曼轉向梯形能使外側車輪獲得更大的轉角響應，即減小賽車轉彎半徑，在彎道中具有更優異轉向靈活性和動態響應，因此在賽車阿克曼轉向梯形的優化設計中應當充分考慮輪胎側偏角的影響；此外，基于遺傳算法優化后的轉向梯形與理想的阿克曼轉向模型符合度很高，有效地縮短了賽車轉向系統的開發周期。