線性二自由度車輛模型橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算方法改進(jìn)

黃新，丁志中

(1. 蕪湖技師學(xué)院，安徽蕪湖 241000；2.合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽合肥 230009)

0 引言

汽車穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性的研究對(duì)于提高行駛安全性十分重要，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向是指一種穩(wěn)定的轉(zhuǎn)彎狀態(tài)，該狀態(tài)下車輛的速度和轉(zhuǎn)向角是定值，從而以固定的轉(zhuǎn)彎半徑轉(zhuǎn)彎行駛[1]。一方面，這個(gè)固定的轉(zhuǎn)彎半徑越逼近實(shí)際的彎道半徑，汽車的操縱穩(wěn)定性越高，因此如何計(jì)算轉(zhuǎn)彎半徑，令其最大限度地接近實(shí)際彎道的半徑尤其重要。另一方面，在自動(dòng)駕駛技術(shù)中，車輛行車軌跡的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)是事關(guān)行車安全的重要問題，它可為自動(dòng)駕駛決策系統(tǒng)提供重要的參考數(shù)據(jù)。直行車道上的行車軌跡可以由速度、加速度等參數(shù)給出較為準(zhǔn)確的短時(shí)預(yù)測(cè)。由于彎道的場(chǎng)景相對(duì)復(fù)雜，行車軌跡預(yù)測(cè)需要探索更好的方法。

二自由度車輛模型作為汽車的基本轉(zhuǎn)向操縱模型，雖然相對(duì)簡(jiǎn)單，但已能體現(xiàn)車輛操縱動(dòng)力學(xué)的基本特征，構(gòu)成了復(fù)雜操縱模型的基礎(chǔ)。很多學(xué)者提出了利用二自由度車輛模型對(duì)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性進(jìn)行分析和研究[2-7]，其中文獻(xiàn)[4-7]中利用二自由度車輛模型給出了穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算公式，但都是在假設(shè)前輪轉(zhuǎn)角比較小的情況下通過(guò)近似處理得到的。當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角較大時(shí)，按照上述文獻(xiàn)所給公式計(jì)算得到的轉(zhuǎn)彎半徑過(guò)大，與實(shí)際車輛轉(zhuǎn)彎的經(jīng)驗(yàn)值偏差較大。

文中對(duì)經(jīng)典文獻(xiàn)中基于二自由度基本操縱動(dòng)力學(xué)模型求出的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算公式進(jìn)行了修正，以使修正后轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算結(jié)果更接近真實(shí)的彎道半徑。

1 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向橫擺角速度計(jì)算修正

由文獻(xiàn)[6]中可知在汽車參數(shù)已知的情況下，當(dāng)車輛以一恒定速度進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時(shí)，車輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)彎半徑與橫擺角速度有關(guān)，因此在對(duì)車輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)彎半徑進(jìn)行求解前，應(yīng)首先求出橫擺角速度。在二自由度模型建立的運(yùn)動(dòng)方程中，二自由度指?jìng)?cè)向速度和橫擺角速度，因此利用二自由度車輛模型求解橫擺角速度，既可以簡(jiǎn)化計(jì)算又可以得到橫擺角速度。

二自由度車輛模型是在相對(duì)合理的近似和假設(shè)條件下簡(jiǎn)化的，此時(shí)車輛只具有側(cè)向運(yùn)動(dòng)和橫擺運(yùn)動(dòng)兩個(gè)自由度[8]。這些近似和假設(shè)包括：車輛行駛于平坦路面、忽略與行駛動(dòng)力學(xué)相關(guān)的垂向影響及耦合作用、車輛結(jié)構(gòu)是剛性的等。

圖1是簡(jiǎn)化的汽車二自由度模型，其中點(diǎn)O′是汽車轉(zhuǎn)彎中心，R是轉(zhuǎn)彎半徑，點(diǎn)O是汽車的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心，β是汽車質(zhì)心側(cè)偏角，δ是汽車前輪轉(zhuǎn)角，ωr是汽車橫擺角速度，v是汽車質(zhì)心行駛速度，vO是汽車質(zhì)心處的縱向速度分量，uO是汽車質(zhì)心處的橫向速度分量，u1、u2分別是汽車前、后輪中心的速度，α1、α2分別是前、后輪的側(cè)偏角，F(xiàn)y1、Fy2分別是前后輪所受的側(cè)向力，a、b分別是質(zhì)心到前后輪軸心的距離，L是汽車軸距。

圖1 二自由度車輛模型

由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得：

(1)

當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角比較小時(shí)，側(cè)向力與側(cè)偏角呈線性關(guān)系[9]：

Fyi=ki·αi(i=1,2)

(2)

其中：ki是側(cè)偏剛度，在兩輪模型下分別為一個(gè)前輪或后輪側(cè)偏剛度的兩倍。

結(jié)合圖1的角度關(guān)系以及利用近似分析法，可得到側(cè)偏角與橫擺角速度以及質(zhì)心側(cè)偏角的關(guān)系式(詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程見文獻(xiàn)[10])：

(3)

(4)

因此，式(1)可化為：

(5)

分析式(5),當(dāng)整車參數(shù)m、a、b、k1、k2被給定的情況下，此時(shí)兩個(gè)方程組對(duì)應(yīng)三個(gè)未知數(shù)質(zhì)心側(cè)偏角β、橫擺角速度ωr、加速度ay。當(dāng)未知數(shù)個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)時(shí)，方程的解不是唯一的而是無(wú)窮解，此時(shí)加速度ay可以利用固結(jié)于汽車的車輛坐標(biāo)系分析求解。

如圖2所示，將沿彎道行駛的汽車看成是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，為了便于分析比較(t+t)時(shí)刻相對(duì)于t時(shí)刻y軸方向的速度增量，先將(t+t)時(shí)刻的速度按照固結(jié)于(t+t)時(shí)的車輛坐標(biāo)系分解，再利用與t時(shí)刻固結(jié)于車輛的坐標(biāo)系平行的坐標(biāo)系進(jìn)行分析(參見圖2中左上坐標(biāo)系圖)。

圖2 汽車運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系

通過(guò)對(duì)圖2中汽車由t時(shí)刻到(t+t)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，得到加速度的表達(dá)式(詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程參見文獻(xiàn)[10])：

(6)

其中：ωr是橫擺角速度。

將式(6)代入式(5)后整理得：

(7)

因?yàn)橘|(zhì)心側(cè)偏角β較小，可以認(rèn)為：

vO=vsinβ≈vβ；uO=vcosβ≈v

(8)

同時(shí)考慮到汽車的穩(wěn)定轉(zhuǎn)向特性，可令：

(9)

因此式(7)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

(10)

式(10)中上下兩式相減，可以解出β和ωr的關(guān)系為：

(11)

其中：L=a+b。將β代入式(10)可求得橫擺角速度ωr，詳細(xì)過(guò)程如下：

因此橫擺角速度ωr的表達(dá)式如下：

(12)

其中

同時(shí)，結(jié)合內(nèi)外部因素來(lái)看，許多大型重污染企業(yè)期望通過(guò)上市實(shí)現(xiàn)低成本融資、提升原始投資人的價(jià)值、獲得資本市場(chǎng)上的強(qiáng)大收購(gòu)能力、提升企業(yè)的知名度，在國(guó)家強(qiáng)制規(guī)定上市污染企業(yè)的年報(bào)必須對(duì)環(huán)境行為進(jìn)行披露的情況下，為獲得投資人的認(rèn)可、成為股民的選擇，企業(yè)迫于外界壓力和自身需求，往往會(huì)在環(huán)境行為方面進(jìn)行合理化投資。

(13)

而K為穩(wěn)定性因數(shù)[9]，定義為：

(14)

至此給出了文中推導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下的橫擺角速度計(jì)算修正公式，下節(jié)利用該橫擺角速度求穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下的轉(zhuǎn)彎半徑。

2 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性下的轉(zhuǎn)彎半徑

車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)，駕駛員的操控就是使得汽車的自身轉(zhuǎn)彎半徑盡可能和彎道半徑相吻合，以實(shí)現(xiàn)安全平穩(wěn)的彎道行駛。因此，車輛轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算非常重要，如果得到與實(shí)際彎道比較相符的半徑，必然會(huì)提高穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向安全性。

文中對(duì)以往文獻(xiàn)給出的轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算公式進(jìn)行了修正，不同于以往前輪轉(zhuǎn)角較小的假設(shè)，求解出前輪轉(zhuǎn)角較大時(shí)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算公式，下面即是轉(zhuǎn)彎半徑的求解過(guò)程。

分析圖1中角度關(guān)系以及利用三角函數(shù)的近似關(guān)系得到轉(zhuǎn)彎半徑的表達(dá)式如下(詳見文獻(xiàn)[10])：

(15)

而(α1-α2)是向心加速度的函數(shù)[9]，即：

α1-α2=αyLK

(16)

ay=vωr

(17)

因此，轉(zhuǎn)彎半徑為：

(18)

將ωr的表達(dá)式代入式(18)，得到轉(zhuǎn)彎半徑的最終表達(dá)式(19)，過(guò)程如下：

(19)

如果將K和K(δ)代入上式，R也可寫為：

當(dāng)δ很小，cosδ≈1，K(δ)=K，此時(shí)橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑近似為：

(20)

(21)

式(20)和(21)是多數(shù)文獻(xiàn)資料給出的橫擺角速度和彎道半徑計(jì)算公式[1,5,8,9]。可以看出，它是假定cosδ≈1，K(δ)=K時(shí)的近似，這一近似使得它只適合于前輪轉(zhuǎn)角很小和車速較低的情形。式(12)和式(19)是本文作者在前輪轉(zhuǎn)角比較大的情況下給出的分析結(jié)果。對(duì)比于(14)，這里將式(13)中的K(δ)稱為“動(dòng)態(tài)”穩(wěn)定因數(shù)，它反映了前輪偏轉(zhuǎn)角對(duì)于K值的影響。

3 靜態(tài)與動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因素影響下的仿真分析與比較

文中采用實(shí)車數(shù)據(jù)對(duì)橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，整車參數(shù)具體數(shù)值如表1所示[11]。考慮到一些特殊場(chǎng)合，車速計(jì)算范圍為0～200 km/h，間隔為5 km/h。

表1 仿真所用參數(shù)[11]

由前面分析可知，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)與前輪轉(zhuǎn)角有關(guān)，圖3給出了動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)K(δ)隨前輪轉(zhuǎn)角變化的曲線，可以看出動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)隨著前輪轉(zhuǎn)角的增大而增大。

假定前輪轉(zhuǎn)角δ為15°，對(duì)靜態(tài)與動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。

圖3 動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)K(δ)的變化曲線

圖4是分別利用K和K(δ)計(jì)算出的橫擺角速度。如圖4所示，靜態(tài)和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度的變化趨勢(shì)是一致的，但是數(shù)值上有細(xì)微區(qū)別，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度總體上比靜態(tài)穩(wěn)定因數(shù)下的橫擺角速度稍微偏小。不過(guò)總的來(lái)說(shuō)，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)K(δ)對(duì)于橫擺角速度的影響并不明顯。

圖4 橫擺角速度的計(jì)算對(duì)比

取前輪轉(zhuǎn)角δ=15°，假定依據(jù)式(21)(即令cosδ=1)計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑如圖5所示。在車速分別為20,40,60,80,100,120 km/h時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑分別為23.1,68.1,143.3,248.5,383.7, 549.0 m。可以看到，所計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑偏大。按照文中給出的計(jì)算方法式(19)，其結(jié)果如圖6所示。

圖5 依據(jù)式(21)計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑

圖6 依據(jù)文中修正后的公式計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑

在車速分別為20,40,60,80, 100,120 km/h時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑分別為22.1,55.2, 91.8,122.9,146.7,164.4 m，根據(jù)實(shí)際行車過(guò)程中的駕駛經(jīng)驗(yàn)，該計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況吻合度較好。圖7給出的是這兩種方法在城市道路限速值之下計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑差別。可以看到，在20 km/h以下速度時(shí)兩者計(jì)算結(jié)果比較接近，速度在40 km/h以上時(shí)，修正后公式所得值更為合理一點(diǎn)。

圖7 中低速下轉(zhuǎn)彎半徑計(jì)算值對(duì)比

圖8是利用文中提出的轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算方法計(jì)算的δ為5°、10°和15°三個(gè)前輪轉(zhuǎn)角下的轉(zhuǎn)彎半徑。

圖8 不同轉(zhuǎn)角下計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑

在實(shí)際的駕駛中，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角比較小時(shí)，說(shuō)明彎道比較平緩即彎道半徑比較大，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角相對(duì)較大時(shí)，彎道相對(duì)急即彎道半徑相對(duì)較小；當(dāng)車輛以一固定前輪轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑越大即需要更高的車速才能提供足夠的向心力不至于使車輛發(fā)生離心運(yùn)動(dòng)從而滿足駕駛的安全性。如圖8所示，當(dāng)車輛以前輪轉(zhuǎn)角δ=5°轉(zhuǎn)向時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑隨著車速的增大迅速增大，轉(zhuǎn)彎半徑相對(duì)較大；當(dāng)車輛以前輪轉(zhuǎn)角δ=10°和δ=15°轉(zhuǎn)向時(shí)，轉(zhuǎn)彎半徑亦隨車速的增大而增大，但增大的趨勢(shì)相對(duì)較小，且轉(zhuǎn)彎半徑相對(duì)較小。由此可見仿真結(jié)果與實(shí)際駕駛情況基本一致。

圖9給出了前輪轉(zhuǎn)角為20°～45°時(shí)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)彎半徑。然而如圖9所示，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角較大且車速較高時(shí)，依據(jù)文中方法計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑偏小，這是因?yàn)閷?shí)際駕駛過(guò)程中，彎道比較急即轉(zhuǎn)彎半徑較小時(shí)需要較大的前輪轉(zhuǎn)角，另外文中在對(duì)橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑公式的修正中也采用了近似。

圖9 大轉(zhuǎn)角時(shí)采用K(δ)計(jì)算的轉(zhuǎn)彎半徑

4 結(jié)論

文中對(duì)多數(shù)文獻(xiàn)中給出的二自由度車輛模型轉(zhuǎn)向特性下的橫擺角速度和轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算公式進(jìn)行了修正。由仿真結(jié)果可以看到，無(wú)論是否取cosδ≈1的近似，利用此方法所計(jì)算的橫擺角速度差別并不大。動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)的引入主要改善了轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算結(jié)果，使得轉(zhuǎn)彎半徑不再隨車速呈現(xiàn)二次曲線上升的趨勢(shì)。當(dāng)車輛以固定的前輪轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向時(shí)，多數(shù)文獻(xiàn)給出的轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算偏大，而經(jīng)過(guò)修正后的轉(zhuǎn)彎半徑的計(jì)算能更真實(shí)地反映彎道半徑。

需要說(shuō)明的是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因數(shù)的引入雖然改善了前輪轉(zhuǎn)角較小時(shí)的轉(zhuǎn)彎半徑，但是在前輪轉(zhuǎn)角較大時(shí)反而使轉(zhuǎn)彎半徑偏小。