輪轂軸承接觸應(yīng)力及變形量計(jì)算與分析

熊偉， 葛志華， 唐威， 鄭為

（1.湖北文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖北襄陽(yáng) 441053；2.湖北新火炬科技有限公司，湖北襄陽(yáng) 441004）

0 引言

軸承鋼球與滾道間的接觸應(yīng)力會(huì)影響軸承的壽命，過(guò)大的應(yīng)力會(huì)引起滾道的塑性變形，導(dǎo)致軸承性能下降。在轎車輪轂軸承單元的設(shè)計(jì)中，通常要求控制最大接觸應(yīng)力及永久變形量。基于赫茲接觸理論的應(yīng)力分析是常用的方法，但其計(jì)算分析較為復(fù)雜，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中，因涉及第一、第二橢圓積分的計(jì)算需要通過(guò)查表獲取中間參數(shù)，效率低下，且計(jì)算精度不高。本文基于赫茲接觸理論，分析了鋼球與滾道接觸的理論模型及應(yīng)力計(jì)算方法。再通過(guò)一設(shè)計(jì)實(shí)例，編制程序，實(shí)現(xiàn)了內(nèi)外列軸承內(nèi)外圈接觸應(yīng)力及變形量的快速求解，簡(jiǎn)化了工程師的設(shè)計(jì)。

1 鋼球與滾道接觸的赫茲理論

鋼球與滾道的接觸可以用赫茲彈性接觸理論進(jìn)行分析。以鋼球與內(nèi)圈滾道的接觸為例，在彈性變形范圍內(nèi)，其接觸區(qū)域?qū)⑿纬蓹E圓形接觸面，如圖1、圖2所示。接觸橢圓長(zhǎng)半軸a和短半軸b的大小與材料特性、載荷Q以及接觸面曲率半徑等因素有關(guān)，可以通過(guò)式（1）、式（2）求出,公式中將常用鋼的彈性模量及泊松比作為常數(shù)，并做了相應(yīng)簡(jiǎn)化，詳細(xì)公式及推導(dǎo)見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

圖1 鋼球與滾道的接觸

圖2 接觸橢圓

式中：∑ρ為接觸面物體曲率和，∑ρ=ρ1I+ρ1II+ρ2I+ρ2II，ρ1I、ρ1II、ρ2I、ρ2II分別為兩接觸物體的主曲率。

對(duì)鋼球與內(nèi)圈滾道接觸而言：

式中：fi為內(nèi)圈溝道半徑系數(shù)；Dw為鋼球直徑；ri為內(nèi)圈溝道半徑。對(duì)鋼球與外圈可同樣分析，注意正負(fù)號(hào)即可。

式（1）、式（2）中，a、b為橢圓接觸區(qū)尺寸參數(shù)，其計(jì)算較為復(fù)雜，需先計(jì)算輔助變量F（ρ），定義F（ρ）如下：

μ、ν、F（ρ）之間，以完全橢圓積分為中間變量，有下述關(guān)系：

K、E分別為第1及第2類完全橢圓積分，可由式（7）、式（8）表示[1-2]：

其中κ2=1-（b/a）2,0≤κ2≤1。

聯(lián)立式（3）～式（8）可以求出μ、ν，從而求出a、b。

2 接觸應(yīng)力及變形量的分析

2.1 接觸應(yīng)力分析

接觸橢圓的面積S計(jì)算公式為

接觸區(qū)域內(nèi)的合力等于以a、b、最大應(yīng)力Pmax為半軸的半橢球體體積，其體積V計(jì)算公式為

故接觸區(qū)平均應(yīng)力Pm計(jì)算公式為

又

所以最大接觸應(yīng)力計(jì)算公式為

對(duì)輪轂軸承而言，內(nèi)圈溝道與鋼球接觸的曲率和大于外圈與鋼球接觸時(shí)的，內(nèi)圈接觸橢圓通常小于外圈的接觸橢圓，內(nèi)圈的接觸應(yīng)力通常大于外圈的。

對(duì)于采用雙列角接觸的輪轂軸承而言，軸承一圈每個(gè)鋼球所受的載荷Qj可由下式求出[3－4]：

式中:Kn為載荷－位移參數(shù)；A為內(nèi)外溝道曲率中心距，A=為軸承的徑向、軸向位移，具體含義及求解方法見(jiàn)文獻(xiàn)[3]、[4]。知道鋼球的載荷分布后，就可以求出其接觸應(yīng)力分布。也就能求出對(duì)應(yīng)于最大載荷Qmax的最大接觸應(yīng)力Pmax。

2.2 永久變形量的分析

在材料屈服點(diǎn)附近，當(dāng)外力卸載后會(huì)殘留部分塑性（永久）變形。殘余變形量難以精確計(jì)算,在大量實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，滾道和鋼球接觸的殘余（永久）變形量可用下式近似計(jì)算：

其中：上面的算符用于內(nèi)圈與鋼球接觸；下面的算符用于外圈與鋼球接觸；γ=Dwcosa0/dm。

需要指出的是，式（15）來(lái)源于20世紀(jì)40年代Palmgren的壓痕實(shí)驗(yàn)，受當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)儀器及測(cè)量精度的限制，永久變形量為近似值。此外，雖然內(nèi)圈的接觸應(yīng)力大于外圈，但由式（15）計(jì)算的內(nèi)圈永久變形量并非一定大于外圈，這與內(nèi)圈的結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)。將式（15）對(duì)內(nèi)、外圈分別改寫如下：

由式（16）、式（17）有：

3 某型號(hào)軸承的設(shè)計(jì)驗(yàn)證

3.1 設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)

如果對(duì)軸承施加的載荷過(guò)大，導(dǎo)致接觸應(yīng)力過(guò)大，鋼球與滾道之間的彈性變形將轉(zhuǎn)化為塑性變形，解除載荷后，后留下壓痕，壓痕會(huì)使?jié)L道凹陷，而鋼球因凹陷而使局部曲率半徑變大。這將引起軸承振動(dòng)，甚至誘發(fā)早期疲勞破壞。當(dāng)軸承旋轉(zhuǎn)時(shí)，壓痕將向整個(gè)滾道面蔓延，使?jié)L道曲率和鋼球圓度變化，從而降低軸承性能。

研究表明，鋼球與滾道間產(chǎn)生的永久變形之和小于滾動(dòng)體直徑的萬(wàn)分之一時(shí)，軸承性能幾乎不受影響。基于此，設(shè)計(jì)時(shí)要求輪轂軸承在極端路況（一般取車輛側(cè)向加速度0.6g）滿足以下條件:1）接觸應(yīng)力小于4200 MPa；2）永久變形量 δ＜0.0001DW。

3.2 實(shí)例分析與驗(yàn)證

某三代轎車輪轂軸承采用雙列角接觸球軸承，其主要設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。基于前述理論，設(shè)計(jì)時(shí)需計(jì)算其接觸應(yīng)力和永久變形量，從而驗(yàn)證設(shè)計(jì)的合理性。

表1 某型號(hào)輪轂軸承單元結(jié)構(gòu)參數(shù)

在計(jì)算時(shí)，可分別計(jì)算內(nèi)列、外列及內(nèi)圈、外圈共4處接觸處的最大應(yīng)力及最大變形量。在計(jì)算接觸應(yīng)力時(shí)，因涉及橢圓積分的求解，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算需查表進(jìn)行，比較費(fèi)時(shí)。為了提高設(shè)計(jì)效率，基于Matlab編制了計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)上述求解[6－7]。筆者的前期研究已經(jīng)編制了載荷計(jì)算程序，此處直接調(diào)用即可。程序計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 程序流程圖

其中，在進(jìn)行第一、第二類橢圓積分計(jì)算時(shí)，將橢圓劃分成1000份，進(jìn)行最小誤差逼近求解，利用Matlab中的ellipse函數(shù)，部分代碼如下：

m=0:0.001:0.999%m=k2

[E,K]=ellipke（m） %返回第一、第二橢圓積分值K

計(jì)算結(jié)果自動(dòng)輸出成表格，如表2所示。

表2 計(jì)算結(jié)果

從計(jì)算結(jié)果可以看出，內(nèi)列的應(yīng)力及變形量高于外列，這與側(cè)向加速度的正負(fù)有關(guān)，本例取駕駛員右側(cè)的輪轂作為分析對(duì)象，考慮左轉(zhuǎn)彎加速度-0.6g。同時(shí)可以看出，內(nèi)圈的最大接觸應(yīng)力大于外圈的最大接觸應(yīng)力，這是由于內(nèi)圈滾道的曲率半徑小于外圈的所決定。故設(shè)計(jì)時(shí)，只計(jì)算內(nèi)圈的接觸應(yīng)力即可。

本例中，在極端路況（側(cè)向左轉(zhuǎn)彎加速度-0.6g）下，最大變形量發(fā)生在軸承的內(nèi)列外圈，最大變形量為1.04 μm，為鋼球直徑（12.7 mm）的0.000 082，最大應(yīng)力小于4200 MPa，滿足設(shè)計(jì)要求。

若設(shè)計(jì)驗(yàn)證出現(xiàn)應(yīng)力過(guò)大或變形量過(guò)大，可以修改設(shè)計(jì)參數(shù)，重新進(jìn)行校核。通過(guò)該軟件，也可以快捷研究軸承各結(jié)構(gòu)參數(shù)（如滾道曲率等）對(duì)接觸應(yīng)力的影響。

4 結(jié)論

為了分析輪轂軸承鋼球和滾道之間的接觸應(yīng)力及其永久變形量，基于赫茲接觸理論和應(yīng)用橢圓積分的計(jì)算方法建立了接觸應(yīng)力和變形量的方程，并以某車型輪轂軸承的設(shè)計(jì)為例編制了Matlab程序，求解出了最大接觸應(yīng)力及最大變形量。研究結(jié)果表明，該方法準(zhǔn)確性較高，且提高了設(shè)計(jì)效率，從而使輪轂軸承的設(shè)計(jì)更便捷。