快速面積矩法繪制結構變形圖

孫飛飛 趙琛

摘要：目前有面積矩法可以求解靜定結構的變形和位移，本文提出的快速面積矩法不僅可以定量求解結構關鍵點的位移和轉角，并且可以定量和定性地繪制結構變形圖，該方法幾何關系直觀、概念清晰，降低了快速繪制結構變形圖的難度。

關鍵詞：快速面積矩法；結構力學；結構變形圖

中圖分類號：TU3；G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1005-2909（2018）03-0069-05

工程結構所用的材料是可變形的，因此結構在荷載作用下會發生變形，而這種變形會引起結構各位置的變化，即結構的位移。對于初學者而言，定量地畫出結構內力圖比較容易，但是定性或定量地繪制超靜定結構或者復雜結構在荷載作用下的變形圖卻難以掌握。

在國內結構力學教材[1-2] 中，單位荷載法是求解超靜定結構位移的一般方法，該方法簡單快速，但是利用此方法繪制結構變形圖有一定難度。在國外教材[3-5]中，面積矩法是一種求解梁撓度的方法，它的概念清晰，但其幾何關系不直觀，在解題時經常在各種幾何關系上花掉大量的時間。面積矩法適用廣泛，也被很多學者用于前沿問題的研究，例如在最近的研究中用來計算高層建筑伸臂系統[6]或者復雜三明治板[7]的位移。本文提出了快速面積矩法，該方法不僅可以定量求解結構在簡單荷載下的位移和撓度，還可以定量和定性地繪制結構變形圖，使得面積矩法的幾何關系更加清晰直觀，同時加強學生對于結構變形組成的理解能力及快速繪制結構變形圖的能力。

一、面積矩法的介紹

一簡支梁在荷載作用下變形，在梁上取一微段dx，如圖1所示，變形后左右截形成的夾角為dθ，M為彎矩，EI為抗彎剛度。

我們可以在尋找撓度和角度的幾何關系時利用這一點從而加快求解結構位移和撓度以及快速繪制結構變形圖。

二、快速面積矩法的提出

面積矩法概念清晰，但是想要直接快速地繪制結構變形圖還有一定難度，故基于面積矩法的基本原理，我們提出了快速面積矩法。主要的做法就是在區段曲率圖面積形心處加上一個彈簧鉸，將梁看作剛性，在荷載作用下變形至與變形曲線相切，即可快速畫出結構變形圖，然后找出相應的幾何關系用面積矩法即可求解位移和撓度。該方法的基本思想是用剛性體——彈簧體系中轉動彈簧的轉動變形來等效代替變形體的變形，“快速”體現在變形幾何關系的確定簡單快速。

現利用例題1介紹快速面積矩法繪制結構變形圖和求解目標點撓度的三個步驟。

例1：如圖3所示一截面抗彎剛度為EI的等直簡支梁，求C點的撓度大小。

（1） 作出梁的曲率圖，以所求點為分界將曲率圖分為兩部分，在曲率圖上找出兩區段的形心，在形心位置處加上彈簧鉸（圖示用兩個同心圓表示彈簧鉸以區分彈簧鉸和理想鉸）如圖4。

（2） 分段的梁作為剛性體系，在荷載作用下，使彈簧鉸交點沿鉛垂線變形，繪制出與各個折線段相切的光滑的曲線即為結構的變形圖，如圖5。

（3） 根據結構變形圖找出幾何關系并利用面積矩法公式求解撓度如圖6。

從圖6中可以清楚地看出如下幾何關系：

從上例可以看出，利用快速面積矩法方法可以快速地繪制結構變形圖，從而根據幾何關系用面積矩法快速地求解撓度，不僅對簡單荷載下的懸臂梁和簡支梁可以用此方法，對于復雜荷載下的外伸梁也是可以利用疊加法和逐段鋼化的方法簡化為簡單荷載的懸臂梁和簡支梁來求解。但是這種方法也存在一個問題：如果所求點兩邊曲率圖不是規則的圖形，那么求解它們的形心位置將帶來一定的困難。其實這也是可以利用疊加法來解決的，此處不再詳細說明。

快速面積矩法利用剛體加彈簧體的變形等效代替變形體的變形，用剛體轉動體系代替變形體系，讓求解速度大大加快，使求解過程幾何關系直觀，以直代曲的概念清晰，不僅可以定量求解結構中關鍵點的位移和轉角，還可以定量畫出結構變形圖，降低了同學們掌握結構變形圖的難度。

三、快速面積矩法與單位荷載法的對比

例2：分別用快速面積矩法和單位荷載法求圖7結構中C點的位移和轉角。

解答：（1）用快速面積矩法求解：

作出梁的曲率圖，以所求點和鉸接點為分界將曲率圖分為三部分，在曲率圖上找出三區段的形心，在形心位置處加上彈簧鉸如圖8。

分段的梁作為剛性體系，在荷載作用下，使彈簧鉸交點沿鉛垂線變形，繪制出與各個折線段相切的光滑的曲線即為結構的變形圖如圖9。

根據結構變形圖找出幾何關系并利用面積矩法公式求解撓度如圖10。

分析結構變形圖可知，若要求C點的轉角，可先利用上文面積矩法所述公式（6）求得

從此例對比快速面積矩法和單位荷載法可以看出，一方面快速面積矩法幾何關系直觀、概念清楚，求解結構關鍵點處的位移ΔCD、ΔBD、ΔDC和撓度θD、θDC的同時，就能夠快速繪制出結構變形圖，降低了學生繪制結構變形圖的難度，并且使學生對于結構變形的組成部分理解得更加透徹和深入。利用一個結構變形圖，就可以方便求得關鍵點的位移ΔC和轉角θC。

另一方面，單位荷載法計算簡單方便，可以用來校核快速面積矩法以保證求解的正確性，但是對于比較復雜的結構，單位荷載法計算量大，需要多圖繪制，純粹變成數學求解問題。用單位荷載法求結構位移的正負號和撓度的方向往往也是學生比較容易混淆的部分，即使計算結果正確也有可能繪制出來的結構變形圖不正確，對于初學結構力學的學生而言，單位荷載法不能提高學生快速繪制結構變形圖的能力。

四、結語

本文提出的快速面積矩法不僅可以定量求解結構關鍵點在簡單荷載下的位移和轉角，還可以定量和定性地繪制結構變形圖，使得面積矩法的幾何關系更清晰直觀，加強學生對于結構變形組成的理解能力及快速繪制結構變形圖的能力。

單位荷載法計算簡單方便，但是結構位移的正負號和撓度的方向往往是學生比較容易混淆的部分，即使計算結果正確也有可能繪制出來的結構變形圖不正確。另一方面，由于快速面積矩法結構位移和變形的幾何關系緊密聯系，求解需要逐步遞推，如果其中一個未知量求解錯誤則會導致最終結果出錯，因此單位荷載法作為一種有效的手段用來校核快速面積矩法以保證求解的正確性。

參考文獻：

[1] 朱慈勉.結構力學：上，下[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 龍馭球，包世華.結構力學教程：I，II[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] Harry H. West， Luis F. Geschwindner， Fundamentals of Structural Analysis， 2nd Edition[M]. John Wiley & Sons， Inc. February 7th 2002.

[4] K.Lee， C.M.Uang， A.M.Gilbert.Fundamentals of Structural Analysis， 4th Edition[M]. McGraw-Hill， 2011.

[5] Aslam Kassimali.Structural Analysis， 5th International Edition[M]. CENGAGE Learning Custom Publishing， 2014.

[6] Hyo Seon Park ， Eunseok Lee ， Se Woon Choi， et al. Genetic-algorithm-based minimum weight design of an outrigger system for high-rise buildings[J]. Engineering Structures， 2016（117）：496–505.

[7] Amir Fam， Tarek Sharaf， Pedram Sadeghian. Fiber Element Model of Sandwich Panels with Soft Cores and Composite Skins in Bending Considering Large Shear Deformations and Localized Skin Wrinkling[J].Journal of Engineering Mechanics，2016：142（5）：1-14.