應用于冷氣微推力器的壓電晶片驅動穩定性分析

韓銘麟，陳 君，汪旭東，張 濤

(北京控制工程研究所， 北京 100090)

冷氣微推力器是通過調節比例閥開度以控制衛星推力的器件，具有高精度、快響應、噪聲低的工作特點[1]，在LISA、GOCE[2]等無拖曳衛星上具有很好的應用前景。歐空局為了實現LISA衛星的推力器小推力，低噪聲的技術要求，采用新型的三層壓電晶片驅動比例閥，實現推力精確調節[3]。目前，國內對地球重力場測量和引力波探測項目的研究[4]已提上日程，需要迫切解決驅動機構的精度問題。傳統的電磁類流體控制部件由于其功耗、精度、干擾等原因不能滿足衛星高精度、快響應、噪聲低的工作需求。采用壓電驅動技術[5]成為解決該問題的最佳選擇。北京控制工程研究所對疊堆型壓電驅動器進行了動力學建模及實驗研究[6]，并成功應用于星載冷氣推力器。與此同時，北京控制工程研究所研制的新型壓電晶片驅動比例閥也計劃應用于無拖曳衛星[7]。然而，由于單晶片驅動機構具有位移小的缺點[8]，需要采用多片串聯，增大驅動位移的方式，但壓電片數增多可能會導致驅動機構不穩定。因此，針對多自由度壓電晶片驅動機構模型的建立及穩定性的分析研究是必要的。

本文研究對象是多自由度壓電晶片驅動機構，對其建立了多自由度質量塊—彈簧—阻尼等效模型[9]。通過對壓電晶片驅動機構模型中等效剛度和阻尼系數變參數研究系統在不同情況下的能控性及穩定性[10]。本文研究采用MATLAB數學軟件[11,12]計算系統的階躍響應和對應的零極點分布圖，得出系統是鎮定的，階躍響應穩定在3.34×10-6m。

1 壓電晶片驅動等效模型建立

1.1 單片壓電晶片等效模型建立

單片壓電晶片結構如圖1所示。整個壓電晶片分為3層，分別為壓電層(PZT)，粘結層和被動金屬板層。對單片壓電晶片通電，由于逆壓電效應，PZT產生彎曲變形，整個3層結構受力變形輸出位移[13]。

單片壓電晶片受電壓激勵彎曲變形的運動模型，可以等效為彈簧的彈性變形與阻尼的減振共同作用的運動模型。壓電環片和連接的質量塊構成質量—彈簧—阻尼系統，如圖2所示。

質量—彈簧—阻尼等效模型動力學方程：

(1)

式中：c為黏性阻尼系數；x為質量塊由靜止平衡位置開始的振動位移；k為系統等效剛度；F0為系統受的外部力。

圓形板壓電片等效剛度表達式

(2)

式中：a為圓板半徑；h為壓電環片總厚度；Ee為等效彈性模量；ve為等效泊松比。

而單片壓電晶片是復雜的圓環結構粘結而成。要計算單片壓電晶片，可將其復雜的結構分解為單獨的內、中、外3個圓環結構，分解結構如圖3所示。單片壓電晶片分解為3個簡單的圓環結構[13]，所以只要知道圓環片的等效剛度計算方法，便能求出單片壓電晶片等效剛度。

圓板和圓環均可以看成彈性元件。在一個圓板內分割出一個小圓板和圓環，故大圓板的彎曲變形可以認為是小圓板和圓環分別彎曲變形合成，所以小圓板、圓環與大圓板的撓度形變過程可以等效為兩個彈簧的串聯，大圓板為復合彈簧。

以外環為例，其等效剛度為

(3)

式中：Rp是外環外徑；Ro為外環內徑；k11為大圓板等效剛度；k12為小圓板等效剛度，根據彈簧串聯模型得到外環等效剛度k1。同理，內環等效剛度k2，中環等效剛度k3通過同樣的方式獲得，最終得到單片壓電晶片等效剛度

(4)

在流體驅動元件中，相對阻尼系數ξ與彈性元件剛度k之間的關系

(5)

由以上方法分析獲得單片壓電晶片的等效剛度k和阻尼系數c。且由公式知，阻尼系數c與剛度k成正比關系。

1.2 多自由度壓電晶片等效模型建立

當多自由度壓電晶片受到電壓激勵后，會做出相應的響應，產生撓度變化，最終到達穩態位置。而在響應過程中由于壓電片的剛度—阻尼作用，需要一定的響應時間。整個響應過程可以看作多自由度質量塊—彈簧—阻尼系統，而輸入的電壓激勵僅僅決定等效模型中彈簧的形變量，因為電壓的變化，決定最終穩態位置，即影響彈簧等效初始形變量，并不會對多自由度壓電晶片的材料剛度和阻尼產生影響，所以對其建立等效的多自由度質量塊—彈簧—阻尼模型是合理的。

以5層的壓電晶片為例，進行建模如圖4所示。通過數軸法建模使質量塊—彈簧—阻尼系統描述更為簡單。

從系統的機理出發建立該模型的動力學方程為

(6)

式中：x1～x5為物塊1～5的彈簧伸長量；M1～M5分別為物塊質量；x6～x10為物塊對應的速度；PA為最后一層驅動機構受到的閥內氣流壓力載荷；y為整個多自由度壓電晶片的彎曲撓度。

為了分析方便，將該模型寫為狀態空間表達式：

(7)

2 系統模型特性分析

從1.2節建立的模型得到系統是一個線性定常系統。對線性定常系統，一般先判斷系統的能控性，若能控，便可設計相應的控制器使驅動作用更加精確；若不能控，則判斷系統不能控子塊是否穩定，即系統是否鎮定，對于鎮定系統，便可從硬件入手，如改變材料剛度，阻尼等，使系統滿足穩態指標；若是非鎮定系統，則該驅動系統無法工作。

常用的系統能控性判別是通過能控性矩陣是否滿秩判斷。對于五層壓電晶片模型，該矩陣為

(8)

很明顯，由于B秩是1，所以，M的秩也小于10，即rank(M)<10，系統不可控。從后面的仿真數值計算也可驗證該結論。

系統穩定性分析，常用的系統穩定性判別法有根軌跡判別，奈奎斯特圖和李雅普諾夫等方法。

對于1.2節式(7)建立的狀態空間方程。平衡狀態xe=0漸近穩定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部。即系統狀態穩定。

從工程意義上看，往往更看重輸出穩定性。系統輸出穩定性的判斷，需要解出其傳遞函數：W(s)=C(sI-A)-1B的極點。其穩定的充要條件是極點全部位于s的左半平面。

系統模型特性分析，為多自由度壓電晶片驅動機構的穩定工作提供理論基礎，對新型推力器的研制及改進提供幫助。

3 模型數值計算及仿真分析

單片壓電晶片被動板采用的是不銹鋼板，楊氏模量Ep=2.1×1011N/m2，泊松比vp=0.3；復合板等效楊氏模量取Ee=1.1×1011N/m2，泊松比ve=0.3。

經過Matlab解算，能控矩陣rank(M)=3，驗證了五自由度壓電晶片驅動機構不可控的結論。

由于壓電晶片材料尺寸和設計結構的不同，會導致五自由度壓電晶片驅動機構的等效剛度和阻尼系數變化。故對系統等效剛度和阻尼系數變參數仿真，考察系統的穩定性。

壓電晶片材料的等效剛度和阻尼系數取3組不同的數據，如表1。

表1 三組等效剛度與阻尼系數

3組不同參數下的系統階躍響應和零極點分布如圖5。

從3組不同參數的階躍響應可以看出，在1ms內系統均達到穩定狀態，可見響應速度很快，滿足新型推力器響應快的要求。隨著五自由度壓電晶片驅動機構的等效剛度數值的降低，相應的阻尼系數也成比例降低，系統阻尼下降，即使振蕩作用加強，由仿真結果得到驗證：隨著阻尼減小，階躍響應由過阻尼狀態逐漸過渡到欠阻尼狀態，且響應時間也相應增加。而剛度的變化則會決定系統最終的平衡狀態。剛度越小，阻礙彈性形變的能力越弱，故最終穩態形變量越大。由仿真結果，的確隨著剛度減弱響應幅值增大。而由右側不同參數下的零極點分布圖，也間接驗證系統在等效剛度和阻尼系數變參數時，保持穩定。故整個五自由度壓電晶片驅動機構是鎮定系統。

為了更準確地仿真解算，多自由度壓電晶片驅動機構在微推力器機構中的工作響應過程，對實際生產的壓電晶片尺寸進行測量，經計算實物元件等效剛度約為k=1.45×106N/m，其阻尼系數約為c=1.02×103N/(m·s-1)。其仿真結果如圖6所示。

該壓電晶片驅動結構是過阻尼系統，對零極點分布結果分析，一部分有負實部，一部分聚集在零點，很難分辨，所以通過數值計算系統的10個極點，其負實部如表2所示。

表2 系統極點實部數值

其10個極點均有負實部，是穩定系統，可知壓電晶片能穩定工作，但系統rank(M)=3，不可控，若要改善系統性能，只能通過改變系統剛度和阻尼系數。從仿真結果看出，響應較快，4×10-3s左右到達穩態，且響應穩定在3.34×10-6m，達到μm量級能作為精確控制的驅動機構。

4 結論

1) 多自由度壓電晶片結構是一個過阻尼系統，響應速度快。

2) 由多自由度壓電晶片等效模型知，該驅動機構不可控，其極點具有負實部，其系統是鎮定的，即穩定的。響應穩定在3.34×10-6m。

3) 對多自由度壓電晶片驅動機構穩定性分析為其模型和可行性提供理論基礎，對新型推力器的研制及改進提供幫助。后續可進一步實驗，辨識準確的等效剛度和阻尼系數等參數。