基于滑動時域窗和ERA的模態(tài)阻尼比辨識技術(shù)研究

王 亮，張 妍， 蔡毅鵬，周國峰，南宮自軍

(中國運載火箭技術(shù)研究院， 北京 100076)

航天工程中，為了對載荷計算、姿態(tài)控制設(shè)計、動響應(yīng)分析，以及慣性測量組合的安放位置提供參考，需要精確預(yù)示戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性。在設(shè)計時，一般先使用理論計算，再通過有限狀態(tài)的模態(tài)試驗結(jié)果對理論模型進(jìn)行修正，最后使用修正的理論模型計算各狀態(tài)下的模態(tài)特性。而地面試驗無法完全模擬飛行狀態(tài)，如外部的氣動力和發(fā)動機(jī)的推力等。因此，基于遙測數(shù)據(jù)，采用環(huán)境激勵模態(tài)辨識技術(shù)對飛行過程中的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識，對驗證設(shè)計參數(shù)非常重要。

環(huán)境激勵模態(tài)辨識技術(shù)是將互相關(guān)函數(shù)同傳統(tǒng)時域模態(tài)分析法相結(jié)合的方法，將響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)時域模態(tài)分析法中的自由振動響應(yīng)或脈沖響應(yīng)函數(shù)。該方法不需要測量激勵型號，而僅依靠各通道的時域響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的模態(tài)辨識。

環(huán)境激勵模態(tài)辨識技術(shù)研究最早可以追溯到1968年cole的單階模態(tài)測試的隨機(jī)減量法[1]。1973年Ibrahim提出了一種參數(shù)識別的方法，該方法僅利用時域信號即可進(jìn)行識別工作，經(jīng)多年的不斷完善形成了獨具一格的Ibrahim時域法(ITD法)。國內(nèi)外在模態(tài)參數(shù)識別研究在許多理論和應(yīng)用中也取得了較多的成果[2-6]。其中練繼建等[7]對基于熵降噪的水工結(jié)構(gòu)振動模態(tài)特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法(Eigensystem Realization Algorithm，ERA)進(jìn)行了研究。劉興漢等[6]對改進(jìn)的隨機(jī)子空間法進(jìn)行了研究。徐亞蘭等[7]分析了在眾多小波基函數(shù)中 Morlet 小波更適合對動態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，結(jié)合Morlet 小波的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對脈沖響應(yīng)信號的特性,構(gòu)造了一小波族，利用 Morlet 小波變換對多自由度系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)解耦和對時變系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識。算例的數(shù)值仿真結(jié)果表明文中方法的正確性和有效性。王彤等[8]提出了一種基于頻域空間域分解(Frequency and Spatial Domain Decomposition，F(xiàn)SDD)的工作模態(tài)分析方法。該法將同時具有輸入和輸出的試驗?zāi)B(tài)分析的經(jīng)典方法——復(fù)模態(tài)指示因子(Complex Mode In-dicator Function,CMIF)法拓展到了僅有輸出響應(yīng)的運行狀態(tài)模態(tài)分析。FSDD法采用奇異值分解將信號空間和噪聲空間分離，把奇異值曲線作為模態(tài)指示的依據(jù),以奇異值向量作為加權(quán)函數(shù)得到每一階模態(tài)的增強功率譜(Power Spectrum Density,PSD)，進(jìn)而在頻域內(nèi)對增強PSD曲線進(jìn)行最小二乘擬合得到準(zhǔn)確的模態(tài)頻率和阻尼參數(shù)。黃琴等[9]提出并實現(xiàn)了一種基于隨機(jī)減量技術(shù)和復(fù)模態(tài)指示因子函數(shù)法的新型頻域運行狀態(tài)模態(tài)參數(shù)識別方法。由隨機(jī)運行響應(yīng)估計隨機(jī)減量函數(shù),然后通過時頻域變換得到頻域的半功率譜密度函數(shù),并用復(fù)模態(tài)指示因子函數(shù)法從半功率譜密度函數(shù)中識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。最后對一個三維空間結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行算法驗證,得到相應(yīng)的各階模態(tài)參數(shù),證明了將隨機(jī)減量技術(shù)和復(fù)模態(tài)指示因子函數(shù)法相結(jié)合的方法識別大型結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的有效性和合理性。

在使用環(huán)境激勵進(jìn)行模態(tài)辨識時，模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果往往散布較大，其隨辨識信號長度和不同信號段的影響較大。針對時不變系統(tǒng)，本文提出了采用帶重復(fù)寬度的時域滑動窗口與統(tǒng)計方法結(jié)合的模態(tài)阻尼比辨識方法，提高模態(tài)阻尼比的辨識精度和穩(wěn)定性。

1 模態(tài)辨識技術(shù)

ERA法屬于一種多輸入多輸出的時域整體模態(tài)參數(shù)辨識方法。原理是利用實測的脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)或自由相應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel矩陣，采用奇異值分解的方法，求得系統(tǒng)的特征值與特征向量，從而求得模態(tài)參數(shù)。該方法由于使用了現(xiàn)代控制理論中的最小實現(xiàn)原理，使得計算量大大減小，精度高，是目前最完善、最先進(jìn)的模態(tài)參數(shù)辨識方法之一。

對于n維線性系統(tǒng)，當(dāng)振動系統(tǒng)響應(yīng)采用加速度傳感器測量時，振動方程用向量可表示為

(1)

設(shè)離散時間點為k=0,1,2，…,采樣時間間隔為Δt，則t=t0+kΔt，由零階保持器的性質(zhì)，在一個采樣間隔內(nèi)保持采樣值不變，由此可得

Bf[(k+1)Δt]

(2)

Z變換形式的傳遞函數(shù)為

(3)

變換后可得傳遞函數(shù)

H(z)=z-2GA2(I-z-1A1)-1B1+z-1GB2+GB

(4)

整理后有

(5)

構(gòu)造Hankel矩陣

H(k-1)=

(6)

整理得

(7)

令k=1，對H(0)做奇異值分解

H(0)=U∑VT

(8)

可推導(dǎo)出

(9)

設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值矩陣(譜矩陣)為Λ，特征矢量矩陣為ψ′，則有

ψ-1Aψ=Λ

(10)

由指數(shù)矩陣的性質(zhì)有

A1=eψΛψ-1Δt=ψeΛΔtψ-1，即ψ-1A1ψ=eΛΔt

從而知A1的特征矢量與A的相同，A1的特征值矩陣為

Z=eΛΔt=diag(z1,z2,…,z2n)

(11)

式(11)中Z的對角矩陣元素為zi=eλiΔt，i=1,2,…,2n；A的特征值矩陣Λ=diag(λ1,λ2,…,λ2n)，且

(12)

由此可確定各個模態(tài)振動的固有頻率、阻尼比和模態(tài)矩陣

固有頻率

阻尼比

模態(tài)矩陣

Φ=Gψ

2 辨識技術(shù)實施流程

針對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果影響因素多，且辨識結(jié)果不穩(wěn)定的問題，本文提出了采用時域滑動窗口與統(tǒng)計方法結(jié)合的模態(tài)阻尼比辨識方法，提高模態(tài)阻尼比的辨識精度和穩(wěn)定性，圖1給出了辨識方法的流程圖。其中對原始信號進(jìn)行功率譜密度分析，選擇帶辨識頻帶，對信號進(jìn)行局部帶通濾波后，使用選定寬度的時域矩形窗截取信號，對截取信號進(jìn)行ERA方法下的模態(tài)辨識，并按給定重合寬度進(jìn)行窗口滑動，從而獲得各窗口對應(yīng)的模態(tài)辨識結(jié)果，包括模態(tài)頻率、阻尼比和振型，再對辨識結(jié)果按經(jīng)驗阻尼比范圍及可能模態(tài)頻率位置進(jìn)行篩選，對通過篩選的模態(tài)阻尼比進(jìn)行統(tǒng)計分析，取其均值作為最終辨識結(jié)果。

在使用滑動窗口時，需要指定窗口寬度，為了研究可有效辨識出模態(tài)數(shù)據(jù)長度的需求，采用ERA方法進(jìn)行模態(tài)辨識時，數(shù)據(jù)的長度最有可能需要包含所需識別模態(tài)的6～8周期，為了有效利用信號的信息，本文采用8個周期數(shù)據(jù)長度作為窗口寬度進(jìn)行辨識研究。

3 算例

3.1 懸臂梁模型介紹

算例計算時，對懸臂梁懸臂端進(jìn)行白噪聲激勵，將各處加速度響應(yīng)作為輸入進(jìn)行工作模態(tài)辨識。懸臂梁模型如圖2所示，各參數(shù)如表1。

序號項目數(shù)值1長度12截面0.02(寬)×0.025(高)3密度2 700 kg/m34彈性模量70 GPa5分割單元數(shù)106阻尼比2%

采用wilson-θ方法用800 Hz頻帶白噪聲進(jìn)行激勵懸臂梁端部，激勵的時域信號如圖3所示，典型位置響應(yīng)如圖4所示，圖4為懸臂梁端部加速度時域響應(yīng)。功率譜密度分析結(jié)果和原點加速度頻率響應(yīng)函數(shù)曲線分別如圖5和圖6所示。

3.2 單幀數(shù)據(jù)模態(tài)辨識

首先，僅采用對一段數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，辨識其模態(tài)，選擇不用的數(shù)據(jù)長度，從待辨識模態(tài)所在頻段內(nèi)最低頻率對于周期的8倍、10倍、15倍、20倍、25倍不等，分別采用ERA模態(tài)辨識方法進(jìn)行模態(tài)辨識，信號內(nèi)所包含的兩階模態(tài)的辨識結(jié)果如表2所示。從辨識結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，選擇不同長度和位置的數(shù)據(jù)，利用其辨識的模態(tài)頻率結(jié)果較為一致，散布較小，而對于不同模態(tài)阻尼比的辨識結(jié)果散布較大，最大和最小辨識值差別可達(dá)4倍。

因此，對于提高模態(tài)阻尼比的辨識穩(wěn)定性及魯棒性意義重大。

3.3 不同數(shù)據(jù)重合寬度對辨識結(jié)果的影響

在采用模態(tài)阻尼比辨識方法，本小節(jié)對比不同重合窗口寬度對辨識結(jié)果的影響，這里對比了重合寬度為4個周期、5.5個周期和7個周期3種情況，辨識結(jié)果如表3所示。一階和二階模態(tài)振型擬合結(jié)果如圖6和圖7所示，圖8給出了典型的滑動窗口后阻尼辨識結(jié)果及統(tǒng)計情況，為6周期寬度的時域滑動窗口二階模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果。

表2 不同數(shù)據(jù)長度的模態(tài)辨識結(jié)果

表3 不同重合長度數(shù)據(jù)的模態(tài)辨識結(jié)果

使用不同重合寬度的時域窗口辨識模態(tài)時，從辨識結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1) 各階模態(tài)頻率辨識結(jié)果一致性較好，模態(tài)振型辨識結(jié)果良好，與理論計算結(jié)果較為一致；

2) 各階模態(tài)阻尼比與理論值有一定的偏差，當(dāng)時域窗口的重合寬度變大時，對于相同長度的信號，其可辨識次數(shù)較大，樣本數(shù)目較大，因此對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果取均值后，結(jié)果更加接近理論值。

3.4 辨識算法對信號信噪比的魯棒性

根據(jù)以上分析，本小節(jié)選擇滑動窗口重合長度為7個周期，研究增加不同量級噪聲對辨識結(jié)果的影響。這里對比了噪聲量級從信號標(biāo)準(zhǔn)差的0、15%、30%、50%周期4種情況，辨識結(jié)果如表4所示。

對各節(jié)點數(shù)據(jù)同時增加不同噪聲量級辨識模態(tài)時，從辨識結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1) 各階模態(tài)頻率辨識結(jié)果一致性較好，模態(tài)振型辨識結(jié)果良好，與理論計算結(jié)果較為一致；

2) 增加噪聲后，對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果取均值，各階模態(tài)阻尼比與理論值有一定的偏差，但偏差最大為20%左右，隨著噪聲量級，阻尼比辨識結(jié)果比較穩(wěn)定，沒有出現(xiàn)辨識結(jié)果偏差明顯變大的情況，說明本文的方法對信號信噪比的魯棒性較強。

3.5 辨識算法對信號信息量的魯棒性

根據(jù)以上分析，本小節(jié)選擇滑動窗口重合長度為7個周期，研究選擇不同位置響應(yīng)組合對辨識結(jié)果的影響。這里共選擇4組組合，分別如下：

工況1：圖2中1～10號梁單元右端平動響應(yīng)；

工況2：圖2中2、4、6、8、10梁單元右端平動響應(yīng)；

工況3：圖2中1、2、3、4、5梁單元右端平動響應(yīng)；

工況4：圖2中6、7、8、9、10梁單元右端平動響應(yīng)；

其中，工況1代表了梁單元所有節(jié)點的平動響應(yīng)，信息最為全面，工況2為從懸臂約束端到自由端較為稀疏但均勻分布節(jié)點的平動響應(yīng)，工況3和工況4為接近約束端的節(jié)點組合和接近自由端的節(jié)點組合，顯然工況3整體響應(yīng)量級較工況4小。4種工況的辨識結(jié)果如表5所示。

表4 不同信噪比的模態(tài)辨識結(jié)果

表5 不同節(jié)點響應(yīng)組合的模態(tài)辨識結(jié)果

對不同節(jié)點響應(yīng)組合進(jìn)行辨識模態(tài)時，從辨識結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1) 各階模態(tài)頻率辨識結(jié)果一致性較好，模態(tài)振型辨識結(jié)果良好，與理論計算結(jié)果較為一致；

2) 不同的節(jié)點響應(yīng)組合下，對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果取均值，模態(tài)阻尼比的辨識結(jié)果較為一致，與理論值最大偏差在10%左右，說明本文的方法對信號的通道數(shù)量的魯棒性較強。

4 結(jié)論

各階模態(tài)頻率辨識結(jié)果一致性較好，模態(tài)振型辨識結(jié)果良好，與理論計算結(jié)果較為一致；各階模態(tài)阻尼比與理論值有一定的偏差，當(dāng)時域窗口的重合寬度變大時，相同長度的信號，其可辨識次數(shù)較大，樣本數(shù)目較大，對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果取均值后，結(jié)果更加接近理論值；各階模態(tài)頻率辨識結(jié)果一致性較好，模態(tài)振型辨識結(jié)果良好，與理論計算結(jié)果較為一致；增加噪聲后，對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果取均值，各階模態(tài)阻尼比與理論值有一定的偏差，但偏差最大為20%左右，隨著噪聲量級，阻尼比辨識結(jié)果比較穩(wěn)定，沒有出現(xiàn)辨識結(jié)果偏差明顯變大的情況，說明本文的方法對信號的信噪比的魯棒性較強；各階模態(tài)頻率辨識結(jié)果一致性較好，模態(tài)振型辨識結(jié)果良好，與理論計算結(jié)果較為一致；不同的節(jié)點響應(yīng)組合下，對模態(tài)阻尼比辨識結(jié)果取均值，模態(tài)阻尼比的辨識結(jié)果較為一致，與理論值最大偏差在10%左右，說明本文的方法對信號的通道數(shù)量的魯棒性較強。