學生追問“節外生枝” 師生探究“枝繁葉茂”
——一道高三復習題的教學實錄和反思

魯 琛

(江蘇省南京市溧水高級中學 211200)

一、原題重現

這是我在一節高三復習課《拋物線的標準方程及其性質》上的一道例題，起初設計了四道填空題，兩道解答題，以及三個變式問題.可是當講解例1時，學生提出了一些“節外生枝”的問題，然后我就改變教學進度，和學生一起探究，最后收獲很大.

師：同學們根據題目給的條件和問題，現在求直線方程你缺少什么條件？怎樣運用斜率？哪位同學把自己的想法寫寫看.

生1：設直線的方程為y=kx-1，點A(x1,y1),B(x2,y2).

師：很好，同學們還有沒有其它的解法，說說看.

師：同學們比較一下，兩位同學的解法，生1用了設而不求的方法具有一般性.生2用了設點的坐標，這種設法一般只有拋物線才行，如果是橢圓和雙曲線就沒有那么方便了，除了參數方程外.

生3：(這時一個學生站了起來問道)生1用設而不求的方法求解時，最后化簡結果等于k，也就是說kOA+kOB=kAB.如果斜率之和為2，那么直線l的斜率就是2，斜率之和為k，那么直線l的斜率就是k.

師：(面對學生這樣的回答我楞了一下，為學生發現的問題而驚嘆！)生3發現了一個一般性的規律，其實條件不一定是1，是任何一個常數我們都能求直線方程，同學們思考一下，還有沒有問題？(這時學生在思考這個結論的正確性同時還在尋找問題挑戰老師)

二、節外生枝，共同探究

生4：如果直線不過點(0,-1)，那么kOA+kOB=kAB結論是否成立呢？

(自以為自己備課已經非常充分，但是也沒有考慮過這個問題，而學生居然第一次做就提出這個問題，當面對這群面帶疑惑的學生時，我覺得沒有理由搪塞過去，應該和大家一起探究)

師：這個想法很好，一般化.同學們思考一下.(這是我靈機一動，學生既然可以讓直線不過點(0,-1)，那么如果是拋物線的p不知道呢？這時我在黑板上寫出兩個變式題.)

變式2：拋物線x2=-2py(p>0)與過點M(0,-1)的直線l交于點A,B，O為坐標原點.若OA,OB的斜率之和為k，求直線l的斜率.

(學生努力地去探索，不僅得到一個有用的結論，還成功地經歷了一次數學探索之旅.這已經不僅僅是一道數學題的解答，而是一種數學問題的探究和數學思想的完美展示.是學生主動地汲取，而不是教師被動地傳授.這個時候離下課還有五分鐘，往下上也來不及了，下面時間怎么辦呢？)

三、因勢利導，枝繁葉茂

師：(趁熱打鐵)通過上面大家的努力，我們得到了開口向下的拋物線的一個一般性結論，那么同學們再思考一下，你還有哪些問題想提出的？對不對大家課后繼續探究.

(學生們積極思考，舉手踴躍，交流自己的想法)

生5：如果拋物線方程改為開口向上即x2=2py，“kOA+kOB=kAB”成立嗎？

生6：如果拋物線方程開口向右(左)，即y2=2py(p≠0)，“kOA+kOB=kAB”成立嗎？

生7：如果拋物線是我們初中學的二次函數的一般方程，不是標準方程，有什么結論成立呢？

(此時下課鈴聲響了，我不禁給學生們這么多好的想法鼓起掌來，大家在我的帶動下一起鼓起了掌，然后我讓同學們下課繼續思考)

下課后，生5告訴我，他提的問題自己能解決，其實開口向上只要把原來的p改為“-p”即可，對題目中的其它步驟沒有影響.所以結論一定正確，然后他把他的寫法給我看了，我肯定了他的結論.

四、課后探究與提升

探究：其實開口向上的問題，只要把原來變式2中的“p>0”改為“p≠0”即可.那么開口向左(右)呢？生7的問題對嗎？

五、認識與反思

反思：作為一名教師，平時總是以嚴謹的態度投入工作，對一些知識的引入、例題的講解也是精心準備，然而這樣的精心備課，又不得不引起我們的反思——課堂僅僅是教師講嗎？也正因為教師的“滴水不漏”，課堂上學生總是“比較輕松，只需要安靜地去聽”.這樣的課堂學生聽聽容易但是輪到自己做題時往往不會思考，沒有頭緒.也是現在普遍存在的問題“聽懂≠會做，會做≠做對”.關鍵就是缺少學生思考的過程和時間.

我們不應受傳統教學教學思想的束縛，在教學過程中不拘泥于預設.努力實踐不斷反思，應用自己的教學智慧讓“節外生枝”變得“枝繁葉茂”.