理解函數單調性概念 提高學生核心素養

嚴小紅

(陜西省商洛中學 726000)

一、單調性定義

1.北師大版教材中的定義

一般地對于函數y=f(x)的定義域內的一個子集A，如果對于任意兩數x1，x2∈A，當x1

類似地，在函數y=f(x)定義域內的一個子集A上，如果對于任意兩數x1，x2∈A，當x1f(x2)，就稱函數y=f(x)在數集A上是減少的.

如果函數y=f(x)在定義域的某個子集A上是增加的或減少的，那么就稱函數y=f(x)在這個子集上具有單調性.

2.對定義的理解

(1)符號語言：任意x1，x2∈A，x1f(x2)，則y=f(x)是A上的減函數.

(2)圖象語言：觀察函數y=f(x)的圖象，從左向右看，上升的為單調遞增，下降的為單調遞減.

(3)定義的雙向性：增函數：x1f(x2).

y=f(x)在A上單調遞減

3.對單調區間理解

函數單調性是一個局部概念，是針對區間而言，是區間上性質，對于單獨點討論單調性毫無意義，因此寫單調區間時，區間端點可帶可不帶，若一個函數有幾個單調遞增(或遞減)區間時，不能并起來，只能分開寫，如單調遞增區間[1，2]和[3，4]，不能寫成[1，2]∪[3，4]，為什么這樣，我們從本源問起，為什么要引入單調區間概念？只不過是為了方便函數值比較大小而已，要比較大小，只能放在一個單調區間，而在多個區間是無法比較函數值大小.同時由此還可以看出求函數單調區間，是尋求區間的最大化.如單調遞增區間為[1，3]，你不能寫成[1，2]和[2，3].

例1 若函數f(x)=x2+2(1-2a)x+6在(-∞，-1)上為減函數，求a的取值范圍.

解f(x)=[x+(1-2a)]2+6-(1-a)2，對稱軸方程為x=2a-1，則f(x)單調遞減區間為(-∞，2a-1)，而f(x)在(-∞，-1)為減函數，∴(-∞，-1) ?(-∞，2a-1),∴-1≤2a-1，∴a≥0.

例2 若函數f(x)=x2+2(1-2a)x+6的單調區間為(-∞，-1)，求a的值.

解f(x)對稱軸方程為x=2a-1，則f(x)單調區間為(-∞，2a-1)，即為(-∞，-1)，∴ 2a-1=-1，∴a=0.

這兩個問題是不同的，第一個問題說明函數的單調性，即所給區間為單調區間的子區間，第二個問題是求單調區間問題，要注意分清.

二、常見函數單調性問題

1.單調性證明、判斷及單調區間的確定

證明函數的單調性只能用兩種方法：①定義法(高一學生用)，對于抽象函數的單調性一般用定義法證明；②導數法(相對于定義證明是比較先進的方法).判斷函數單調性或單調區間的確定，可以有多種方法：①定義法；②導數法；③性質法(利用已知函數的單調性轉化為函數和差的單調性或利用復合函數的單調性)④圖象法(畫函數圖象從圖中看).

例3 討論f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x的單調性.

解析f(x)的定義域為(0，+∞).

2.解抽象不等式

例4 已知奇函數f(x)的定義域為[-2,2]，若f(x)在[0,2]上是遞減，且f(1-m)

解析∵f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數，且f(x)在[0,2]上是減函數,

∴f(x)在[-2,0] 也是減函數,

∴f(x)在[-2,2] 上單調遞減.

3.利用函數單調性求參數取值范圍

只有對函數單調性的內涵和外延有深入的理解，易混的問題進行有效辨析，常見問題做到胸中有數，才能在解決函數單調性問題時，做到游刃有余，面對高考中的函數問題輕松拿下.