基于題根研究下的函數與導數問題

王永亮

(山東莒縣第一中學 276500)

一、我國高中數學中導數與函數教學難點

1.教學模式結構單一

首先，我國大部分高中學生都處于文理科分科的形式中.雖然高中數學仍屬于文理科中的重點教學課程，但由于大部分文科生將自身學習重點仍舊放在文科課程中，認為數學知識對自己日后的文科學習并無多大幫助，在學習過程中產生攜帶性能力，無法對數學中的導數與函數知識重點進行掌握；其次，由于部分文科生在分科之后，大部分教師的重點都放在文科課程中，甚至部分數學教師自身對教學目標與內容的意識也產生偏差，導致部分文科學生的數學課堂常出現被占用的情況，而學生無法獲取更多知識，導致在解答函數與導數以及其他方面的數學題目時出現較多錯誤，而學生自身數學能力無法得到提升，導致數學課程失去作用；第三，傳統高中數學教學過程中，教師是占據課堂的主體，而學生則常作為課堂輔助形式存在，教師通過長篇闊談的方式對數學函數與導數知識進行講解，而學生則需要對公式進行死記硬背，利用套用等方式對導數與函數的題目進行解答，雖然能夠對教師當時講述的東西進行模仿，但卻無法做到舉一反三，導致學習結構單一化，同時也使學生在挫敗中失去對數學知識學習的興趣，對導數與函數之后的教學開展產生不利.

2.導數與函數的表現形式復雜多變

函數形式本就復雜多樣，并不具備統一形式，而其中所包含的區間、不等式以及其他概念也均不具備某一種固定值或概念，而在利用導數對函數進行求解時也無法遵循統一模式，由此可見，函數與導數存在較強的抽象性、模糊性.而數學教師在利用傳統教學方法對這一部分內容進行講解時，雖然能利用宏觀概念使學生初步了解導數與函數的基本含義，但在具體學習的過程中仍舊會因導數與函數表現出來的復雜性、多樣性弄昏頭腦，無法充分利用自身所學知識提升函數與導數的做題效率，無法做到靈活應變.此外，由于導數與函數中存在各類代替未知數字的符號，而每個符號的意義不同，在部分函數與導數中所代表的內容也十分復雜，雖然有一部分先天智力較高的學生能夠將所學到的知識融會貫通，但大部分學生仍舊處于模糊狀態，而教師無法利用現有教學方式改善這一現象，導致教學出現較大問題.

3.導數與函數的數形轉換難度較大

上述中提到，高中導數與函數類型題目在解答過程中具有較多符號，而學生在進行解題時雖掌握了基本解題理念，因無法根據題目內容及問題重點對數學符號及相關數據進行圖形轉換，無法將所學知識靈活運用，導致數形轉換過程存在困難，使學生解題難度大幅度增加.而部分學生雖然對教師講述的內容進行記憶，但由于他們只是機械地將教師講述內容記住而已，卻在解題或之后的學習中無法利用記憶中的內容進行學習，因此這些學生表面上看起來學習認真，但實際上卻缺乏分析能力，無法在解題時繼續進行數形轉換，而教師對學生的批評也使學生逐漸失去信心，逐漸對高中數學內容產生排斥心理，直到放棄數學，導致學生最終在日后的學習及高考中增大了數學帶來的壓力.

二、題根式教學概念及作用

題根式教學是由我國陜西師范大學羅增儒教授提出的新概念.羅教授在對基于新課程的數學解題教學進行講解與分析中提到，可以利用題根式教學對當下數學解題困難的現狀進行改善.羅教授指出，雖然現如今使用的變式教學包含具有科學性與廣泛性的數據庫，但由于數據庫本身就是一個較為宏觀的存在，而高中數學能夠運用的內容極為有限，如果全靠變式教學根本無法發揮數據庫自身的優勢.而為了實現新課程中高中教學目標內容，如果利用題根式教學代替部分變式教學，并將其逐漸發展為主流教學方式，則能夠使教學效果更加明顯.

當下我國高中數學教學形式極為嚴峻，雖然新課改提出有關高中數學教學的目標，但從根本上來看，傳統教學方法已經無法滿足現代教學思想與教學內容，同時也無法提升學生學習能力，而利用題根解題的思想及題根式教學法對現有數學教學加以改善，利用題根尋找出學生在學習中最難解決問題，并面向數學核心知識開展教學，使題根式成為數學教學中最具高效性、靈活性的教學模式，從而達到提升我國高中數學教學水平的效果.

三、基于題根研究下的導數與函數問題分析

(1)設函數F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2，求F(x)的單調區間與極值；

在對本題進行解答時，首先教師可通過結合相關函數與導數概念對題目進行分析，并由學生從題目中尋找題根.已知本體題根有四個，而為了更為簡便地得到正確答案，數學教師應當引導學生根據函數已知方程進行數形轉換，而在轉換過程中，教師應當注意每一位學生的狀態與轉換思路，如果發現有學生轉換錯誤也不要批評，以免對學生的自信造成打擊.

得出轉換圖形后，教師需要引導學生充分對題根進行分析，并根據分析結果對題目和得到的轉換圖形加以推算，最終將本題解答出來.

解原方程可化為：

log4(x-1)+log2[h(4-x)]=log2[h(a-x)],

當a=5時，原方程有一解x=3；

當a≤1或a>5時，原方程無解.

則Sn≥h(1)+h(2)+…+h(n)，故原不等式成立.

本次解題不僅是對學生數形轉換、函數與方程、導數運算、分析以及解題等能力的考查，同時也是提升學生題根解題概念的重要依據，為之后學生的解題與題根式思維水平的提升奠定基礎.

例2 設函數f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.

(1)求f(x)的單調區間;

(2)求所有實數a，使e-1≤f(x)對x∈[1,e]恒成立.

注：e為自然數的底數.

(1)解因為f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0,

由于a>0，所以f(x)的遞增區間為(0，a)，減區間為(a，+∞).

(2)證明：由題意得，f(1)=a-1≥c-1，即a≥c。

由(1)知f(x)在[1，e]內單調遞增，

要使e-1≤f(x)對x∈[1,e]恒成立，

本題主要考查學生在利用導數在函數單調區間內進行求值范圍的能力，通過引導學生結合導數運算法則及其他基礎知識，在完成對學生的抽查的同時全面提升對學生現有學習能力的了解，而教師則需要結合現有教學法和題根教學法，利用科學理念加強對全體學生的教學，提升學生數學能力，達到完善數學教學的目的.